De tai Do thi va Ham so

§èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu: - Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chơng trình toán THCS lớp 7 và 9 - Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến th[r]

To¸n hôc lµ mĩt m«n khoa hôc rÍt cÌn sù logic vµ ph©n tÝch giâi, nê cểng dông rÍt rĩng r·i trong ®íi sỉng x· hĩi To¸n hôc gióp cho ngíi hôc tÝnhto¸n nhanh, t duy tỉt, tÝnh chÝnh x¸c cao – l«gic hîp lÝ, tÝnh khoa hôc D¹yto¸n hôc nh»m trang bÞ cho hôc sinh mĩt hÖ thỉng tri thøc khoa hôc phư th«ngc¬ b¶n t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em ®îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸c phỈm chÍt,n¨ng lùc trÝ tuÖ, ®ơng thíi trang bÞ cho c¸c em hÖ thỉng tri thøc ®¶m b¶o ®ñ ®Ónghiªn cøu vµ kh¸m ph¸ thÕ giíi xung quanh, gêp phÌn c¶i t¹o thÕ giíi, c¶it¹o thiªn nhiªn mang l¹i cuĩc sỉng Ím no h¹nh phóc cho môi ngíi.

Trong ch¬ng tr×nh to¸n bỊc trung hôc c¬ sị, hai chñ ®Ò lín cña m«n

®¹i sỉ lµ "Sỉ" vµ "Hµm sỉ" Kh¸i niÖm "Hµm sỉ" xuyªn suỉt ch¬ng tr×nh m«n

®¹i sỉ ị phư th«ng, b¾t ®Ìu tõ líp 7 vµ nê lµ kiÕn thøc trông t©m cña m«n ®¹i

sỉ Víi c¸c kh¸i niÖm hµm bỊc nhÍt, bỊc hai vµ c¸c d¹ng ®ơ thÞ t¬ng øng, phÌnhµm sỉ ®îc ph©n lîng thíi gian kh«ng nhiÒu Tuy vỊy bµi tỊp vÒ hµm sỉ th×thỊt lµ nhiÒu d¹ng vµ kh«ng thÓ thiÕu trong c¸c kú kiÓm tra, kú thi Kh¸i niÖmhµm sỉ lµ kh¸i niÖm trõu tîng mµ thíi gian luyÖn tỊp l¹i kh«ng nhiÒu, nªn kÕtqu¶ cña hôc sinh kh«ng cao

Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m ị bỊc THCS vµ t×m hiÓu t©m lý cña

®ỉi tîng hôc sinh t«i thÍy c¸c bµi tỊp vÒ ®ơ thÞ vµ hµm sỉ hôc sinh cßn rÍt lóng

tóng chÝnh v× vỊy t«i ®· quyÕt ®Þnh tiÕn hµnh nghiªn cøu: "Mĩt sỉ d¹ng to¸n

vÒ hµm sỉ vµ ®ơ thÞ hµm sỉ".

2 Môc ®Ých nghiªn cøu:

Trong ®Ò tµi nµy t«i cỉ g¾ng lµm s¸ng tâ kh¸i niÖm hµm sỉ, ®ơ thÞ

vµ ®a ra mĩt sỉ d¹ng bµi tỊp vÒ hµm sỉ vµ c¸c bµi tỊp cê liªn quan

B»ng c¸ch s¾p xÕp c¸c d¹ng to¸n, ph¬ng ph¸p truyÒn thô phï hîp víi ®ỉitîng hôc sinh, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña hôc sinh, chó ý söa sai cho c¸c em,

t«i ®· gióp hôc sinh hiÓu ®©y lµ phÌn bµi tỊp cê thuỊt gi¶i rđ rµng, chÝnh x¸c,

cê nhiÒu nĩi dung øng dông phong phó Hµm sỉ cßn ®îc coi lµ c«ng cô gi¶i

quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơngtrình.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồngnghiệm đi trớc có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh, trựctiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa số các

em còn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liên quancòn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ đợc kiến thức cơ bản củamảng kiến thức về hàm số Chính vì vậy, việc áp dụng cũng nh khai thác sâukiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị, giải ph-

ơng trình, bất phơng trình của học sinh còn gặp nhiều khó khăn – và đâycũng là một vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuốicùng đa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các em họcsinh tham khảo Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặp nhiềuthiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy đủhơn

4 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu:

- Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong

ch-ơng trình toán THCS (lớp 7 và 9)

- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một

số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức củahàm số;

5 Phơng pháp nghiên cứu:

- Phơng pháp quan sát s phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài tập,khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi nh thế nào?trao đổi những gì?

- Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đợc nhữngvớng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số

- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với cácgiáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm

- Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và bàikiểm tra của học sinh

- Phơng pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục

Phần II Nội dung đề tài

Chơng I: một số vấn đề về hàm số và đồ thị hàm số

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Ngời ta viết: f: X Y

x  y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại

lợng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

thuộc tính bản chất:

+ X và Y là hai tập hợp số

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định duy nhất một số y Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên phụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

có toạ độ (x; f(x)) với x X

+ Chú ý:

- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại

- Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM= f(xM)

c Cách cho một hàm số:

Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởicác cách:

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)

+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị

c Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x R) là đờng thẳng đi qua điểm

A(0;b) và điểm B(

b a



; 0)+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ

- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ biểu thức trong căn 0}

2 Ví dụ:

+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R+ Ví dụ 2: Hàm số y = x2+ 2

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = |x − 6| + |7 − x|

Giải

|x − 6| + |7 − x|≥|x −6+7 − x| =1 hay y 1Vậy miền giá trị của hàm số y = |x − 6| + |7 − x| với x R là y R, y 1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2; 3]

* ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x2 – 2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x2+x+6

x2+x +2 (1)

Giải:Hàm số có tập xác định: R vì x2 + x + 2 = (x + 1

2 )2 +

7 4

7 4

Gi¶ sö y lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè ⇒ ph¬ng tr×nh x2

x2 +x +2 = y cã nghiÖm

⇔ (y - 1)x2+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) cã nghiÖm

+XÐt y = 1 ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm+XÐt y 1 ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm

7+ Víi y = 23

7 ta cã x = −

1

2 vËy hµm sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ

Max y = 23

7 t¹i x = −

1 2+ Chó ý: ë vÝ dô 2 cã thÓ ra díi d¹ng:

Gi¶i ph¬ng tr×nh x2+x+6

x2+x +2 =2 ⇔ x2 + x + 2 = 0 ⇔ x = 1; x = -2

x2 +x +2 =3 ⇔ 2x2 + 2x = 0 ⇔ x

Nếu

¿

f (x )≥ m g(x)≥ m

¿ {

¿ với ∀ x D thì f(x) = g(x) ⇔

¿

f (x )≥ m g(x)≥ m

¿ {

¿ (2)

Nếu ∃ x0 D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phơng trình (1)

Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x – x2 – 2= |x − 1| + |x − 2| + |2 x − 3| + |4 x − 13| (1)+Tập xác định: R

+Ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x - 3)2 7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất: Đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và điểm B(x 2 ;y 2 )

Giải:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1

B(x2;y2) d nên ax2 + b = y2

* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua

điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)

2x +

3 2

b Đồ thị đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và song song với đờng thẳng d' có phơng trình y = a 1 x + b 1 (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1 ⇒ b = y1 – ax1

Vì d song song với d' nên a = a1

Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1

2Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x −3

2

c Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và vuông góc với đờng thẳng d' có phơng trình y = a 1 x + b 1 (a 0)

Giải:

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng trình hoành độ

giao điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có nghiệm kép

⇔ a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép

⇔ Δ =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)

Giải hai hệ phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm

A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

Lời giải: vì (d) đi qua điểm A(-1;2) d nên: –a + b = 2 (1)

Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phơng trình hoành độ giao

điểm: ax + b = x2 + 1 có nghiệm kép

⇔ x2 – ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép

¿ {

¿Vậy hàm số cần tìm là y = -2x

2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol(P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) , C(x 3 ;y 3 )

Giải:

Vì A(x1;y1) (P)nên ax1 + bx1+ c = y1 (1)Vì B(x2;y2) (P)nên ax2 + bx2+ c = y2

(2)Vì C(x3;y3) (P)nên ax3 + bx3+ c = y3

(3)Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c

Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi

qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)

¿ { {

¿Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x2 + 3

b (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x 0 , y 0 ) và đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) Giải:

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

đi qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1; 2)

Giải:

Vì A(-1;2) (P) nên a + b + c = 2 (1)Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên -b

2 4

a b c b a

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận

D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2.

