Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I... c/ Chứng tỏ rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định F F khác A khi BC quay quanh
Trang 1Kì thi tuyển sinh lớp 10 trường PTCN năm 2001
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 01-07-2001
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
1
x
a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P
b/ Tìm các số tự nhiên để 1
P là số tự nhiên?
c/ Tính giá trị của P với x = 4 - 2 3
Bài 2: (2,5 điểm)
Cho phương trình: x 2 2 x 1 2 x a, với a là tham số
a/ Giải phương trình khi a=2
b/ Với giá trị nào của a, phương trình đã cho vô nghiệm?
Bài 3: (4 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, đường kính BC của (O;R) quay quanh O sao cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I
1/ Tính độ dài đoạn OI
Trang 2DE cắt đường thẳng OA tại K
a/ Chứng minh rằng: AK.AI = AE.AC b/ Tính độ dài AK theo R
c/ Chứng tỏ rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định F (F khác A) khi BC quay quanh O
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho x>0, hãy tìm x để hàm số f(x)=
20012
x
x , đạt giá trị lớn nhất và tính
giá trị lớn nhất đó của f(x)
Kì thi tuyển sinh lớp 10 PTCNN năm 2002
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 30-06-2002
Bài 1: (2,0 điểm)
1 Chứng minh rằng 3 3 3 3
3
x y z x y z x y y z z x
2 Chứng minh rằng: Với a b c , , Zthì
P a b c a b c b c a c a b
chia hết cho 24
Trang 3Bài 2: (2,0 điểm)
Giải phương trình:
4 x5 x6 x10 x12 3x
Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
1 a2 b2 c2 ab bc ca với mọi a,b,c
x y z xyz xyz với mọi x,y,z
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) Các đường cao AD, BP,
CK cắt nhau tại H
1 Chứng minh góc HAB bằng góc OAC
2 Gọi E,M tương ứng là trung điểm của AH và BC Chứng minh rằng tứ giác KEPM là tứ giác nội tiếp được
3 Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với KP Chứng minh rằng đường thẳng Ax luôn đi qua một điểm cố định khi ba đỉnh A,B,C của tam giác thay đổi trên đường tròn (O)
Bài 5: (0,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2 x 2 x y y 64
Trang 4
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 17-06-2003
Câu 1: (2,5 điểm)
1/ Tìm x để A có nghĩa Rút gọn A
2/ Tính A với x 33 8 2
3/ Chứng minh rằng 1
3
A
Câu 2: (2 điểm)
1/ Phân tích biểu thức 2 2
x x xy y y thành nhân tử
2/ Giải hệ phương trình:
2 - - 2 2 - 2
2 2 1
x x xy y y x
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = 2 2
2
3 4
1/ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
2/ Chứng minh y 3 Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
Trang 5Câu 4 : (3 điểm)
Cho đường tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ; điểm
C bất kì nằm giữa A và B thuộc dây AB Tia MC cắt đường tròn (O) tại D
1/ Chứng minh MA2 = MC.MD
2/ Kẻ Bt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh BM và
Bt thuộc cùng một đường thẳng
3/ Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ; O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng khi C chuyển động trên AB thì tổng các bán kính của hai đường tròn (O1) và (O2) không đổi
Câu 5 : (1 điểm)
Cho phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = m Biết phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4 Chứng minh x1.x2.x3.x4 = 24-m
_
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút Ngày thi: 13-06-2004
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức
1
x
Trang 6b Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 2: (2,0 điểm)
a Giải phương trình
x x x x
b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
P x y xy x
Bài 3: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 2
1
x y
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O), (A khác B,C) Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B
a Chứng minh tam giác KAC cân
b Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua 1 điểm J cố định, từ đó hãy xác định
vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất
c Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O)
Trang 7Bài 5: (1,0 điểm)
Hãy tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:
x y y xy
_
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2005
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 12-06-2005
Câu 1: (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
2 Cho đẳng thức:
x y 2 y z 2 z x 2 x y 2 z 2 y z 2 x 2 x z 2 y 2
Chứng minh rằng: x=y=z
Câu 2 : (3,0 điểm)
1 Giải phương trình :
x x x x x
2 Cho phương trình :
Trang 8
2
x m x m (1), với m là tham số
Tìm m để giữa 2 nghiệm x1;x2 của phương trình (1) có hệ thức :
2 x 3 x 13
Câu 3 : (1,0 điểm)
Cho phương trình :
m x m x m (1), với m là tham số
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : 2 2
1 2
Ax x
với x1;x2là nghiệm của phương trình (1)
Câu 4 : (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), có các đường phân giác trong cắt nhau tại I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn (O) tương ứng tại các điểm M, N, P
1 Chứng minh tam giác NIC cân tại N
2 Chứng minh điểm I là trực tâm tam giác MNP
3 Gọi E là giao điểm của MN và AC, F là giao điểm của PM và AB Chứng minh rằng 3 điểm E, I, F thẳng hàng
4 Gọi K là trung điểm của BC và giả sử BI vuông góc với IK, BI=2IK Hãy tính góc A của tam giác ABC
Câu 5: (1,0 điểm)
Giải phương trình: 5 x3 6 x2 12 x 8 0
Trang 9_
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2006
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 11-06-2006
Câu 1: (2,0 điểm)
P
a Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P
b Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức QP x nhận giá trị nguyên
Câu 2: (2,0 điểm)
a Giải phương trình:
4 4 3 2 2 4 1 0
x x x x
b Giải hệ phương trình:
2
x xy y
x xy
Câu 3: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
2 2
x
y Gọi (d) là đường thẳng qua điểm I(0;-2) và có hệ số góc k
Trang 10cắt parabol tại 2 điểm phân biệt A và B khi k thay đổi
b Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là đường kính cố định của đường tròn (O) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B MN là đường kính thay đổi của đường tròn (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M khác A, N khác B Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d tương ứng tại C và D Gọi I
là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và MN Khi MN thay đổi, chứng minh rằng:
a Tích AM.AC không đổi
b Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn
c Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định
d Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng
cố định
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
A
x y xy