Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD.. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh
Trang 1BÀI TẬP VEC TƠ
A Khái niệm véc tơ
1 Cho ∆ABC Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác 0 r
1) 2 Cho tứ giác ABCD a/ Có ? vectơ khác0 r
2) b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR :
MQ→ = NP→
1 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN→ ; b/ Xác định các vectơ bằng NP→
1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH→ và FG→ bằng AD→
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
1 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ CI→ = DA→ CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI→ = CB→ b/ AI→ = IB→ = DC→
1. Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD Dựng MK→ = CP→ và
KL→ = BN→
a/ CMR : KP→ = PN→ b/ AKBN là hình bình hành; c/ CMR : AL→ = 0 r
7 Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng,trong trường hợp nàoAB→ và AC→ cùng hướng , ngợc hớng ?
8 Cho tam giác ABC, gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm cuả các cạnh AB, BC, CA Hãy vẽ
hình và chỉ ra các vectơ bằng PQ QR RPuur uur uur, ,
B Phép toán véc tơ
5 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AC→ + BD→ = AD→ + BC→
6 Cho 5 điểm A, B, C, D, E CMR : AB→ + CD→ + EA→ = CB→ + ED→ x2 + 3 x
7 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR : AD→ + BE→ + CF→ = AE→ + BF→ + CD→
8 Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H CMR : AC→ + BF→ + GD→ + HE→ = AD→ + BE→ +
GC→ + HF→
9 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB→ ; b/ OD→ + OC→ =BC→ ; c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ =0 r; d/ MA→ +
MC→ = MB→ + MD→
1 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB CMR : OD→ + OC→ = AD→ + BC→
Trang 22 Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ AA→ ' , BB→ ' , CC→ 'CMR : AA→ ' + BB→ '+CC→ ' =
'
BA→ + CB→ ' + AC→ '
3 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AD→ + → theo a
4 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a
14) a/ Tính AB AD→ + → b/ Dựng ur= AB AC→ + → Tính ur
1 Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a a/ Dựng vr= AB AC→ + → b/ Tính vr
2 Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur , , ,
có độ dài bằng nhau và OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur + + + = 0 Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
3 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0 r b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ +
OP→
1. Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi M∈BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : AB→ + 2AC→ = 3AM→ b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→
1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF
a/ CMR : AD→ + BC→ = 2EF→ b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 r
c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MO→ d/ Xác định vị trí của điểm M: MA−→ + MB−→ +
MC−→ +MD−→ nhỏ nhất
1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0 r; b/ CMR : MA→ +MB→ +MC→ +MD→ = ME→ +
MF→ +MG→ +MH→
c/ CMR : AB AC→ + → + AD→ = 4AG→ (với G là trung điểm FH)
1 Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3
GH→
2 Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 r; b/ EA→ + EB→ + 2EC→ = 3AB→ ; c/ EB→ + 2EA→ + 4
ED→ = EC→
22.Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AB→ − CD→ = AC→ + DB→
Trang 323.Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR : a/ CD→ + FA→ − BA→ − ED→ + BC→ − FE→ = 0 r
b/ AD→ − MB→ − EB→ = MA→ − EA→ − FB→ ; c/ MA→ − DC→ − FE→ = CF→ − MB→ + MC→
1 Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M sao cho :a/ MA→ − MB→ + MC→ = 0 r b/ MB→ −
