Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt.. Suy ra 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I là trung điểm củ[r]
Trang 1Trường THPT Hậu lộc 2 đề thi thử đại học lần thứ I
môn Toán(Khối A-B-D) -Năm học 2011-2012
Thời gian: 180 phút I.Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I (Khối A;B:2 điểm, khối D:3điểm) Cho hàm số
1
x
y x
=
- ,đồ thị là đường cong (C).
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cỏch từ tõm đối xứng của đồ thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giaỷi heọ phửụng trỡnh :
2 2
4
ớ
ợ
2 Tỡm nghieọm treõn khoảng (0; p ) cuỷa phửụng trỡnh :
4 sin 3 cos 2 1 2 cos ( )
x
Câu III (1 điểm). Tớnh tớch phõn: I = 4
0
tan ln(cos ) cos
x x
p
Câu IV (1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là hỡnh thoi. SA = x (0 < x < 3 ) cỏc cạnh cũn lại đều bằng 1. Tớnh thể tớch của hỡnh chúp S.ABCD theo x
Câu V (1 điểm) Chứng minh rằng nếu 0 ÊyÊx Ê 1 thỡ 1
4
x y-y x Ê ẹaỳng thửực xaỷy ra khi naứo?
II.Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (3 điểm).
1. Cho đường trũn (T): x 2 + y 2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y - 1 = 0 Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD ngoại tiếp (T) biết A ẻ d.
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: 1
1
2
= -
ỡ
ù
=
ớ
ù = - +
ợ
và 2 : 1 3
1
x t
=
ỡ
ù
= +
ớ
ù = -
ợ
. Lập phương
trỡnh mặt cầu cú đường kớnh là đoạn vuụng gúc chung của d1 và d2
3 Tìm phần thực của số phức z=(1+ i ) n sao cho log4( n-3) +log5 ( n +6) = 4 ( *
n ẻ Ơ )
B Theo chương trình nâng cao (3 điểm)
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường trũn (C1):x 2 + y 2 = 13 và (C2):(x ư 6) 2 + y 2 = 25cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dõy cung cú độ dài bằng nhau
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 , viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
3 Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó
www.laisac.page.tl
Trang 2Chú ý: Thí sinh thi khối D không phải làm câu V
môn Toán(Khối A-B-D) -Năm học 2011-2012
Thời gian: 180 phút
Chiều biến thiờn lim ( ) lim ( ) 1
đ+Ơ = đ-Ơ = nờn y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ( ) , lim
f x
= +Ơ = -Ơ nờn x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y’ = 1 2 0 (x 1)
- <
-
0.25
Bảng biến thiờn
1 +Ơ
ưƠ
1
ư ư
y y'
Hàm số nghịch biến trờn (-Ơ ;1) và (1;+Ơ )
I
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
c.Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm I(1 ;1) làm tâm đối xứng
0.25
2.
(1.0đ)
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đú cú khoảng cỏch từ tõm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trỡnh tiếp tuyến d của (C) tại M cú dạng : 0
0
2
1
x
2
0
1
0
x
x y
0.25
x
O
1
1
y
I
Trang 3Ta cĩ d(I ;d) = 0
4
0
