BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Cách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia, vẽ t[r]
Trang 1BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN
HÌNH HỌCCách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn
Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia,
- Kẻ hai đường chéo của tứ giác
- Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên
- Kẻ đường kính của đường tròn khi đề bài có đề cập đến bán kính đi qua tiếpđiểm
- Kẻ dây chung của hai đường tròn cắt nhau, kẻ tiếp tuyến chung của hai đườngtròn tiếp xúc nhau
- Khi có một phần của đường tròn, có trường hợp cần vẽ cả đường tròn
Ví dụ 1 Cho tam giác nhọn 4ABC, bA = α Các đường trung trực của AB, ACcắt nhau tại I Tính [BIC
Hướng dẫn giải (h.1a)
Nối I với A, với B, với C, với trung điểm D của AB, với trung điểm E của AC
A
E D
2 1
Trang 2Kẻ tia Ix là tia đối của tia IA.
4IDA = 4IDB (c.g.c) ⇒ bA1 = bB1 Do đó dBIx = bA1 + bB1 = 2 bA1 (1)
Từ (1), (2) suy ra dBIx + dCIx = 2 bA1 + 2 bA2 = 2
Ví dụ 2 Cho 4ABC có BC = 3cm Gọi D, E lần lượt là trung điểm của
AB, AC Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE lớn hơn 3cm
nên từ (1) suy ra chu vi 4AED > BE + EC > BC = 3cm
Ví dụ 3 Cho 4ABC có bB = 50◦, bC = 20◦, AH vuông góc với BC (H ∈ BC).Tia phân giác của \AHC cắt AC ở \AHC cắt AC ở D Tính \HBD
Hướng dẫn giải (h.2a)
Kẻ tia đối Ax của tia AB Ta có
x A
= 50◦ + 20◦ = 70◦
\CAH = 90◦ − bC = 90◦ − 20◦ = 70◦
Trang 3nên AD là tia phân giác của [HAx.
4ABH có AD, HD là các đường phân giác của các góc ngoài cắt nhau tại Dnên BD là phân giác của \ABH
Do đó \HBD = [ABC : 2 = 50◦ : 2 = 25◦
Ví dụ 4 Cho 4ABC có bA = 120◦ Ở phía ngoài ta giác đó, vẽ các tam giác đềuABD, ACE Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của DE, AB, AC Chứngminh rằng 4HIK là tam giác đều
Hướng dẫn giải (h.2b)
Ta có [BAC + [CAE = 120◦ + 60◦ = 180◦ nên B, A, E thẳng hàng
Tương tự D, A, C thẳng hàng
Vẽ đoạn thẳng EK 4ACE đều có EK là đường trung tuyến nên là đường cao
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra KH = IH = IK nên 4HIK là tam giác đều
Ví dụ 5 Cho 4ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấyđiểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E Gọi M
là trung điểm của BE Tính \AHM
Hướng dẫn giải (h.3a)
Vẽ đoạn thẳng DM Các tam giác vuông ABE, BDE có AM, DM là hai đường
H
O E
Trang 4Ví dụ 6 Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB 6= AC, trực tâm H.Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắt đường tròn (O) ở K Chứng minh rằngAK⊥KH.
4AKF nối tiếp đường tròn đường kính AF nên \AKF = 90◦ Vậy AK⊥KH
Ví dụ 7 Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tạiđiểm I nằm trong đường tròn (C thuộc cung nhỏ AB)
Điều phải chứng minh IA2
Suy ra AC=_ BE_ (hai cung chắn giữa hai dây song song), do đó AC = BE
Vẽ các đoạn thẳng AC, BD Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông
Trang 5Ví dụ 8 Cho 4ABC nhọn bA = 60◦ Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ nửađường tròn (O) đường kính BC, nó cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E Chứngminh rằng 4DOE là tam giác đều.
