Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng 2.. Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB vµ [r]
Trang 1phòng giáo dục và đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
môn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2015
-Câu 1 (2,5 điểm):
a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 6 5 14 6 5
b/ Rỳt gọn biểu thức
c/ Cho x 3 2 ; y 3 2 Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình: 2x x 1 4
b/ Tìm m để hệ phơng trình
4 10 4
x my
có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0.
Câu 3 (1 điểm):
Cho hàm số y = (a – 1)x + a với a ≠ 1
Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2.
Câu 4 (3 điểm):
Cho đờng tròn (O; R) Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến
AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ
BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lợt tại E và F
a/ Tính số đo góc EOF ?
b/ Biết EF =
5
6R, tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF.
c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm):
a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6
Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.
b/ Chứng minh
x x x
-Hết -Họ và tên: SBD
Chữ kí GT 1:
Đề thi chính thức
Trang 2Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011
môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011
Câu 1
(2,5 đ)
a/ 14 6 5 14 6 5 3 52 3 52
3 5 3 5 3 5 3 5 6
0,5 0,5 b/
2
x x
¿(√x +1)(√x −2)
(√x −2)(√x − 3)=
√x +1
√x −3
0,25 0,25 0,25 0,25
c/ Tính đợc x + y = 6 và xy = 7
Tính đợc x2 + y2= 22
Và x3 + y3 = 90
Tính đợc x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25 0,25
Câu 2
(2 đ)
a/ Đa đợc về dạng x 1 2x 4
ĐK có nghiệm x ≥ 2
Biến đổi về PT (x – 3)(4x – 5) = 0
Tìm đợc x = 3 (thoả mãn); x =
5
4 (loại)
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25 0,25 0,25 0,25
b/
Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m
=> 4m – m2y + 4y = 10- m <=> (4-m2)y = 10-5m
<=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*)
Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất
=> (2- m)(2+m) 0 => m 2
=> y =
5
2 m ; x=
8 2
m m
Giải điều kiện y > 0 tìm đợc m > -2
Với m > -2 và x > 0 tìm đợc m < 8
Kết luận -2 < m < 8 và m 2
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết
đến 0,25 đ
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 3
(1 đ)
a/ Tìm đợc OA = a; OB = 1
a a
;
diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 => a 1
a a
= 4
Đa đợcvề PT : a2 = 4(1 – a)±
Tìm đợc a = 2
và a2 2 2; a2 2 2
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 4
(3 đ) a/
O
M A C
B E
F
Trang 3CM đợc
2
MOE MOB
;
2
MOF MOC
=>
2
EOF BOC
Chứng minh đợc BOC 900 => EOF 450
b/
Tính đợc diện tích tam giác OEF =
2 5 12
R
Chứng minh SOEF =
1
2SOBEFC
=> SOBEFC =
2 5
6R
Ta có SABOC = R2
=> SOEF =
2 1
6R
2 2
EF x y
Chu vi tam giác AEF = 2a
x y x y a
2 2 2(x y ) x y
suy ra
2 2
2 x y x y
2a x y x y x y 1 2 EF 1 2
Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng
2
a
cung BC
0,5 0,25 0,25 0,75 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 5
(1,5 đ)
a/ Ta có: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c )
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)
Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6
Từ đó suy ra a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
0,25 0,25 0,25
b/Chứng minh đợc
a b c d a c b d
Từ đó suy ra
2 4 2 2 10 2 22 ( 1)2 32 26
x x x x x
Dấu = xảy ra khi x =
5 2
0,25 0,25 0,25