2
1
1
1 ( 1)
-
+
-
x
x
Xét hàm số f(t) =
4
2 ( 0)
1
t
t
t
>
+
ta cĩ f’(t) =
2
4 4
0.25
f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên
x 0 1 +¥
Từ bảng biến thiên ta cã d(I ;d) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
0
0
0
2
0
x
x
x
=
é
+ Với x0 = 0 ta cĩ tiếp tuyến d cã pt là y = x + Với x0 = 2 ta cĩ tiếp tuyến d cã pt là y = x+4
0.25
II
(2,0®)
1
(1,0®) 1 Giải hệ phương trình : (I)
2 2
4
í
ỵ
(I) Û í ì ï + + + =
ï
ỵ
§Ỉt S x y; P xy(S= + = 2 ³4P)ÞS2 =x2 +y2+2xyÞx2 +y2 =S2 - 2P
Vậy ( )
ì = -
ï
ê
- + =
ë
ỵ
2
2
P 2
S P S 2
S 1
í
= -
ỵ
1
TH :
xy 2 vậy x, y là nghiệm của phương trình + - =
2
Vậy hệ có 2 nghiệm x 2
ì =
ï
í
= -
ï
hay x 2
y 2
ì = -
ï
í
=
ï
í
= -
ỵ
2
TH :
xy 2 vậy x,y là nghiệm của phương trình
2
X +X 2- = 0
Þ X 1hay X= = - 2 Vậy hệ có 2 nghiệm x 1
y 2
=
ì
í
= -
ỵ
V x 2
y 1
= -
ì
í
=
ỵ
Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm x 2
ì =
ï
í
= -
ï
y 2
ì = -
ï
í
=
ï
V x 1
y 2
=
ì
í
= -
ỵ
V ì í = -
=
ỵ
x 2
y 1
0,5
0,5
Trang 4C
B
D
S
H
2
(1,0®)
2 Tìm nghiệm trên kho¶ng (0; p ) của phương trình :
x
(1) 2 1 cos x( ) 3 cos 2x 1 1 cos 2x 3
2
p
(1) Û -2 2 cos x- 3 cos 2x= - 2 sin 2x (1) Û -2 cos x= 3 cos 2x sin 2x - Chia hai vế cho 2:
(1) Û -cos x= 3cos 2x- 1 sin 2x
6
p
Ûx=5 +k2 a x= -7 +h2p b
Do xỴ( 0, p ) nên họ nghiệm (a) chỉ chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chỉ chọn
h = 1 Do đó pt(1) có ba nghiệm x thuộc ( 0, p ) là: x1 5 , x2 17 , x 3 5
0,5
0,5 III
(1,0®)
(1,0®)
Tính tích phân: I =
4
0
tan ln(cos ) cos
x
x
p
Đặt t=cosx dt=sinxdx , đổi cận: x=0 thì t=1 ,
4
2
t =
Từ đĩ
1
1
2
1
1
2
*Đặt u ln ; t dv 1 2 dt
t
Suy ra
1
2
1
2
2
*Kết quả 2 1 2 ln 2
2
I = - -
0,5
0,5
IV
1,0®
Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD.
2
DSBD= DCBD c c c ÞSO=CO = AC
Vậy tam giác SCA vuơng tại S.
1
Mặt khác ta cĩ
2
0,5
Trang 52 2
Gọi H là hỡnh chiếu của S xuống (ABCD)
Vỡ SB = SD nờn HB = HD
Do tam giác SCA vuông tại S và SH là đường cao nên:
1
x
SH
Vậy V = 1 1 3 2 ( )
V
(1,0đ)
1,0đ
Chứng minh rằng neỏu 0 ÊyÊx Ê 1 thỡ 1
4
x y-y x Ê ẹaỳng thửực xaỷy ra khi naứo?
Ta coự 0Êx 1Ê ị x ³ x 2 (*)
Theo baỏt ủaỳng thửực Cauchy và (*) ta coự:
+1 ³ 2 +1 ³ 2 1 =
1
x y y x
4
Daỏu “= ’’xaỷy ra
ỡ
Ê Ê Ê
=
ù =
ợ
2
2
y
yx
4
0,25
0,75
VI.a
(2,0đ)
1
(1,0đ)
1. Cho đường trũn (T): x 2 + y 2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
0
1
y
x + - = Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD ngoại tiếp (T) biết A
ẻ d.
y
Đường trũn (C) cú tõm I(4, –3), bỏn kớnh R = 2 Tọa độ của I(4, –3) thỏa mãn phương trỡnh (d): x + y – 1 = 0. Vậy I ẻ d Vậy AI là một đường chộo của hỡnh vuụng ngoại tiếp đường trũn (T), cú bỏn kớnh R = 2.Vì d song song với đường thẳng y=-x nên góc giữa d và Ox bằng
45 0 ,do đó hình vuông ABCD có cạnh đi qua A và song song với Ox.