Hướng dẫn giải (h.4b)
Vẽ thêm cung nửa đường tròn BmC
Theo tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, ta có
4DOE cân có một góc bằng 60◦ nên là tam giác đều
Ví dụ 9 Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) nối tiếp đường tròn(O; R) có AD = BC = R, tâm O nằm trong hình thang Gọi M, N, I theo thứ
tự là trung điểm của OA, OB, CD Chứng minh 4MIN là tam giác đều.Hướng dẫn giải (h.5)
Vẽ các đoạn thẳng OI, OC, OD 4COD có OI là đường trung tuyến nên
C D
I
M N O
A B
4MOI = 4NOI (c.g.c) ⇒ MI = NI
Vẽ đoạn thẳng DM 4AOD có DM là đường trung tuyến nên DM⊥OA và
Vẽ đoạn thẳng CN Tương tự ta có [OIN = 30◦
4MIN có MI = NI và \MIN = 30◦ + 30◦ = 60◦ nên là tam giác đều
Trang 6Cách thứ hai: Vẽ giao điểm của hai đường
Hãy chú ý đến vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tamgiác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu trong đề bài; vẽ giao điểm của đườngthẳng và đường tròn nếu hình vẽ tạo ra các cung có liên quan đến các dữ kiệntrong đề bài
Vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợitrong chứng minh (tạo ra những tam giác đặc biệt, những tam giác bằng nhau,những tam giác đồng dạng, những cung bằng nhau hay bù nhau, )
Ví dụ 10 Cho 4ABC vuông tại A, tia phân giác của bB cắt AC ở D Đườngvuông góc với DB tại D cắt BC tại E Kẻ EH⊥AC
Chứng minh rằng AD = DH
Hướng dẫn giải (h.5b)
Gọi K là giao điểm của BA và DE
4BDK = 4BDE (c.g.c) ⇒ DK = DE
4ADK = 4HDE (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = DH
Cách khác: Có thể kẻ DG⊥BC rồi dùng đoạn thẳng DG làm trung gian để chứngminh AD = DH Cách giải này dùng đến kiến thức về trường hợp bằng nhaucạnh huyền - cạnh góc vuông
Ví dụ 11 Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc đường chéo AC Kẻ ME⊥AD,
MF ⊥CD Chứng minh rằng BM⊥EF
Hướng dẫn giải (h.6a)
Kéo dài BM cắt EF tại H Để chứng minh MH⊥EF , ta sẽ chứng minh
M
K E
D
H
1 1
1 2
Trang 7Vậy MH⊥EF , tức là BM⊥EF
Ví dụ 12 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 6cm Trên tia đối của tia CD lấycác điểm F và G sao cho CF = 3cm, CG = 12cm Gọi M là giao điểm của
BF và AG Chứng minh rằng \AMC = 90◦
Hướng dẫn giải (h.6b)
Gọi K là giao điểm của AM và BC Ta đã có
[
ABC = 90◦ nên để chứng minh \AMC = 90◦ cần chứng minh bA1 = bC1
Gọi H là giao điểm của CM và AB, ta sẽ chứng minh 4ABK = 4CBH
Ta đã có \ABK = \CBH = 90◦, AB = CB, cần chứng minh BK = BH Ta sẽtính BK và BH
Áp dụng định lý Ta-lét với AB//CG ta có
Do đó \CKM + \KCM = \BAK + \BKA = 90◦ hay \AMC = 90◦
Ví dụ 13 Cho 4ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm Các tia phângiác của bB và bC cắt nhau tại I Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng
\
BIM = 90◦
Hướng dẫn giải (h.7a)
Ta có bB1 = bB2 nên để chứng minh \BIM = 90◦ (tức là \BIM = bA), ta chứngminh cM2 = bD2, trong đó D là giao điểm của BI và AC
Ta sẽ chứng minh 4ICM = 4ICD, muốn vậy cần chứng minh MC = DC
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có
Trang 82 2
Hướng dẫn giải (h.8a)
Kéo dài AH và AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở D và K Ta có
BC⊥AD, DK⊥AD nên BC//DK, suy raBD=_ CK_ (hai cung chắn giữa hai dâysong song)
Do đó \BAD = \KAC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau), tức là \BAH =[
OAC
Lưu ý Trong trường hợp bB hoặc bC là góc tù, bài toán vẫn đúng
Trong trường hợp bC = 90◦, cả hai góc \BAH và [OAC đều là góc bA
Trong trường hợp bB = 90◦, cả hai góc \BAH và [OAC đều là "góc không"
Ví dụ 16 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên đường vuông góc với
AB tại điểm O, lấy điểm C nằm trong nửa đường tròn Gọi D là giao điểm thứ
Trang 91 1 A
1 1
Hình 8:
hai của AC với nửa đường tròn Lấy điểm E thuộc cung AD Vẽ đường tròn(C; CA) và vẽ dây BH của đường tròn đó sao cho BH đi qua E Chứng minhrằng DE⊥AH
Suy ra \ADE + bA1 = 90◦ Vậy DE⊥AH
Cách thứ ba: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn
thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
Trong tam giác, khi có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ thêm trungđiểm của một cạnh khác
Trong hình thang, khi có trung điểm của một cạnh bên, ta thường vẽ thêm trungđiểm của cạnh bên thứ hai
Việc vẽ thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
- Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán;
- Một tam giác cân thuận lợi trong chứng minh;
Trang 10- Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng.