MC→ + BC→ = 0 r c/ MB→ − MC→ + MA→ = 0 r d/ MA→ − MB→ − MC→ =
0 r e/ MC→ + MA→ − MB→ + BC→ = 0 r
2 Cho HCN-ABCD có AB = 3a, AD = 4a.a/ Tính AD→ − AB→ b/ Dựng ur = CA→ − AB→ Tính ur
3 Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC.a/ Tính AB AC→ − → b/ Tính BA→ − BI→
4 Cho ∆ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính AB AC→ − →
5 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0 r; b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
29.Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi M ∈ BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : AB→ + 2AC→ = 3AM→ ; b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→
1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.CMR:
a/ AD→ + BC→ = 2EF→ b/OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 rc/ MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4
MO→ (với M tùy ý)
1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.CMR:
a/ AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0 r b/MA→ +MB→ +MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ +
MH→
c/ CMR : AB→ + AC→ + AD→ = 4AG→ (với G là trung điểm FH)
1 Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3
GH→
2 Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 r; b/ EA→ + EB→ + 2EC→ = 3AB→ ; c/ EB→ + 2EA→ + 4
ED→ = EC→
1 Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC
a) Tính uur uuur AI AJ theo AB AC , uuur uuur , b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính uuur AG
Trang 4theo uuur AI và uuur AJ
35) 31 Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao
cho
36) AN→ = 1
2 NC
→
Gọi K là trung điểm của MN a/ CMR : AK→ = 1
4 AB
→
+ 1
6 AC
→
37) b/ CMR : KD→ = 1
4 AB
→
+ 1
3 AC
→
38) 32.Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD→ = 2DB→ , CE→ = 3
EA→
39) Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :a/ AM→ = 1
3 AB
→
+ 1
8 AC
→
b/ MI→
= 1
6 AB
→
+ 3
8 AC
→
40) 33.Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB→ + 3AC→ = 5AD→ CMR : B, C, D thẳng hàng
41) 34 Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB→ = 3MC→ ;NA→ +3NC→ =0 r và PA→ + PB→ = 0 r
a/ Tính PM→ , PN→ theo AB→ và AC→ b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
35) 35 Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B
qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng
trọng tâm
36) 36 Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M
qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.CMR: a/ 3 đường thẳng AA’, BB’,
CC’ đồng qui
37) b/ Khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác
ABC
38) 37 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :
39)
a MA MB b MA MB MC = + + = c ΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒ; ΜΑ + Β =ΜΑ − ΜΒ d 3
2
uuur uuur uuur uuur uuuur r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
38.Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :
)
a AB DC AC DBuur uur uur uur+ = +
b AB ED AD EB)uur uur uur uur+ = +
)
c AB CD AC BDuur uur uur uur− = −
)
d AD CE DC AB EBuur uur uur uur uur+ + = −
) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
e uur uur uur uur uur uur
)
f AD BE CFuur uur uur uur uur uur uur uur uur+ + =AE BF CD AF BD CE+ + = + +
39.Cho tam giác MNP có MQ là tr.tuyến của tam giác Gọi R Là trung điểm của MQ Chứng
minh rằng:
a) 2RM RN RPuuur uur uur r+ + = 0 ; b ON) uur+ 2OM OPuuur uur+ = 4ODuur, ∀O
c) Dựng điểm S: MNPS là hình bình hành Chứng tỏ rằng: MS MN PMuur uuur uuur+ − = 2MPuuur
d)ON OS OM OP uuur uuur uuuur uuur + = + ; ON OM OP OS uuur uuuur uuur uuur + + + = 4 OI uur
Trang 540.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:
