Bài 1 1,25 điểm: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu bớt mỗi chữ số của nó đi một đơn vị thì được một số mới có tổng bình phương các chữ số bằng số phải tìm.. Gọi E, F lần lượt là hì[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,25 điểm):
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu bớt mỗi chữ số của nó đi một đơn vị thì được một số mới có tổng bình phương các chữ số bằng số phải tìm.
Bài 2 (0,75 điểm):
Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại số nguyên n thỏa mãn (n2 + 1) và [(n + 1)2 + 1] cùng chia hết cho m.
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho ba số a, b, c là những số hữu tỉ khác không, từng đôi một khác nhau
và a + b + c = 0, hãy tính:
P =
Bài 4 (1,5 điểm):
Giải phương trình: 2 x - 2012 + 2 2011 - 2012 - 2 2011 = 0
Bài 5 (1,0 điểm):
Chứng minh rằng a4 b4 2 4ab a, b
Bài 6 (1,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (với AC > BD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
a) Tứ giác BFDE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh
AC CH Bài 7 (1,5 điểm):
Cho hình thoi ABCD Kẻ BM vuông góc với AD (M AD) và BN vuông góc với CD (N CD) Giả sử AC = 2MN Tĩnh các góc của hình thoi Bài 8 (1,5 điểm):
Cho tam giác ABC cân ở A, có A = 40 0 Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx 10 0 Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA Tính số đo của góc BDC.
Trang 2PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
1
(1,25 điểm):
Gọi số phải tìm là ab ta có ab = a - 1 + b - 1 2 2
10a + b = a - 2a + b - 2b + 2
a - 12a + b - 3b + 2 = 0
4a - 48a + 4b - 12b + 8 = 0 4a - 48a + 144 + 4b - 12b + 9 - 145 = 0
(2a - 12) + (2b - 3) = 145
Ta thấy 145 = 122 + 12 = 82 + 92
Vì 2a – 12 là số chẵn và a, b là các chữ số (a > 0) nên ta được:
a - 6 = 6 2b - 3 = 1
a - 6 = 4 2b - 3 = 9
Suy ra : a = 2, b = 6 và ab 26
0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
0,25 0,25
2
(0,75 điểm):
Vì n21 m và n + 1 21 m
Nên n + 12 1 n21 m
hay 2n + 1 m
n 2n + 1 2 n 1 m hay n - 2 m
2n + 1 -2 n - 2 m hay 5 m
Suy ra m 1; 5 Chọn n = 2 thì cả hai giá trị trên của m đề thỏa mãn.Vậy m = 1 hoặc m = 5
0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
3
(1,5 điểm)
P
bc b-c +ca c-a +ab a-b a c-a a-b +b a-b b-c +c b-c c-a
a-b ac-a +b -bc +c b-c c-a
bc b-c +ca c-a -ab b-c c-a
a-b c a-b - a-b a+b c(b-c)(c-a)
bc b-c +ca c-a -ab b-c ab c-a
a-b c a-b - a-b a+b c(b-c)(c-a)
b b-c c-a +a c-a (c-b)
a-b c a-b a-b c c(b-c)(c-a) b-c c-a (a-b)
2
b-c c-a (a-b) 2c a-b c(b-c)(c-a)
2
c 2 a-b - (b-c)(a-c) b-c c-a (a-b)
abc a-b b-c c-a
0,25 đ 0,25 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 d
0,125 đ
Trang 3
c 2 a-b - (2b+a)(2a+b) b-c c-a (a-b)
Vì – c = a + b
c 2a - 4ab +2b -5ab - 2a -2b b-c c-a (a-b)
b-c c-a (a-b) c -9ab
9
0,125 đ
0,125 đ
4
(1,5 điểm)
2 x - 2012 + 2 2011 - 2012 - 2 2011 = 0
2 x 2 2011 0
x 2011 x = 2011
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
5
(1,0 điểm) Ta thấy
a2 b22 2 ab - 1 2 0
a 2a b b 2 a b - 2ab + 1 0
a - 2a b + b 2a b 4ab + 2 0
a b + 2 4ab
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
6
(1,0 điểm)
K
H
F
E
D
C B
A
a) BE AC, DF ACnên BE//DF
mà BE = DF (vì AEB = CFD ) Suy ra tứ giác BFDE là hình bình hành b) ABC
1
S AB.CH (1)
2
ABC
1
S AC.BE (2)
2
Từ (1) và (2) ta có AB.CH = AC.BE
=>
AC CH
0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
7
D
C
B
A
Vì ABCD là hình thoi nên DM =DN
=> MN // AC Mặt khác AC = 2MN nên M, N tương ứng
là trung điểm của AD, CD
Ta được các tam giác: ABD, BDC cân tại B
Mà AB = AD, CB = CD nên các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều
Suy ra các góc của hình thoi là 1200 và 600
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 4(1,5 điểm)
E D C B
A Vẽ tam giác đều ABE, với E nằm cùng phía
C so với AB
Vì tam giác ABC cân tại A nên:
1800 A 180 0 400 0
Mà ABE = 60 0 700 nên tia BE nằm giữa hai tia BA và BC Do đó
EBC ABC ABE 70 60 10
EBC DBC
Mà BE = BA (do ABE đều) và BD = BA nên BE = BD CBE = CBD (c.g.c)
Do đó BDC BEC (1) Mặt khác, vì AE = AB = AC nên ACE
cân tại A
Mà CAE 60 0 400 200 nên
2
Suy ra BEC 80 0 600 20 (2)0
Từ (1) và (2) ta suy ra BDC 20 0
0,25 đ 0,25 đ
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ
Lưu ý: Học sinh có thể có những cách biến đổi hoặc lập luận chứng minh khác hợp lý dẫn
đến kết quả đúng thì vẫn cho điểm đúng theo yêu cầu