Ví dụ 17 Cho 4ABC có AB < AC Tia phân giác của bA cắt cạnh BC ở D.Chứng minh rằng DC > DB
Hướng dẫn giải (h.9a)
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Do AB < AC nên E nằm giữa
2
A
A B
4ADB = 4ADE (c.g.c) nên DB = DE và bB1 = bE1 Suy ra bB2 = bE2
Ta lại có bB2 > bC (góc ngoài của 4ABC) nên bE2 > bC
4DEC có bE2 > bC nên DC > DE Theo chứng minh trên DB = DE
Do đó DC > DB
Ví dụ 18 Cho 4ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của AC So sánh \ABM
và \MBC
Hướng dẫn giải (h.9b)
Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB
Do BC > AB nên BC > CE
Từ (1), (2) suy ra bB1 > bB2, tức là \ABM > \MBC
Ví dụ 19 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại
O, đoạn thẳng MN (nối trung điểm M của AD và trung điểm N của BC) cắt
AC, BD lần lượt tại hai điểm H, G (không trùng với O) Chứng minh rằng
OG = OH
Hướng dẫn giải (h.10a)
Gọi I là trung điểm của AB IM là đường trung bình của 4ABD nên IM//BD
2
Trang 11A B
C D
I
N M
Từ (1), (2), (3) suy ra \OGH = \OHG, do đó OG = OH
Ví dụ 20 Cho 4ABC có AB < AC, [BAC = α Lấy điểm D thuộc cạnh AC
Hướng dẫn giải (h.10b)
Để làm xuất hiện tổng AB + AC, ta lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho
AE = AB, khi đó CE = AB + AC, do đó D là trung điểm của CE
4ABE cân tại A nên bE = [ABE = BAC[
Hướng dẫn giải (h.11a)
Gọi N là trung điểm của AH
IN ⊥AB
4ABI có AH⊥BI, IN⊥AB nên N là trực tâm, suy ra BN⊥AI
Ta có BN⊥AI, KI⊥AI nên BN//KI
Ta có IN⊥AB, KB⊥AB nên IN//KB
Tứ giác BNIK là hình bình hành, suy ra BK = IN = AC
6
2 = 3 (cm).
Trang 12E I
Trang 13minh đoạn còn lại bằng HA.
