De thi HSG Lop 7 huyen

Các số này đều khác 0 vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài.[r]

UBND HUYỆN THANH HÀ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn Toán 7

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Câu 1 (2,5 điểm) Tính:

a/ 7,3 10,5 + 7,3 15 + 2,7 10,5 + 15 2,7

b/ (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94)

Câu 2 (5 điểm) So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau:

a/ A = 4025−2012 ; B = 3997−1999

b/ A = 321 ; B = 231

c/ A = 20111 2 +

2011

3 4 +

2011

5 6 + .+

2011

1999 2000 ; B=

2012 2012 2012 2012

1001 1002 1003   2000

Câu 3 (5 điểm)

a/ Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x N)

b/ Cho

Chứng minh rằng: 2 3 4

c/ Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x1.x2) = f(x1).f(x2) và f(2) = 10 Tính f(32)

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho

CD = AB Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD

a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC

b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC

c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE=1

2AD

Câu 5 (2,5 điểm)

Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì ba số nào cũng là một số âm Chứng minh rằng:

a/ Tích của 100 số đó là một số dương

b/ Tất cả 100 số đó đều là số âm

-Hết -Họ tên thí sinh:……… Số báo danh: ………

Họ tên và chữ kí: Giám thị 1: ………

Giám thị 2: ………

UBND HUYỆN NHO

QUAN

PHÒNG GIÁO DỤC

VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH

GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn Toán 7

Câu

1

(2,5đ)

a

1,5đ

7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7 = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7) = 10,5 10 + 15 10

= 105 + 150 = 255

0,5 0,5 0,5 b

1đ

(69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94) = ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38) = [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)]

= (2.7) : 7 = 2

0,5

0,2 5 0,2 5

Câu

2

(5đ)

a

2đ

2012 2012 1 1 1999 1999

;

4025 4024 2 2 3998 3997

2012 1999

4025 3997

=> 4025−2012 > 3997−1999 Vậy A > B

1,0

0,5

0,5 b

1,5đ

A = 321 = 3.(32)10 = 3.910

B = 231 = 2.(23)10 = 2.810 Suy ra A > B

0,5 0,5 0,5 c

2011

1 2 +

2011

3 4 +

2011

5 6 + +

2011

1999 2000

¿ 2011.(1 −1

2+

1

3−

1

4+

1

5−

1

6+ +

1

1999−

1

2000)

¿ 2011.[ (1+1

3+

1

5+ +

1

1999)−(12+

1

4+

1

6+ +

1

2000) ]

¿ 2011.[ (1+1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+ +

1

1999+

1

2000)−2 (12+

1

4+

1

6+ +

1

2000) ]

0,2 5

1 1 1 1

1001 1002 1003 2000

Suy ra A < B

0,2 5

0,2 5 0,2 5

Câu

3

(5đ)

a

2,5đ

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100

= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 +

3x+98 + 3x+99 + 3x+100)

= 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34)

= 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120

= 120(3x + 3x+4 +…+3x+96)120 (đpcm)

0,7 5

0,7 5 0,5 0,5 b

1,5đ

Suy ra:

4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 )

0 29

Vậy

3 2





Từ (1) và (2) ta được 2 3 4

0,5

0,2 5

0,2 5

0,2 5

0,2 5

c

1đ

Vì f(x1.x2) = f(x1).f(x2) nên f(4) = f(2.2) = f(2) f(2) = 10 10 = 100 f(16) = f(4.4) = f(4) f(4) = 100 100 = 10000 f(32) = f(16.2) = f(16) f(2) = 10000 10 = 100000

0,5 0,2 5 0,2 5

4

(5đ)

I

P A

C

D

B

E

a

1,5đ

Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD nên IB = IC, IA = ID

Lại có AB = CD (gt)

Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

0,2 5

0,5

0,2 5

0,5 b

1,5đ

∆AID cân ở I, suy ra ∠DAI = ∠D

∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra ∠BAI = ∠D

Do đó ∠DAI = ∠BAI

Vậy AI là tia phân giác của góc BAC

0,5

0,2

50, 5

0,2 5

c

1,5đ

Kẻ IP AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> AE = AP

Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) Suy ra AE=1

2AD

0,5

0,2 5

0,5

0,2 5

Câu

5

(2,5đ)

a

1đ

Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm)

Ta tách riêng số âm đó ra Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số

Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm tức là của 99 số là một số âm

Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100

số là một số dương

0,2 5

0,2 5 0,2

Cácsố này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài)

Xét tích a98.a99.a100 < 0  a98 < 0 (vì nếu a98 > 0 thì a99 >0, a100> 0, tích của ba số này không thể là một số âm)

Vậy a1, a2, a3, , a98 là các số âm

Xét tích a1.a2.a99 < 0 mà a1a2 > 0 nên a99<0 Xét tích a1.a2.a100 < 0 mà a1a2 > 0 nên a100<0 Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm

0,2 5

0,2 5

0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5

Ghi chú:

- Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải cho từng bài Nếu HS làm cách khác

đúng thì cho điểm tương đương

- Bài hình không vẽ hình hoặc hình vẽ sai, không khớp với chứng minh thì không chấm phần chứng minh

- Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, không làm tròn