Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q.. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO..[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG I
NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 01 trang _
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức M = a3 – 6a với a = 20 + 14 2 + 20 - 14 23 3
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: N = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Tìm x, biết: x - 2 + 6 - x = x - 8x + 242
b) Chứng minh rằng:
a b
2 2
a b
2
với mọi a, b
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm một đa thức với bậc nhỏ nhất, hệ số nguyên có một trong các nghiệm là 6 - 4 2
Tìm giá trị của x để A A
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D Tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q a) Chứng minh DM.IA = MP.IB
b) Tính tỉ số MPMQ
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x 2010) 2 (x 2011) 2
- H ết
-(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GIÁO
DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM HSG HUYỆN LỚP 9 VÒNG I NĂM HỌC: 2010 – 2011
Trang 2BÌNH GIANG
=== @ ===
MÔN THI: TOÁN
1
a
M = a3 – 6a với
a = 20 + 14 2 + 20 - 14 2
Đặt u =
320 14 2 ; v =
320 14 2
Ta có a = u + v
và u3v3 40 u.v =
3 (20 14 2)(20 14 2) 2
a = u + v
a = u + v + 3uv(u + v)3 3 3
= 40 + 6a hay a - 6a = 403 Vậy M = 40
0.25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
b
2
2
2
6 1
N = x + 6x + 7x - 6x +1 = x x + 6x + 7 - +
x x
= x x + + 6 x - + 7 = x x - + 6 x - + 9
= x x - + 3 = x x - + 3x = (x 3x 1)
0.25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
2
(1)
Ta có: 2 x 6 Chứng minh được:
- Dấu “=” xảy ra
x – 2 = 6 – x
x = 4
- Lại có
- Dấu “=” xảy ra
(x – 4)2 = 0
x - 4 = 0 x = 4 Đẳng thức (1) xảy
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
Trang 3ra x = 4 Vậy
x = 4
b
Ta quy đồng:
a+b¿2
√a2+b2≥ a+b
√2 (1)⇔√2(a2+b2)≥ a+b ⇔ 2(a2
+b2)≥¿
a −b¿2≥ 0
BĐT (2) luôn đúng ⇒ BĐT (1) đúng (đpcm)
0,5đ 0,5đ
3
a
Đặt x = 6 - 4 2
x2 = (6 - 4 2 )2 = 36 - 48 2 +
32
x2 - 68 + 48
2 = 0 x2 - 12( 6 - 4 2) + 4
= 0
x2 - 12x + 4 =
0 Vậy có đa thức f(x) = x2 - 12x +
4 nhận 6 - 4 2 là một nghiệm
0.25đ 0.25đ 0.25đ
b
ĐKX Đ: - 1 < x
< 1
Rút gọn được A
= 1 x
Đ ể A A ⇔
1 x 1 x
⇔ 1 x > 1 –
x (*)
V ì x < 1 ⇒ 1 – x > 0, từ (*)
-1 x ) > 0
⇒ 1 - 1 x >
0 ⇒ x > 0 Kết luận 0 < x < 1
0.25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
Trang 44 a
Vẽ hình chính xác:
Chứng minh được
MDP ICA (g.g)
DMCI =MP
IA
DM.IA = MP.ID hay DM.IA = MP.IB (1)
0,5đ 0,75đ
0,25đ
b
Vì
ADC CBA;DMQ 180 AMQ 180 AIM BIA nên DMQ
BIA (g.g) DM
BI =
MQ IA hay DM.IA = MQ.IB (2)
Từ (1) và (2) suy
ra MP
MQ=1 .
