Mot so bai tap hinh on thi

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB , D là một điểm trên cạnh AC sao cho CD < AD.Vẽ đường tròn D tâm D và tiếp xúc với BC tại E.Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn D với[r]

H

D

E

A

F

Bài 1:

Cho tam giác ABC có Â > 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là

E

a)Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

b)Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD

c)Gọi H là giao điểm của AB và EF Chứng minh BH.AD = AH.BD

HD:

a) ∠ AEB =900 ; ∠ ADC =900 Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

* ∠ AFB = ∠ AFC = 900(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∠ AFB + ∠ AFC =1800

Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng

* ∠ AFE = ∠ ABE cùng chắn cung AE

∠ AFD = ∠ ACD cùng chắn cung AD

Mà ∠ ECD = ∠ EBD (cùng chắn cung DE của tứ giác BCDE nội tiếp)

Suy ra ∠ AFE = ∠ AFD=> FA là phân giác của góc DFE

Chứng minh được EA là phân giác của tam giác DHE và suy ra

AD ED (1)

Chứng minh được EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy ra

BD ED (2)

Từ 1 và 2 suy ra đpc/m

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và

By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến

Ax và By lần lượt ở E và F

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp

b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?

c) Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB) Gọi K là giao điểm của MH và EB

So sánh MK với KH

d) Cho AB = 2R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF

Chứng minh rằng:

r R

HD: a) C/m tứ giác AEMO nội tiếp

b) C/m tứ giác MPOQ là hình chữ nhật

c) C/m được

EM EF=

MK FB và

EM = EF

MK MF

C/m

MK KH , từ đó suy ra MK = KH

d) Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác vuông EOF là a, b, c; và đường cao OM = R

C/m được

R a +b +c

C/m được

a < a =1

a +b +c 2a 2

C/m được

a > a =1

a +b +c 3a 3 Từ đó suy ra điều phải c/m

Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ

các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp.

b) Biết AM = R Tính OA theo R.

c) Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN của đường tròn tâm O theo bán kính R.

d) Đường thẳng d đi qua A, không đi qua điểm O và cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C Gọi I là trung điểm của BC Chứng tỏ rằng năm điểm A, M, N, O

và I cùng nằm trên một đường tròn.

HD: a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp:

+Xét (O) có:

AM là tiếp tuyến tại M  AM OM  ∠ OMA =900 (1)

AN là tiếp tuyến tại N  AN  ON  ∠ ONA=900 (2)

Từ (1 , (2) ∠ OMA+ ∠ ONA =1800  Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA

b) Biết AM = R Tính OA theo R:

OAM

 vuông tại M  OA = OM2  AM2

 OA = R2  R2 R 2 c)Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN của đường tròn tâm O theo bán kính R

+Xét (O) có:

Hai tiếp tuyến AM, AN cắt nhau tại A

 AM = AN =R = OM = ON

 AMON là hình thoi (1)

Mà: ∠ OMA =900 (cmt) (2)

Từ (1) và (2)  AMON là hình vuông

 ∠ MON =900  n0 = 900

Squạt (MON) =

 2 360

R n

=



R 2 90 R2

360 4 (đvdt)

a) Chứng tỏ rằng năm điểm A, M, N, O và I cùng nằm trên một đường tròn +Xét (O) có:I là trung điểm của dây BC  OI BC

Suy ra ∠ OIA =900 nhìn đoạn OA

 I  đường tròn đường kính OA (1)

Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA (2)

Từ (1), (2  5 điểm A,M, N, O, I  đường tròn đường kính OA

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và

DC theo thứ tự tại H và K

1 Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

2 Tính ∠ CHK;

3 Chứng minh KH.KB = KC.KD;

4 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N Chứng minh 2 2 2

HD:

+ Ta có ∠ DAB =900 (ABCD là hình vuông)

∠ BHD =900 (gt) Nên ∠ DAB + ∠ BHD = 180o  Tứ giác ABHD nội tiếp

+ Ta có ∠ BHD = 90o (gt)

∠ BCD = 90o (ABCD là hình vuông) Nên H; C cùng thuộc đường tròn đường kính DB

 Tứ giác BHCD nội tiếp

Ta có: ∠ BDC+ ∠ BHC = 180o ; ∠ CHK+ ∠ BHC = 180o

mà ∠ BDC = 45o (tính chất hình vuông ABCD)  ∠ CHK = 45o

Xét KHD và KCB

∠ KHD = ∠ KHB = 90o; ∠ DKB chung  KHD đồng dạng với

P

M H

KCB (g.g) 

KC KB KH.KB = KC.KD (đpcm)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng

DC tại P

Ta có: ∠ BAM = ∠ DAP (cùng phụ ∠ MAD)

AB = AD (cạnh hình vuông ABCD)

∠ ABM = ∠ ADP = 900

Nên BAM = DAP (g.c.g)  AM = AP

Trong PAN có: ∠ PAN = 90o ; AD  PN

AD AP AN (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB , D là một điểm trên cạnh AC sao cho CD < AD.Vẽ đường tròn (D) tâm D và tiếp xúc với BC tại E.Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn (D) với F là tiếp điểm khác E

a) Chứng minh rằng năm điểm A ,B , E , D , F cùng thuộc một đường tròn b) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng BF lần lượt cắt AM,AE,AD theo thứ tự tại các điểm N,K,I Chứng minh

IK =AK

IF AF Suy ra: IF.BK=IK.BF c) Chứng minh rằng tam giác ANF là tam giác cân

HD:

//

//

O

I K N

M

F

E

D

C B

A

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠ BED= ∠ BFD = 900

Mà ∠ BAD= ∠ BAC= 900 (giả thiết)