Giải:

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x – 1

a Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ

b Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua điểm N(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0; 0) và có

Giải:

+Với x 0 ta đặt 1+ 1

x = t rồi rút x theo t ta có: x =

1 t-1

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = ( 1

d Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (hình 1d)

y

Chẳng hạn: y = |x| =

¿

x với x ≥ 0 -x với x ≤0

e Đồ thị phần nguyên: y = |x| trong đó |x| là ký hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x

+ Đồ thị hàm số y = |x| với –1 x < 3 có dạng bậc thang nh (hình e1)

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

*Hàm số y = f( |x| ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tunglàm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* |y| =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số

mà chỉ cần vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ

2 Ví dụ:

*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x +3

+ TXĐ: x R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2

-1 0 1 2 3 4 x -1 (Hình e1)

3 2 1

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đờng

thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - |x|

+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến

y = 2x - |x| =

¿

x với x ≥ 0

3x với x <0

¿ {

¿

y + Bảng giá trị: x 0 1 -1

y 3 1 -3

+ Đồ thị: -3 Đồ thị hàm số y = 2x - |x| có dạng nh hình ở trên

3 ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị *Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x − 1| + |x − 2| Giải: -1 0 1 2 3 4 x

-1

-1 0 1 x

-1

-1 0 1 x

-1

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số

điểm chung của hai đồ thị

Giả sử M(xM;yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)

¿ {

¿

⇒ Vậy vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc

vào số nghiệm của phơng trình

¿

y=f (x) y=g(x )

¿ {

¿

Hai đồ thị cắt nhau ⇔ phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt

Hai đồ thị tiếp xúc ⇔ phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau ⇔ phơng trình (3) vô nghiệm

* Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của

ph-ơng trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm hoành độ x = x0, dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tơng ứng y = y0

2 Chú ý:

Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng d: y = ax + b và d1: y = (2m – 3)x + 2

+ d song song với d1 ⇔ a = a1; b b1

+ d cắt d1 ⇔ a a1+ Đặc biệt d vuông góc với d1 ⇔ aa1= -1+ d trùng với d1 ⇔ a = a1; b = b1

3 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d1: y = (2m – 3)x + 2

a Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Giải:

+ d // d1 ⇔

¿

m=2m-3 2m≠ 2

¿ {

¿

⇔ m = 3

+ d cắt d1 ⇔ m 2m – 3 ⇔ m 3

+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ

điểm chung cho từng trờng hợp

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

¿

y=x+2 y=-x+2

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

Biện luận theo m vị trí tơng đối của đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P) và

y = 2x + 1 (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

Giải: Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ

+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt ⇔ phơng trình (3) có hai nghiệm phânbiệt ⇔ Δ = 9 – m + 1 > 0 ⇔ m < 10

+ (P) tiếp xúc với (d) ⇔ phơng trình (3) có nghiệm kép

⇔ Δ = 9 – m + 1 = 0 ⇔ m = 10

Với m = 10 phơng trình (3) trở thành x2 - 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3 thay vào (2)

ta có y = 7

Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)

+ (P) không giao nhau với (d) ⇔ phơng trình (3) vô nghiệm

⇔ Δ = 9 – m + 1 < 0 hay m > 10

Ví dụ 3:

Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P)

và y = mx2 + (m + 2)x + 8(P' ) có không quá một điểm chung

Giải: + Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của

+ Phơng trình hoành độ: x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

⇔ (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0(3)

+ (P) và (P') có không quá một điểm chung ⇔ phơng trình (3) có không quá một nghiệm

- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng: 7x + 16 = 0 ⇔ x = - 16

nghiệm duy nhất

Vậy với m = 1: (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m 1: (P) và (P' ) có không quá một điểm chung ⇔ Δ 0

* Cách giải bài toán:

+ Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ thị

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình |x − 1| + |x − 2| và

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phơng trình (1) vô nghiệmm=1 phơng trình (1) có vô số nghiệm: 1 x 2m>1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất

+ Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ hai đồ thị có một điểm

chung duy nhất:

-1

Khi đó phơng trình (x-1)2=2 |x − k| có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (d) cắt (P1)

và (P2) tại 4 điểm phân biệt ⇔

Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đờng thẳng cố

¿ {

¿Vậy đờng thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1) ∀ m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3;2) và

+ Điểm M (x0;y0) đồ thị hàm số y=f(x) ⇔ y0=f(x0)

+ Hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm M (x0;y0)

⇔ y0=f(x0) với mọi m

+ Phơng trình ax2+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm ⇔

¿

a=0 b=0 c=0