Hai đường thẳng x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (T ) nờn:
. Hoặc là A là giao điểm cỏc đường (d) và x = 2 ị A(2, –1) Khi A(2, –1) ị B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
Trang 6. Hoặc là A là giao điểm cỏc đường (d) và x = 6 ị A(6, –5)
2
(1,0đ)
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1
2
= -
ỡ
ù
=
ớ
ù = - +
ợ
và 2 : 1 3
1
x t
=
ỡ
ù
= +
ớ
ù = -
ợ
. Lập phương trỡnh mặt cầu cú đường kớnh là
đoạn vuụng gúc chung của d1 và d2. Gọi M (1ư t ; 2t ; ư2 + t) ẻ , N(t’ ; 1+3t’ 1ư t’) d 1 ẻ d 2
Đường thẳng d1 cú vecto chỉ phương là u = - ur 1 ( 1; 2;1)
, đường thẳng d2 cú vecto chỉ phương là u =uur 2 (1;3; 1) -
.
uuuur
MN là đoạn vuụng gúc chung của d1 và d2 khi và chỉ khi
1
2
0 2 ' 3 3 0
11 ' 4 1 0 0
MN u
ù
Û
- - =
= ợ
ù
uuuur ur uuuur uur
3 '
5
7
5
t
t
ỡ
=
ù
Û ớ
ù =
ù
ợ
Do đú M( 2 14; ; 3
), N( 3 14 2 ; ;
Mặt cầu đường kớnh MN cú bỏn kớnh R = 2
MN
= và tõm I( 1 14; ; 1
10 5 10
-
) cú
0,75
0,25
3
(1,0đ) 2 Tìm phần thực của số phức =(1+ )
n
z i : log4( n-3) +log5 ( n+6) =4,n ẻ Ơ *
Hàm số f(x) = log4( x-3) +log5 ( x + 6 ) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và f(19) = 4 Do đó phương trình log4( n-3) +log5 ( n +6) = 4 có nghiệm duy nhất
19
n =
Suy ra phần thực của z là : ( ) 19 3 19 2
0,5
0,5 VI.b
(2,0đ)
1
(1,0đ)
1.Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường trũn (C1):x 2 + y 2 = 13 và (C2):(x ư 6) 2 +
y 2 = 25cắt nhau tạiA(2; 3). Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dõy cung cú độ dài bằng nhau.
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tỡm với (C1) và (C2) lần lượt là M và
N .Gọi M(x; y) ẻ(C1 )ị x2+y 2 = 13 (1)
Vỡ A là trung điểm của MN nờn N(4 – x; 6 – y).
Trang 713
ỡ + =
ù
ớ
ù
ợ Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại) và (x = 17
5
-
; y = 6
5 ). Vậy M(
17
5
-
; 6
5 )
Đường thẳng cần tỡm đi qua A và M cú phương trỡnh : x – 3y + 7 = 0
0.5
0,5
1
(1,0đ) 2.
2
z t
ỡ
=
ợ
Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 , viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Đường thẳng d 1 đi qua điểm M 1 (4; 1; -5) và có véctơ chỉ phương u =r (3; 1; 2) - -
Đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2 (2; -3; 0) và có véctơ chỉ phương r '= (1;3;1)
u
5 6
, '
r ur uuuuuur
r ur
u u M M
d d d
u u
Giả sử S(I; R) là một mặt cầu bất kỳ tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 , d 2 tương ứng tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA^ d 1 , IB^ d 2 và IA + IB ≥ AB Suy
ra 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I là trung điểm của AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2
Aẻd 1 , Bẻd 2 nên A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’);
0
Û
uuur r uuur r uuurAB uru uuur ur AB u
Giải hệ này tìm được A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ị I(2; 1; -1)
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) , bán kính R= 6 nên có phương trình là:
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1,0đ)
2 Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó
4
Gọi số tự nhiê n cần lập là n =a a a a a =a 10 +a10 +a 10 +a 10 + a
Ta có 4 cách chọn a 4 và 4 ! cách xếp 4 số còn lại Vậy có 4.4 !=96 số n
Có 24 số với số k (k=1,2,3,4) đứng ở vị trí a 4
Có 18 số với số j ( j=1,2,3,4) đứng ở vị trí a i với i=0,1,2,3
Vậy tổng của 96 số n là:
3
0,5
0,5
Chú ý: Câu I : Khối A;B: 2 điểm
Khối D: (3điểm) : ý I.1: 2,0 điểm, ý I.2: 1,0 điểm