Bên trong đờng tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn h¬n hoÆc b»ng 1.. Chøng minh r»ng ®iÓm O n»m trong hoÆc n»m trªn c¹nh cña tam gi¸c ABC.[r]
Trang 1Câu1:Cho phơng trình x2− 4 x +m2−3 m=0 (1)
1.Tìm các giá trị của m để để phơng trình(1) có nghiệm
2.Giả sử phơng rình (1) có nghiệm x1, x2 Hãytìm các giá trị của m sao cho:
x1=x22− 4 x2
Bài 2.Tìm các số nguyên không âm a, b sao cho: a2−b2−5 a+3 b+4 là số nguyên tố
Bài 3.Giả sử x, y, z là các số thực không âm thoả mãn hệ thức:x+y+z=8.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:p=x3y+y3z+z3x
Câu 4.Cho nữa đờng tròn (0;R) đờng kính AB=2R.M là điểm bất kỳ trên nữa đờng tròn đó.Gọi H thuộc AB sao cho MH vuông góc với AB.Tia phân giác của góc HMB cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác BMH tịa điểm thứ hai J
1.Gọi E, F là trung điểm của MA, MB Chứng minh rằng:E, I, F thẳng hàng
2.Gọi K là trung điểm IJ Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KEF theo R Bài 5.Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt.CMR tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên)chứa ít nhất 6 điểm trong số các
điểm đã cho trên
1a Giải phơng trình 3 x2 3 7 x 3 b Giải hệ phơng trình
3 3
8
2 3 6 2
x y x
y
Bài 2Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên x2 ax a 2 0
B3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng phân giác trong BE (E thuộc AC) Đ-ờng tròn đĐ-ờng kính AB cắt BE, BC lần lợt tại M, N (khác B) ĐĐ-ờng thẳng AM cắt
BC tại K Chứng minh: AE.AN = AM.AK
Bài 4Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh
BC Đờng tròn đờng kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Trang 2ABC cắt đờng thẳng AO lần lợt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đợc một đờng tròn và tứ giác BICK là hình bình hành
B5 )a Bên trong đờng tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn
hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC
b Cho a, b, c là các số thực dơng thay đổi thỏa mãn: a b c 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b b c c a
1 3x237 x3 x 2 7 x 3 3 x 2 7 3 x3 x 2 3 7 x 27
3
9 9 (x 2)(7 x) 27
3 (x 2)(7 x) 2
( x 2)(7 x ) 8 x2 5 x 6 0
1
6
x
x
b Đặt
2
z
y Hệ đã cho trở thành
3 3
2 3
2 3
x z
z x
3 x z z3 x3
x z x 2 xz z2 3 0
x z (vì x2 xz z 2 3 0, x z , ).
b., Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0 a2 4 a 8 0 (*).
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).Theo
định lý Viet:
1 2
1 2 1 2
1 2
2
(x1 1)(x2 1) 3
1 2
1 3
1 1
x x
hoặc
1
2
x
x
(do x1 - 1 ≥ x2 -1)
1 2
4 2
x x
1 2
0 2
x x
Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vì BE là phân giác góc ABC nên ABM MBC AM MN
MAE MAN
Vì M, N thuộc đờng tròn đờng kính AB nên AMB ANB 900
ANK AME 900, kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK
Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )
= a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2
mà a 3 + ab 2 2a 2 b (áp dụng BĐT Côsi )
Trang 3b + bc 2b c
c 3 + ca 2 2c 2 a
Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0
Suy ra
P a b c ab bc ca
a b c
P
Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta chứng minh đợc t 3.
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2
P t
P 4 Dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4