Hướng dẫn giải (h.12a)
Trên CA lấy điểm E sao cho CE = AB, ta sẽ chứng minh HE = HA Muốn vậy
Do đó 4ICE = 4IBA (c.g.c) ⇒ IE = IA
Đường xiên IE = IA nên hình chiếu HE = HA
Do đó HE + CE = HA + AB, hay CH = HA + AB
Ví dụ 24 Cho 4ABC đều Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 1
3AB Trêncạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1
3AC Gọi K là giao điểm của BE và CD.Chứng minh rằng \AKD = 90◦
Hướng dẫn giải (h.12b)
Ta sẽ chứng minh tứ giác AEKD nội tiếp và \AED = 90◦
Vẽ đoạn thẳng ED Gọi I là trung điểm của AD
4AEB = 4BDC (c.g.c) ⇒ [AEB = \BDC, do đó AEKD là tứ giác nội tiếp (2)
Từ (1), (2) suy ra \AKD = \AED = 90◦ (các góc nội tiếp cùng chắn một cung củađường tròn ngoại tiếp tứ giác AEKD)
Ví dụ 25 Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn Gọi I là trung điểm của AC, gọi D là giao điểm thứhai của BI với đường tròn, gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn.Chứng minh rằng BE//AC
Trang 141
1
1 2 2
Hình 13:
Ta lại có bB2 = bE (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn mộtcung), bC2 = bA2 (so le trong, AD//CK) nên bE = bA2
Hai góc so le trong bằng nhau bE = bA2 nên BE//AC
Cách thứ tư: Vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc
cho trước
Ta thường vẽ tia phân giác của một góc nếu góc đó gấp đôi một góc khác trongbài toán Việc vẽ một góc bằng một góc cho trước nhằm tạo ra một tam giác cân,một hình thang cân, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng
Ví dụ 26 a) Chứng minh định lý: Nếu một tam giác vuông có một góc bằng 30◦
thì cạnh đối diện với góc đó bằng nửa cạnh huyền
b) Cho 4ABC vuông tại A có bB = 30◦ Lấy điểm D thuộc cạnhBC sao cho
\
BAD = 15◦ Chứng minh rằng tổng AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC.Hướng dẫn giải (h.14)
a) Xét 4ABC vuông tại A có bB = 30◦ (h.14a)
Vẽ điểm D trên cạnh BC sao cho \BAD = 30◦
4ACD có bC = \CAD = 60◦ nên là tam giác đều, suy ra AD == AC = CD (2)
Từ (1), (2) suy ra AC = BD = CD tức là AC = 1
2BC.b) (h.14b) Kẻ AH⊥BC Ta có \CAH = bB = 30◦ (cùng phụ với \BAH);
\
DAH = 90◦ − 15◦ − 30◦ = 45◦ nên 4DAH vuông cân
Đặt AH = b thì DH = b
4ABH vuông có bB = 30◦ nên AH = 1
2AB (theo câu a), do đó AB = 2b
Trang 152b 4a
a 2a
Từ (1), (2) suy ra AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC
Ví dụ 27 Cho 4ABC vuông cân tại A Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộccạnh AC sao cho AD = AE Gọi K là một điểm thuộc cạnh BC Chứng minhrằng KE + KD ≥ AB
Hướng dẫn giải (h.15a)
Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ điểm I sao cho [EAI = \DAK
D A
I
C B
2 (KI là cạnh huyền của tam giác vuông cân)
KA ≥ AH (AH là đường cao của 4ABC)
Trang 16Từ các kết quả trên suy ra
Vậy KE + KD ≥ AB
Xảy ra đẳng thức KE + KD = AB khi K ≡ H và D là trung điểm của AB, E
là trung điểm của AC
Ví dụ 28 Cho 4ABC vuông tại A Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho \ACD =1
3ACB Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho [[ ABE = 1
3ABC[ Gọi I là giao điểmcủa BE và CD Tính số đo các góc của 4DIE
B + bC
3 · 90◦ = 60◦ nên [BIC = 120◦, do đó [DIE = 120◦.Gọi K là giao điểm các đường phân giác của 4IBC
Do [DIE = [BIC = 120◦ nên bI1 = bI2 = bI3 = bI4 = 60◦
4BID = 4BIK (g.c.g) ⇒ ID = IK
Chứng minh tương tự IE = IK
4DIE có IE = IK (= IK) và [DIE = 120◦ nên [IDE = [IED = 30◦
Ví dụ 29 Cho tứ giác AKCD có bA = bB, bD > bC Chứng minh rằng BC > AD.Hướng dẫn giải (h.16a)
Từ bA = bB và bD > bC ⇒ bA + bD > bB + bC
E α
Trên tia BC lấy điểm E sao cho \ADE = α
Do bA + \ADE = 180◦ nên AB//DE Hình thang ABED có bA = bB nên là hình
Từ (1), (2) suy ra BC > AD
Trang 17Ví dụ 30 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có bA < bB Chứng minh rằng
AC > BD
Hướng dẫn giải (h.16b)
Trên tia DC lấy điểm K sao cho \ABK = \BAD
Do \BAD < [ABC nên \ABK < [ABC, suy ra K nằm giữa D và C
Hình thang ABKD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân, suy
AB là tia phân giác của [CAE
Hướng dẫn giải (h.17a)
Gọi Bx là tia đối của tia BC, ta có [EBx = [EAB (góc tạo bởi tiếp tuyến với
A
E
B
C D
Hình 17:
Ta sẽ chứng minh [BAC = [EBx
Gọi F là giao điểm thứ hai của tia BA và đường tròn (O0) Ta chứng minh được
Trang 18BE//DF (kẻ tiếp tuyến chung tại A, ta có bE = bA1 = bA2 = bD1) nên [EBx = \F DC(đồng vị).