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5
5
Ta có:
P = x + 2010 +
x + 2011
= - x - 2010 +
x + 2011 ≥ x +
2011 - x - 2010 =
1
Vậy P ≥ 1, đẳng
thức chỉ xảy ra
khi và chỉ khi:
(x + 2011)( x
2010) ≥ 0
-2011 ≤ x ≤ - 2010
Do đó P đạt giá trị
nhỏ nhất là 1
-2011 ≤ x ≤ - 2010
0,5đ
0,5đ
Chú ý: HS có cách giải khác đúng vẫn cho điểm
Trang 5PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 01 trang _
Câu 1: (2,0 điểm)
c) Rút gọn biểu thức A= (2+21√a+
1
2− 2√a −
a2+1
1− a2) (1+1
a)
d) Cho a + b = 2 Chứng minh rằng: 3a 3 b 2
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2+√x +5=5
b) Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3, gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox,
Oy Xác định m để điện tích tam giác ABO bằng
1
2
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình
mx 2y m 1 (1) 2x my 2m 1 (2)
Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là số nguyên
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng ba điểm O, E, F thẳng hàng
Trang 6b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F cắt BC lần lượt tại M và N Chứng minh rằng MO // AB, NO // AC Tam giác MON có đặc điểm gì?
c) Giả sử A di động sao cho góc BAC luôn bằng 90o Tìm vị trí của A để diện tích tứ giác EMNF lớn nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Tính giá trị y 5 13 5 13 5
- H ết
-(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GIÁO
DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BÌNH GIANG
=== @ ===
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN
1
a
- ĐKXĐ: a > 0, a
1
2 2
2 2
2
2 2 a 2 2 a a 1 a 1 A
a a (a 1)
(1 a)(1 a) a
0.25đ 0,5đ 0,5đ
0,25đ
m a, n a thì m3 = a, n3 = b
Ta có m3 + n3 = a + b = 2
Giả sử m + n > 2 thì (m + n)3 > 8
⇒ m3 + n3 + 3mn(m + n) > 8
⇒ 2 + 3mn(m + n) > 8 ⇒
mn(m + n) > 2
⇒ mn(m + n) >
m3 + n3 Chia hai vế cho m
0.25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Trang 7+ n > 0 được mn
> m2 - mn + n2 (m – n)2 < 0 (vô lí)
Vậy m + n 2
2
a
Đặt
x 5 t t x 5 t x 5 (1)
⇒ Phương trình trở thành x2 + t = 5 (2)
Ta có hệ 2
2
t x 5
x t 5
t2 – x2 – (x + t)=0
(x + t)(t – x - 1)
= 0
t x 1
Với t = -x ta có
x 5 x, tìm
được
1 21 x
2
Với t = x + 1 ta có
tìm được
-1 17 x
2 Vậy
1 17 1 21
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b Toạ độ
A(3-2m,0), B(0,2m-3)
OAB Vuông tại O
SOAB= 12 OA.O
0,5đ
0,5đ
Trang 8B = 12
|3 −2 m||2 m−3|
=
2
(2m 3)
2 (2m 3) 1 0 (2m 4)(2m 2) 0
m = 2 hoặc m
= 1
3
Từ (1) ⇒
2 Thay vào (2), ta có:
mx m 1
2
Với m 2 hpt
có nghiệm duy nhất
⇒{x= m
2
−3 m+2
m−1
3
m+2 y= 2 m+1
3
m+2
0.25đ
0.5đ
0.25đ
x, y là số nguyên
m 2 1
m 5; 3; 1;1
m 2 3
0.5đ
4
a
Vẽ hình chính xác:
Ta có:
o
EOA 180 (OEA A ) 180 2A FOA 180 (OFA A ) 180 2A EOA FOA 360 2(A A ) 180 hay EOF 180
Vậy E, O, F thẳng hàng
0,5đ
0,25đ 0,25đ
b Theo tính chất 0,5đ
Trang 9hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MO
EH hay MO // AB Chứng minh tương tự: NO //
AC Suy ra MON
vuông tại O
0,5đ
c
Tứ giác MEFN là hình thang vuông, đường cao EF Do đó:
MEFN
Vậy diện tích lớn nhất AH lớn nhất AH là đường trung tuyến của ABC, hay ABC
là tam giác vuông cân
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
5
Nhận xét y > 5
( y 5) 13 5 13 5
( y 5) 13 y
4 10 2 12 0
( y 3) ( y 3)( y 1)( y 1) 1 0 (*)
Vì y > 5 nên
( y 3)( y 1)( y 1) 1
> 0
Từ (*)
y y
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
* Chú ý: HS có cách giải khác đúng vẫn cho điểm