Do đó: ∠ BED= ∠ BFD = ∠ BAD = 900

Vậy: năm điểm A,B,E,D,F cùng thuộc đường tròn đường kính BD

Gọi (O) là đường tròn đường kính BD Trong đường tròn (O), ta có :

CUNGDE = CUNG DF (do DE, DF là bán kính đường tròn  D )

suy ra ∠ EAD = ∠ DAF

Suy ra : AD là tia phân giác ∠ EAFF hay AI là tia phân giác của  KAF

Theo tính chất phân giác ta có

IK =AK

IF AF (1)

Vì AB AI nên AB là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của  KAF

Theo tính chất phân giác ta có :

=

BF AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

IK =BK

IF BF Vậy IF BK = IK BF (đpcm)

Ta có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên AM=MC, do đó AMC cân tại M, suy ra ∠ MAC = ∠ MCA

Từ đó ∠ NAF = ∠ MAC+ ∠ DAF= ∠ MCA+ ∠ EAC ( vì AI là tia

phân giác của góc EAF)

Mà ∠ EAB = ∠ MCA+ ∠ EAC ( góc ngoài của tam giác AEC)

Mặt khác : ∠ AFB = ∠ AEB ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Suy ra : ∠ NAF = ∠ BFA = ∠ NFA

Vậy ANF cân tại N (đpcm)

Bài 6:

Từ một tấm thiếc hình chữ nhật ABCD có chiều rộng AB= 3,6 dm, chiều dài

AD=4,85 dm, người ta cắt một phần tấm thiếc để làm mặt xung quanh của một hình nón với đỉnh là A và đường sinh bằng 3,6 dm, sao cho diện tích mặt xung quanh này lớn nhất.Mặt đáy của hình nón được cắt trong phần còn lại của tấm thiếc hình chữ nhật ABCD

a) Tính thể tích của hình nón được tạo thành

Chứng tỏ rằng có thể cắt được nguyên vẹn hình tròn đáy mà chỉ sử dụng phần còn lại của tấm thiếc ABCD sau khi đã cắt xong mặt xung quanh hình nón nói trên

HD:

H

I

K C

D A

a =3,6 dm

a)Hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón có đỉnh tại A , đường sinh

l = 3,6dm =AB là hình quạt tâm A , bán kính AB.Mặt xung quanh này có diện tích lớn nhất khi góc ở tâm của hình quạt bằng 900

+Diện tích hình quạt cũng là diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy là r , nên:

 

0,9

4

xq

l



Do đó thể tích của hình nón được tạo ra là :

 2  2  2  

V r h r l  r    dm

b)Trên đường chéo AC, vẽ đường tròn tâm I bán kính r = 0,9 (dm) ngoại tiếp cung quạt tròn tại E , IH và IK là các đoạn vuông góc kẻ từ I đến BC và CD

Ta có CI = AC - AI =        

3,6  4,85  3,6 0,9 1,54 dm 

HI CI

AB AC

AB CI

AC

Tương tự : IK > r = 0,9 ( dm)

Vậy sau khi cắt xong mặt xung quanh , phần còn lại của tấm thiếc ABCD có thể cắt được mặt đáy của hình nón

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E

1) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh BAEDAC

3) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC,đường thẳng AM cắt OH tại G.Chứng minh G là trọng tâm của tam giácABC

B

H

O M

G

C

4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a HD:

a) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn

Vì BC //ED; Mà AE BC Nên AE ED

0

AED 90

  => E ( O ; AD / 2 )

0

   (góc nội tiếp chắn ½ đường tròn (O) ) suy ra kết luận b) Chứng minh BAEDAC

C1: vì BC //ED nên cung BE bằng cung CD => kết luận

C1: vì BC //ED nên CBDBDE ( SLT)

Mà BAEbằng ½ sđ cungBE Và CAD bằng ½ sđ cungDC

=> cungBE bằng cungDC => kết luận

c) Vì BHCD là HBH nên H,M,D thẳng hàng.Tam giác AHD có OM là Đường T/Bình => AH = 2 OM Và AH // OM.Hai tam giác AHG và MOG có

 

HAG OMG slt

AHG

AH AG MOG g g

MO MG

Hay AG = 2MG

Tam giác ABC có AM là trung tuyến; G  AM Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

d)  BHC  BDC( vì BHCD là HBH)

có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính là a

Nên tam giác BHC cũng nội tiếp (K) có bán kính a

Do đó C (K) = 2 a ( ĐVĐD)

Bài 8: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K

1.Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp

2.Chứng minh: KM  DB

3.Chứng minh: KC KD = KH KB

4.Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM Chứng minh tổng (SABM + SDCM ) không đổi Xác định vị trí của M trên BC để S2

ABM +

S2

DCM đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a

H

D

B A

C M

1 (1đ) Xét tứ giác BHCD có:

Mà: Hai đỉnh H, C kề nhau cùng nhìn BD dưới góc 900

Nên BHCD là tứ giác nội tiếp

2.(1đ) Xét tam giác BDK có DH , BC là hai đường cao cắt nhau tại M

=> M là trực tâm của tam giác BDK

=>KM là đường cao thứ ba nên KM  BD

3 (1đ) HKC và DKB đồng dạng (g.g)

=>KC.KD = KH KB

4.(1đ) SABM =

SDCM =

=> SABM + SDCM =

2

2 a CMBM 2a không đổi

Ta có: S2

ABM + S2

DCM =

 

2

2

2

4

a

a

BM

BM

Để S2

ABM + S2

DCM đạt giá trị nhỏ nhất thì BM = a/2 hay M là trung điểm BC GTNN là

4

8

a