a)CA DB CB DA uuur uuur uuur uuur + = + = 2 MN uuuur b) uuur uuur uuur uuur AD BD AC BC + + + = 4 MN uuuur
c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng:2(AB AI NA DAuur uur uur uur+ + + ) 3 = DBuur
41.Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác Chứng minh rằng:
a MQ NS PIuuur uur uur r+ + =
b)Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm
c)Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua N , N’ là điểm đối xứng với N qua P , P’ là điểm
đối xứng với P quaM Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
ON OM OP ON+ + = +OM +OP
uuur uuur uuur uur uuur uur
42 Gọi G và G ′ lần lượtlà trọng tâm của tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′
Chứng minh rằng uuur uuur uuur AA BB CC ′ + ′ + ′ = 3 GG uuuur ′
43 Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho
NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN
) CMR: AK= AB + AC
a uuur uuur uuur
uuur uuuur uuur Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh :
35)44 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :a/ MA→ = MB→ b/ MA→ +
MB→ + MC→ = 0 r
c/ MA MC MB uuur uuuur uuur r + − = 0 d MA MB MC / uuur uuur uuuur + + = 2 BC uuur e/ 2MA MB MC CA uuur uuur uuuur uuur − + =
45 a) Cho MK và NQ là trung tuyến của ∆MNP
Hãy phân tích MN NP PMuuur uur uuur, ,
theo hai véctơ u MK r uuuur = , v NQ r uuur = b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho SN uuur = 3 SP uur
Hãy phân tích véctơ MS uuur theo hai véctơ u MN r uuuur = , v MP r uuur =
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là
điểm trên
cạnh MN sao cho MH =1
5 MN *Hãy phân tích các véctơ MI MH PI PHuur uuur uur uur, , ,
theo hai véctơ u PM r uuuur = ,
v PN =
r uuur
*Chứng minh ba điểm P,I,H thẳng hàng
Hệ toạ độ Oxy
1/ Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)a)Chứng minh A, B,C không thẳng hàng
b)Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB c)Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d)Tìm
t.độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành e)Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung
điểm của đoạn AN
g)Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của
tam giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK h)Tìm t.độ T sao cho 2 điểm A và T đ.xứng
nhau qua B, qua C
Trang 6i)T ì m toạ độ điểm U sao cho uuur AB = 3 uuur BU ; 2 uuur AC = − 5 uuur BU
j)Hãy phân tích AB uuur , theo 2 véc tơ AU và CB uuur uuur ; theo 2 véctơ AC và CN uuur uuur
2/.Cho ∆ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là tr.điểm của cỏc cạnh: BC, CA, AB Tỡm
toạ độ A, B, C
3/.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.CMR cỏc điểm: a)A ( ) 1;1 ,B ( − 1;7 ) ,C ( ) 0;4 thẳng hàng b)
( 1;1 )
M − ,N ( ) 1;3 ,C ( − 2;0 ) thẳng hàng c)Q ( − 1;1 ) ,R ( ) 0;3 ,S ( − 4;5 ) khụng thẳng hàng
4/.Cho hai điểm A ( ) 2;1 vàB ( 6; 1 − ) Tỡm tọa độ: a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng c) Điểm P thuộc hàm số y=2x-1 sao cho A, B, P thẳng hàng
d) Điểm Q thuộc hàm số y= x 22 − + x 2sao cho A, B, Q thẳng hàng
5/ Cho ∆ABC vuụng tại A, cú gúcB= 600
a) Xác định số đo các góc : (BA, BC); (AB,BC); (CA,CB); (AC, BC); uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) Tớnh giỏ trị lợng giỏc của cỏc gúc trờn
6/ Trong hệ trục Oxy cho cỏc vộctơ a r = (2; 1), − b r = − − ( 1; 3), c r = (3;1).
a) Tỡm toạ độ của cỏc vộctơ u a b v a b c w r r r r r r r ur = + , = − + , = 2 a r − + 3 b r 4 c r
b) Biểu diễn vộctơ c r theo hai vộctơ a r và b r
c) Tỡm toạ độ của vộctơ d ur sao cho a r + 2 d b ur r = − 3 c r
7/ Trong hệ trục Oxy cho ba điểm A (2;1), ( 1;2), ( 3; 2) B − C − − .
