b Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN.. c Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-Bài 1 : (3 điểm)
Chứng minh rằng : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n
Bài 2 : (4 điểm)
a) Cho 0 x 1Chứng minh rằng :
3 2 1
4
x x
b) Cho ba số x y z; ; thỏa mãn : x y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của B = xy yzzx
Bài 3 : (4 điểm)
a) Tính : A 4 5 3 5 48 10 7 4 3
b) Giải phương trình : x 2 10 x x2 12x40
Bài 4 : (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M
D ; M C ) chọn điểm M trên cạnh BC sao cho MAN 45o, DB cắt AM ; AN theo thứ tự tại E
và F
a) Chứng minh rằng : AFM AEN 90o
b) Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN
c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
Bài 5 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của BAC là AD Biết AD = 6 ; AC = 9 với
BAC= 68o Tính độ dài AD
- Hết
-HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
Trang 2ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi : TOÁN ; L P 9Ớ
1 Chứng minh rằng : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n 3 điểm
Ta có : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n = n3( n4 – 14n2 + 49 ) – 36n
= n7 - 14n5 + 49n3 - 36n
= (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n)
= (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)}
=(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n)
= (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9) = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp Rồi chứng minh
cho tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7
Kết luận: A chia hết cho 7
0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
2a
Cho 0 x 1Chứng minh rằng :
3 2 1
4
x x
Do 0 x 1 nên x2 x => - 4x2 - 4x và 1-x 0
Từ đó ta có - 4x2 (1-x) -4x (1-x)
- 4x2 (1-x) +1 - 4x (1-x) +1
4x3 - 4x2 + 1 4x2 - 4x +1
= (2x -1)2 0
=> 4x3 -4x2
+1 0 - 4x3 + 4x2
- 1 0 - 4x3 + 4x2 1
4(-x3 + x2) 1 - x3 + x2 4
1
Vậy : -x3 + x2 4
1
nếu 0 x 1
1
0.75 0.25
2b Cho ba số x, y, z thoả mãn Bxyyzzx x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của
Ta có :
2 2 2
2
B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
1.25
0.5
Trang 3Dấu = xảy ra khi
y 1 0
y 3
2
x y z 3
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
0.25
3a
Tính : A 4 5 3 5 48 10 7 4 3 2 điểm
Ta có : A 4 5 3 5 48 10 2 32
= 4 5 3 25 5 3 = 4 5 3
0.5 0.5 0.25
0.25 0.5 3b Giải phương trình : x 2 10 x x2 12x40 2 điểm
Điều kiện : 2 x 10
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
Ta có : 2 10 1 2 4 10 .4 1 2 4 10 4
x x x x
Dấu “ = ” xảy ra
6
x
Mặt khác : x2 12x 40 x2 12x 36 4 x 62 4 4
Dấu “=” xảy ra x 6 0 x6 (2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là : x 6
1
0.75 0.25
4a Chứng minh : 0
AFM = AEN = 90
Nối A với C chỉ ra được A = A ; B = C 3 1 1 1
=> AFB AMC (g.g)
AM AB
AF AC
AB AM
AF
MAF = CAB = 45 (2)
1
1 3
1
K
N
M
F
E
B A
Trang 4=> AFM = ABC = 90 0
C/M hoàn toàn tương tự có AEN = 900
vì vậy 0
AFM = AEN = 90
0.5
4b
Chứng minh :
1 2
S S
Có AFM AEN => AN
AE AM
AF
=> AEF AMN (c.g.c) =>
2
(1)
AEF
AMN
Có FAM = 450, AFM = 900
=> AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2
=>
2
AF AM
1
Thay vào (1) ta được
AEF AMN
S
S 2
1
hay:
1 2
S S
(ĐPCM)
1.5 0.5
4c C/M chu vi CMN không đổi
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
ADK = ABN => AK = AN và BAN DAK
do đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC
1.5
0.5
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC
lần lượt là : S1, S2, S
Ta có : S1 =
1
2AB.AD.sinA1 S2 =
1
2AD.AC.sinA2
S =
1
2AB.AC.sinA
Vì : S = S1 + S2
Nên :
1
2AB.AD.sinA1 +
1
2AD.AC.sinA2 =
1
2AB.AC.sinA
AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA
o
0.75
0.75
1 5
2 1
K H
B
A