chuyen de do thi va ham so

Đồ thị : Hàm số bậc hai y=ax2 a≠ 0 là một đờng cong đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng.Đờng cong đó gọi là Parapol với đỉnh O... của m thỡ đường thẳng d luụn cắt parabol P t

Chuyên đề 4 : Hàm số và đồ thị

A.Lý thuyết :

I,Hàm số bậc nhất y = ax+ b (a ≠ 0)

1 Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax +b trong đó a, b

là các số cho trớc và a ≠ 0

2 Tính chất : Hàm số y = ax +b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.

3 Đồ thị :

A(1; a)

trục tung tại điểm B(0; b), cắt trục hoành tại điểm A(

a

b

−

; 0)

4 Hệ số góc :

+ a > 0 ⇔ α < 900

+ a < 0 ⇔ α > 900

5 Sự tơng giao giữa hai đờng thẳng :

Với hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) trong đó a và a’ khác 0, ta có: + (d ) và (d’) cắt nhau ⇔ a ≠ a’

+ (d ) và (d’) song song với nhau ⇔ a = a’; b ≠ b’

+ (d ) và (d’) trùng nhau ⇔ a = a’; b = b’.

II,Hàm số bậc hai y=ax2 (a≠ 0 )

1 Tính chất : Hàm số bậc hai y=ax2 (a≠ 0 ) xác định với mọi x∈R

+ Với a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0,hàm số nghịch biến khi x < 0

GTNN của hàm số là y = 0 khi x = 0

+ Với a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0,hàm số nghịch biến khi x > 0

GTLN của hàm số là y = 0 tại x = 0

2 Đồ thị : Hàm số bậc hai y=ax2 (a≠ 0 ) là một đờng cong đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng.Đờng cong đó gọi là Parapol với đỉnh O

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,O là điểm thấp nhất

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành,O là điểm cao nhất

A.Bài tập :

I.Cách vẽ và xác định các hệ số của (P) và (d)

*Dạng 1 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b,y=ax 2

Vẽ đồ thị các hàm số sau :

x

x

x

x

y

2

1

3

1

=

x y

2

1

−

3

1

−

=

x

y

5

2

5

2

−

=

x

y

4

3

4

3

−

=

1

+

=x

3

= x

1

−

= x

2 2

= x

4

= x y

2 4

= x

5

= x y

1 5

= x

5

−

= x y

2

x

2

2x

2

3x

2

2

1

x

2

1

x

y= −

2

3

2

x

2

4

1

x

4

1

x

y= −

2

4

3

x

4

3

x

y= −

*Dạng 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b và y=ax 2 trên cùng một trục toạ độ.

Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một trục toạ độ:

2

1

−

=

4

1

x

4

3

=

3

2

x

4

3

x

5

−

= x y

2

1

x

5

= x y

*Dạng 3 : Xác định phơng trình đờng thẳng (d) y = ax,y=ax+b và parapol (P) y=ax 2

trong một số trờng hợp.

1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :

a Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2,5) và B(-3,-4)

b Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(2,-2) và B(1,-4)

c Đờng thẳng (d) đi qua A(3,-2) và tiếp xúc với parapol (P) y =

4

2

x

tiếp xúc với (P)

3) Tìm các giá trị a,b biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2,-1) và B(

2 1

,2)

4) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(-1,-4) và :

a.Có hệ số góc bằng 0,5

b.Song song với đờng thẳng y = -3x + 1

c.Vuông góc với đờng thẳng y = 5x – 3

5) Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(3,1) và :

a.Có hệ số góc bằng -2

b.Song song với đờng thẳng y = 5x +1

3

− x

a.Đi qua điểm A(-1,2)

b.Đi qua điểm B(2,4)

c.Đi qua điểm C(-2,-2)

II.Sự tơng giao giữa (P) và (d)

*Dạng 1 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Giải

x2 = x + 6 <=> x2 - x - 6 = 0

Ta có ∆ =b2 − 4ac

= ( − 1 ) 2 − 4 1 ( − 6 )

= 1 + 24 = 25 > 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :

3 1

2

25 ) 1 ( 2

a

b

1 2

25 ) 1 ( 2

a

b x

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là : 3 và -2

VD3 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y =

2

1

x2 và đờng thẳng (d) y = 3x - 4

*Dạng 2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

VD1 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y =

2

1

x2 và đờng thẳng (d) y = 3x - 4

Giải

+ Cách 1:

Hoành độ giao điểm của (P) y =

2

1

trình :

2

1

x2 = 3x - 4 <=> x2 - 6x + 8 = 0

Ta có ∆ ' =b' 2 −ac

= ( − 3 ) 2 − 1 8

= 9 − 8 = 1 > 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :

4 1

1 ) 3 ( ' '

a

b

1

1 ) 3 ( ' '

a

b x

Thay x1= 4 vào ta đợc y1 = 8

Thay x1= 2 vào ta đợc y1 = 2

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2)

+ Cách 2 :

Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình:









−

=

=

4

3

2

1 2

x

y

x

y

⇔









−

=

−

=

4 3

4 3 2

1 2

x y

x x

⇔







−

=

= +

−

4 3

0 8 6

2

x y

x x

⇔











−

=







=

=

4 3 2 4

x y x

x

⇔





















=

=







=

=

2 2 8 4

y x y x

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2)

VD2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y =

3

1

x2 và đờng thẳng (d) y = 2x - 3

VD6 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y =

-2

1

*Dạng 3 : Chứng minh vị trí tơng đối của Parapol (P) và đờng thẳng (d).

Không cắt nhau ∆ < 0 ∀m

m thay đổi

Giải

trình :

4x2 = 4mx - m2

⇔ 4x2 - 4mx - m2 = 0

Ta có ∆ ' =b' 2 −ac

= ( − 2m) 2 − 4m2

= 4m2 − 4m2 = 0 ∀m

m thay đổi

3) Cho parabol (P): y = 1 2

x

m đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

của m thỡ đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt

5) Cho parabol (P) y=

2

2

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

*Dạng 4 : Biện luận số giao điểm của Parapol (P) và đờng thẳng (d).

Không cắt nhau ∆ < 0

a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau

c.(P) và (d) không cắt nhau

Giải

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình :

x2 = 2(m+1)x - m2 -9

⇔ x2 - 2(m+1)x + m2 + 9 = 0

Ta có ∆ ' =b' 2 −ac

= { − (m+ 1 )} 2 − (m2 + 9 )

=m2 + 2m+ 1 −m2 − 9

= 2m− 8

a (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0

⇔ 2m− 8 > 0

⇔ 2m> 8

⇔ m> 4

Vậy với m > 4 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b (P) và (d) tiếp xúc với nhau ⇔ ∆ ' = 0

⇔ 2m− 8 = 0

⇔ 2m= 8

⇔ m= 4

Vậy với m = 4 thì (P) cắt (d) tiếp xúc với nhau

c (P) và (d) không cắt nhau ⇔ ∆ ' < 0

⇔ 2m− 8 < 0

⇔ 2m< 8

⇔ m< 4

Vậy với m < 4 thì (P) cắt (d) không cắt nhau

a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau

c.(P) và (d) không cắt nhau

3) Cho parabol (P): y =

4

2

x

xúc với nhau

4) Cho (P)

4

2

x

a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau

c.(P) và (d) không cắt nhau

a) (P) không cắt (d)

b) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

c) (P)tiếp xúc với (d).Tìm tọa độ tiếp điểm trong trờng hợp này

4

x

2

1

a.(P) tiếp xúc với (d)

b.(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

c (P) không cắt (d)

*Dạng 5 : Chứng minh về tính chất,vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parapol (P) và đờng thẳng (d).

1) Chứng tỏ rằng Parapol (P) y = 3x2 cắt đờng thẳng (d) y = 5x - 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung

Giải

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình :

3x2 = 5x - 2

⇔ 3x2 - 5x + 2 = 0

Ta có ∆ =b2 − 4ac

= ( − 5 ) 2 − 4 3 2

= 25 − 24 = 1 > 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :

1 3

2

1 ) 5 ( 2

a

b

3

2 3

2

1 ) 5 ( 2

a

b x

Ta thấy hai nghiệm cùng dơng hay hai điểm cùng có hoành độ dơng.Do đó giao điểm của (P) và (d) nằm cùng một phía với trục tung

hai phía đối với trục tung

*Dạng 6 : Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.

- Hàm số y = ax (a #0) ,y = ax + b (a #0).







=

=

⇔

0

0

b

A

Giải hệ ⇒x, y.Kết luận.

1) Cho hàm số y = (m+5)x + 2m - 10.Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Giải

Giả sử M o(x o;y o)là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Ta có yo = (m+5)xo + 2m - 10 ∀ m

⇔ (m+5)xo + 2m - 10 - yo = 0 ∀ m

⇔ mxo + 5xo + 2m - 10 - yo = 0 ∀ m

⇔ (xo + 2)m + 5xo - yo- 10 = 0 ∀ m

⇔







=

−

−

= +

0 10 5

0 2

o o

o

y x

x

⇔







−

=

−

=

20

2

o

o

y x

*Dạng 3 : Chứng minh về vị trí tơng đối của Parapol với đờng thẳng.

m thay đổi(hay với mọi m)