a) Tỡm toạ độ của cỏc vộctơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB BA BC CB AC CA , , , , ,
b) Chứng minh rằng A B C , , là ba đỉnh của một tam giỏc Vẽ tam giỏc đú trờn hệ trục
c) Tỡm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hỡnh bỡnh hành
d) Tỡm toạ độ của điểm E sao cho 3 uuur uuur AE AB = + 2 BC CA uuur uuur −
8./(ĐH, CĐ khối D - 2004) Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuụng gúc cho ∆ ABC cú A(-1;0)
B(4;0) C(0;m) m ≠ 0 Tỡm toạ độ trọng tõm G theo m Tỡm m để ∆ GAB vuụng tại G
35) C Trục – Toạ độ trờn trục:
36) 1 Trờn trục x'Ox cho 2 điểm A, B cú tọa độ lần lượt là −2 và 5
a/ Tỡm tọa độ của AB→
b/ Tỡm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tỡm tọa độ của điểm M sao cho 2MA→ + 5MB→ = 0 r
d/ Tỡm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = − 1
35) 2.Trờn trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C cú tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tỡm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tỡm tọa độ điểm M sao cho MA→ + MB→ − MC→ = 0 r
c/ Tỡm tọa độ điểm N sao cho 2NA→ − 3NB→ = NC→
35) 3.Trờn trục x'Ox cho 2 điểm A, B cú tọa độ lần lượt là −3 và 1
Trang 7a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA− 2MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB
35) 4.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : 1
AC +
1
AD =
2 AB
b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : IC ID IA = 2
c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC AD AB AJ =
D Toạ độ trên mặt phẳng:
35) 5 Viết tọa độ của các vectơ sau : ar=i r− 3r j, b r= 1
2 i r+r j ; cr= −i r+ 3
2 r j ; d r= 3i r ; er
= −4r j
36) 6 Viết dưới dạng ur= xi r+ yr j , biết rằng :
ur= (1; 3) ; ur= (4; −1) ; ur= (0; −1) ; ur= (1, 0) ; ur= (0, 0)
35) 7 Trong mp Oxy cho ar= (−1; 3) , b r= (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ ur= 3ar − 2b r; b/ vr= 2ar + b r; c/ wr= 4ar − 1
2 b
r
35) 8 Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB→ , AC→ , BC→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM→ = 2AB→ − 3AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN→ + 2BN→ − 4CN→ = 0 r
35) 9 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2)
a/ CMR : ∆ABC cân Tính chu vi ∆ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
35) 10 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1)
a/ CMR : ∆ABC vuông Tính diện tích ∆ABC
b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
35) 11 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đường tròn đó
35) 12 Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục Ox các điểm M sao cho ∆ABM vuông tại M
36) 13 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C
b/ Tính diện tích ∆ABC
Trang 8c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
35) 14 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ CMR : ∆ABC vuông cân
d/ Tính diện tích ∆ABC
35) 15 Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a/ CMR : 2IA→ + IB→ + IC→ = 0 r; b/ Với 1 điểm O bất kỳ CMR : 2OA→ + OB→
+ OC→ = 4OI→
35) 16 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC a/ CMR : 2AI→ = 2AO→ + AB→ ; b/ CMR : 3DG→ = DA→ + DB→ + DC→
35) 17 Cho ∆ABC Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC→ = 3BN→ Tính AN→ theo AB→ và
AC→
36) 18 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR : AI→ = 1
2(AD→ + 2AB→ ) b/ CMR : OA→ + OI→ + OJ→ = 0 r
c/ Tìm điểm M thỏa : MA→ − MB→ + MC→ = 0 r
35) 19 Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD→ = MC→ + AB→ , ME→ = MA→ + BC→ và
MF→ = MB→ + CA→ CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MD→ + ME→ + MF→
35) 20 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA→ = MB→
b/ MA→ + MB→ + MC→ = 0 r
c/ MA→ + MB→ = MA→ − MB→
d/ MA→ + MB→ = MA→ + MB→
e/ MA→ + MB→ = MA→ + MC→
35) 21 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD→ = 2AB→ , AE→ =
2
5 AC
→
a/ Tính AG→ , DE→ , DG→ theo AB→ và AC→ ; b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
Trang 935) 22 Cho ∆ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD→ = 2
5 AC
→
và M là trung điểm đoạn BD a/ Tính AM→ theo AB→ và AC→ ; b/ AM cắt BC tại I Tính IB
IC và
AM AI
35) 23 Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng
AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
BÀI TẬP: Tìm toạ độ điểm, véctơ.