Ta lại có \F DC = [BAC (cùng bù với [CAF) Suy ra [EBx = [BAC (2)
Từ (1), (2) suy ra [EAB = [BAC Do đó AB là tia phân giác của [CAE
Ví dụ 32 Cho đường tròn (O), các đường kính AB và CD Gọi I là một điểmnằm trong \AOD và nằm trong đường tròn (O) Vẽ các dây BE và CF đi qua I.Gọi K là giao điểm của OI và DE Chứng minh rằng [IEK = [IF K
Hướng dẫn giải (h.17b)
Để chứng minh bE = bF, ta sẽ chuyển bF về vị trí đối xứng với với nó qua OK.Lấy điểm H trên đường tròn (O) sao cho [OIH = [OIC Kẻ dây HG đi qua I, ta
có H đối xứng với C qua OK, G đối xứng với F qua OK, suy ra [IGK = [IF K(1)
Ta sẽ chứng minh [IGK = [IEK bằng cách chứng minh IGEK là tứ giác nội tiếp
Từ (2), (3) suy ra [GIK bù \GEK, do đó IGEK là tứ giác nội tiếp, suy ra[
Từ (1), (4) suy ra [IEK = [IF K
Cách thứ năm: Vẽ đường thẳng vuông góc
Vẽ đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước là một cách vẽđường phụ thường dùng Cách vẽ đó tạo ra tam giác vuông, từ đó khai thác đượccác tính chất của tam giác giác vuông, hoặc làm xuất hiện các tam giác vuôngbằng nhau, các tam giác vuông đồng dạng
Trong trường hợp có điểm thuộc tia phân giác của một góc ta thường vẽ đườngthẳng vuông góc để sử dụng tính chất của tia phân giác
Trong trường hợp có các góc 30◦, 45◦, 60◦, 120◦, 135◦, cách vẽ đường thẳngvuông góc tạo ra những tam giác vuông đặc biệt như "nửa tam giác đều" haytam giác vuông cân
Trong các bài toán về đường tròn, ta cũng thường kẻ đường vuông góc từ tâmđến dây của đường tròn Khi có hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta thường kẻ tiếptuyến chung tại tiếp điểm của hai đường tròn
Ví dụ 33 Cho góc vuông xOy và điểm A thuộc tia phân giác của góc vuông đó.Lấy điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho [BAC = 90◦ Chứng minhrằng AB = AC
Trang 19Hướng dẫn giải (h.18a)
Giả sử OB ≥ OC Kẻ AH⊥Ox, AK⊥Oy
y K C
K E H
1 2
Hình 18:
4AOH = 4AOK (cạnh huyền - góc nhọn) nên AH = AK
Ta lại có bA1 = bA2 (cùng phụ với \CAH) nên 4AHB = \AKC (c.g.c) ⇒ AB = AC
Ví dụ 34 Cho 4ABC (AB < AC), bA = α, tia phân giác của bA cắt BC ở D.Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho \CDE = α Chứng minh rằng DB = DE
Hướng dẫn giải (h.18b)
Kẻ DH⊥AB, DK⊥AC 4ADH = 4ADK (cạnh huyền - góc nhọn) nên DH =
DK
Ta có \CDE + \BDE = 180◦ mà \CDE = [BAC nên [BAC + \BDE = 180◦ (1)
Ta có bA1 + \ADH = 90◦ và bA2 + \ADK = 90◦ nên [BAC + \HDK = 180◦ (2)
Do đó 4ABI = 4ACK ⇒ AI = AK
Điểm A cách đều hai cạnh của \CHE nên HA là phân giác của \CHE
Ví dụ 36 Cho hình vuông ABCD Gọi E, G, F theo thứ tự là các điểm thuộccác cạnh AB, AD, CD, kẻ đường thẳng vuông với EF , cắt đường thẳng BC ở
H Chứng minh rằng EI = GH