Chú ý: Học sinh không tìm ĐKXĐ hoặc tìm ĐKXĐ sai vẫn chấm nhưng trừ 0.25 phần ĐKXĐ... thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y thỏa mãn.[r]
Trang 1UBND HUYỆN TIÊN DU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho
3 3
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 (6,0 điểm)
Giải phương trình, hệ phương trình:
a) 2x2 2 5 x3 1
b)
2
x x x x x
c)
2x
7
7 17
15
5 19
y y
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; ythỏa mãn x5y0
2) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Kẻ đường kính BC của đường tròn (O) AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C) Từ C vẽ dây CE // OA BE cắt OA tại H
1) Chứng minh rằng: AB2 = AD AC
2) Chứng minh rằng AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Chứng minh rằng:
OCH OAC
4) Tia OA cắt đường tròn (O) tại F Chứng minh: FA CH = HF CA
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Trang 21 1 1
16 4
P
x y z
UBND HUYỆN TIÊN DU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2017 – 2018
Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút
1
a) ĐKXĐ:
4 0;
3
x x
, ta có:
P = (3√6 x+4 3 x3− 8 −
√3 x
3 x+2√3 x+4) . (1+31+√√3 x 3 x3−√3 x) = ((√6 x +4 3 x)3−8 −
√3 x
3 x +2√3 x +4) . (1+(√3 x)3
1+√3 x −√3 x)
0.75
= 6 x+ 4 −√3 x(√3 x − 2)
(√3 x − 2) (3 x +2√3 x +4) ((1+√3 x1+) (1−√3 x√3 x +3 x)−√3 x) = (√3 x − 2 6 x +4 −3 x+2) (3 x +2√√3 x +4 3 x ) .3x 2 3x 1 0.75
= (√3 x − 2 3 x +2) (3 x +2√3 x + 4√3 x +4) 3x 2 3x 1
2 1
3x 2 x ¿
(√3 x − 1)2
√3 x −2
0.75
Vậy:
x P
x
với
4 0;
3
b) Ta có P ¿(√3 x − 1)2
√3 x −2 = 3 x − 3
√3 x − 2 −2
Nếu 3x – 3 = 0 ⇔ x=1 ⇒ P=− 2 (tm)
0.75
Khi x 1
+) Nếu √3 x là số vô tỷ thì P là số vô tỷ
+) Nếu √3 x là số nguyên thì P nguyên khi
3 x − 3
√3 x − 2 ∈ Z ⇔√3 x +2+ 1
√3 x −2 ∈ Z ⇔√3 x −2 là ước của 1
có
√3 x −2=1
¿
√3 x −2=−1
¿
¿
¿
¿
⇔
√3 x=3
¿
√3 x =1
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
x =3(TM)
¿
x=1
3(loai)
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy với x = 1; x = 3 thì P có giá trị nguyên.
0.75
Trang 3Chú ý: Học sinh không tìm ĐKXĐ hoặc tìm ĐKXĐ sai vẫn chấm nhưng trừ 0.25
phần ĐKXĐ
2
a) ĐK: x ≥ −1
2 x 2 5 x 1
⇔2(x2− x +1+x+1)=5√( x+1 )(x2− x+1)
⇔2(x2− x +1)−5√( x+1)(x2− x+1)+2( x +1)=0
⇔2(x2− x +1)− 4√(x+1)(x2− x+1)−√(x +1)(x2− x +1)+2 ( x+1)=0
⇔(√x2− x +1− 2√x +1)(2√x2− x+1−√x +1)=0
⇔√x2− x +1− 2√x +1=0
hoặc 2√x2− x+1 −√x +1=0
Giải ra được x1= 5+√37
2 (tm); x2 =5 −√37
2 (tm) KL:
2
b)
2
x x x x x
Đặt a x1; b 1 x ( 1 x 1) Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a + 2a2 = - b2 + b + 3ab (a - b)2 + a (a - b) + (a - b)
(a - b) (2a - b + 1) = 0
0
1 1
24
25
x
2
c)
2x
7 17( ) 7(2x ) 7.7.17
7 17
4x 7 19(4x ) 5( 7) 5.19.15
15
5 19
31x-10y=833 23
76x 24 1460 12
x
Vậy
2
1
ïï
Û íï
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Với m 0 hpt có nghiệm duy nhất
2
( x, y ) ;
ç
=çç ÷÷÷
Để x + 5y = 0 thì m2 + 1 + 5(m + 1) = 0 Þ m = –2, m = –3
0.75
Trang 4Kết luận: m 2 3; thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn
x y .
2
- Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0
n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k
= ( n2 + 2.4k )2– (2n.2k)2 = (n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k)
Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k
= (n – 2k)2 + 4k > 4
Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số
Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1
1.5
4
a) Chỉ ra: BD vuông góc AC tại D; ∆ABC vuông tại A
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và hình chiếu trong tam giác vuông ta có:
AB2 = AD AC
1.5
b) Ta có: ∆BCE vuông tại E CE BE mà OH // CE OH BE tại H
H là trung điểm của BE OA là đường trung trực của BE AB = AE
Xét ∆ABO và ∆AEO có: OB = OC; chung OA; AB = AE
∆ABO = ∆AEO (c c c)
90 0
ABO AEO AE là tiếp tuyến của (O)
1.5
c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và hình chiếu trong tam giác vuông ABO ta
có:OB2 = OH OA Mà OB = OC nên OC2 = OH OA
OC OH
OA OC
Xét ∆OCH và ∆OAC có: AOC chung;
OC OH
OA OC
∆OCH đồng dạng ∆OAC (c.g.c) OCH OAC
1.5
d) Ta có +) OCH OAC Mà OA // CE nên ACE OAC (Hai góc so le trong)
OCH ACE(1)
+) OCF OFC (∆OCF cân tại O)
Mà OF // CE nênOFC FCE (Hai góc so le trong) OCF FCE (2)
1.5
Trang 5Từ (1) và (2) suy ra: HCF FCA CF là tia phân giác của HCA
CH HF
FA.CH HF.CA
CA AF
(đpcm)
5
1
P x y z
Dấu bằng xẩy ra khi
Vậy
0.5