Bài 1: Cho a r = (1;2); b r = − ( 3;1); c r = − − ( 4; 2)
a) Tìm: x r = 2 a r − + 3 b c r r và tìm x r ; b) Tìm các số m,n để: a mb nc r = r − r
Bài 2: Tìm toạ độ vectơb u r biết:
a) u a r r r + = 0 với a r = (2; 3) − ; b) u a b r r r + = với a r = (2;0); b r = (1;1)
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 4: Cho A(3; 2), B(4; 1), C(1; 5) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Bài 5:Trong hệ trục 0xy cho ∆ ABC có A(10; 5), B(3; 2), C(6;-5)
Tìm toạ độ điểm D sao cho uuur AD = 3 uuur AB − 2 uuur AC
Bài 6: Trong hệ trục 0xy cho: M(3;2), N(-1;3), P(-2;1).
a)Tìm toạ độ điểm I sao cho: IM uuur = 3 uur IN
b) Tìm đoạ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành
c) Tìm toạ độ vectơ: u r = 3 MN uuuur + 2 MP uuur; v r = 2 MN uuuur − 3 MP uuur
BÀI TẬP: Toạ độ trung điểm, trọng tâm
Bài 1: Cho ∆ ABC có A(-3; 6), B(9; -10), C(-5; 4) tính toạ độ :
a) Trung điểm I của đoạn thẳng AB
b) Trọng tâm G của ∆ ABC
c) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Bài 2: Cho A(-2; 1), B(4; 5).
a) Tìm toạ độ trung điểm I của AB;
b) Tìm toạ độ điểm C để OABC là hình bình hành với O là gốc toạ độ
Bài 3: Cho ∆ ABC với A(1;2), B(-2; 6), C(4; 4)
a) Xác định toạ độ diểm D để ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ giao điểm I của AC và BD
Bài 4: Cho ∆ ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(0; -4) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Tính toạ độ các đỉnh của ∆ ABC
Bài 5: Cho ∆ ABC có A(-5; 6), B(-4; -1), C(4; 3)
a) Tìm toạ độ trung điểm I của AC
Trang 10b) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Bài 6: Cho ∆ ABC có A(-3; 6), B(9; -10), C(-5; 4)
a) Tìm toạ độ trong tâm G của ∆ ABC;
b)Tìm toạ độ điểm D để BGCD là hình bình hành
Bài 7: Cho ∆ ABC với A(2; 4), B(-3; 1), C(3; -1)
a) Tính toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành
b) Tính toạ độ trọng tâm G của ∆ ABC;
c) Tính toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Bài 8: trong hệ toạ độ 0xy cho A(1; -2), B(-3; -4), G(1; 1) CMR:
a) A, B, G không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ điểm C để G là trọng tâm ∆ ABC
Bài 9: Cho A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3)
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng
b) Tính độ dài trung tuyến CM của ∆ ABC
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ ABC
Bài 10: Cho A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1).
a) CMR: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính chu vi ∆ ABC
c) Tính độ dài trung tuyến AM của ∆ ABC
Bài 11: Cho A(-3; 4), B(1; 1), C(9; -5).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD
c) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua gốc toạ độ
Bài 12: Cho A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng
b) Tính chu vi ∆ ABC
c) Tìm toạ độ trung điểm I của BC
d) Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ ABC
Bài 13: Cho ∆ ABC có A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3)
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm toạ độ tâm I của hình bình hành
c) Tim toạ độ điểm E sao cho uuur AE = 3 uuur AB − 2 uuur AC
Bài 14: Cho A(-2; 2), B(1; 1)
a) Tìm toạ độ điểm M trên 0x cách đều A và B
b) Tìm toạ độ điểm N trên 0x sao cho A, B, N thẳng hàng
Bài 15: Cho 4 điểm A( -1; 1), B(0; 2), C(3; 1), D(0; 2) CMR: ABCD là hình thang
Bài kiểm tra :
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Chỉ ra các véc tơ cùng hớng với uuur AB
b) Chỉ ra các véc tơ đối của OB uuur
