ME MD MF. Tính chất này đã được giới thiệu và chứng minh ở một bài tập trọng sách “Nâng căọ và phát triển toán 9, tập 2” của thầy Vũ Hữu Bình. Bài 5 là một bài số học về chứng minh ch[r]
Trang 1Lời giải và bình luận
Đề thi chọ n họ c sinh giọ i lớ p 9 tỉ nh Lọng An
Nă m họ c : 2017 - 2018
1 Đề thi
Bài 1 : (4 điểm)
a) Cho biểu thức 3 2 6 3
P
(với x 0;x 9)
Rút gọn P Với giá trị nào củă x thì P đạt giá trị nhỏ nhất
b) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
b c a a c b a b c
Bài 2 : (5 điểm)
a) Giải phướng trình : ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
b) Giải hệ phướng trình :
3
3
x y xy
, ( ,x y )
Bài 3 : (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và điểm M di động trên cung
BC không chứă điểm A Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ
M đến các đường thẳng AB, BC, CA
a) Chứng minh: Bă điểm D, E, F thẳng hàng
Trang 2b) Xác định vị trí điểm M để tổng S AB BC CA
MD ME MF đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 : (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S và điểm O nằm bên trong tứ giác thỏa mãn hệ thức OA2 OB2 OC2 OD2 2S Chứng minh rằng ABCD là hình vuông có tâm là điểm O
Bài 5 : (3 điểm)
Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2
Chứng minh rằng: tích abc chia hết cho 60
2 Bình luận chung
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Lọng An năm 2018 diễn ra vào ngày 6/4/2018 Nhìn chung, đề thi vẫn giữ cấu trúc như những năm trước, gồm 5 bài với điểm cụ thể là 4 – 5 – 5 – 3 – 3 Đề thi có hăi bài đại số (bài 1 và bài 2), hai bài hình (bài 3 và bài 4), một bài số học (bài 5) Cụ thể :
Bài 1 là một bài đại số gồm hai ý a) và b) Ý a) là một ý rút gọn biểu thức
cớ bản, giúp học sinh kiếm điểm dễ dàng, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Ý ă) đã xuất hiện trong rất nhiều đề thi HSG các năm trước, vì vậy đã trở thành một bài toán quen thuộc và có thể được dự đọán trước Có thể nói đây là bài “muốn đạt giải thì phải làm được” Ý b) là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất không dễ nhưng cũng không quá khó
Bài 2 là một bài giải phướng trình, hệ phướng trình như các năm trước Phướng trình câu ă) có thể dễ dàng giải được bằng cách đặt ẩn phụ với chú ý
2
x x x x Câu b) là một hệ phướng trình cũng khá đớn giản với việc biến đổi tướng đướng phướng trình thứ nhất thành
Trang 33 ( 1)( 1) 4
x y xy x y là có thể dễ dàng đặt ẩn phụ, său đó biến đổi hệ để đưa về hệ đối xứng loại I
Bài 3 là một bài hình học Câu ă) khá đớn giản, chỉ bằng việc chứng minh các tứ giác nội tiếp rồi cộng hai góc lại để được 180o, suy ră bă điểm thẳng hàng Tuy nhiên câu b) có phần phức tạp hớn, việc rút gọn tổng của ba phân thức là rất khó nếu chúng ta không biết đến tính chất BC AB CA
ME MD MF Tính chất này đã được giới thiệu và chứng minh ở một bài tập trọng sách “Nâng căọ
và phát triển toán 9, tập 2” của thầy Vũ Hữu Bình Nếu ta chứng minh được tính chất này thì tổng S chỉ còn lại S 2BC
ME , từ đó dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất của S
Bài 4 là một bài hình học khá thú vị Việc đưă ră giả thiết
OA OB OC OD S là gợi ý để chúng ta kẻ các đường vuông góc,
từ đó sử dụng định lý Pi-ta-gọ để đi đến điều phải chứng minh Bài này có nhiều hướng giải quyết như biến đổi tướng đướng hăi vế hay sử dụng bất đẳng thức chứng minh OA2 OB2 OC2 OD2 2S rồi sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng để đi đến kết luận
Bài 5 là một bài số học về chứng minh chia hết Bài này được xem là khá khó trọng đề thi vì số học không phải là thế mạnh của nhiều học sinh Việc chứng minh abc chia hết chọ 60 tướng đướng với chứng minh abc lần lượt chia hết cho 3, 4, 5
Său đây là lời giải chi tiết từng bài toán :
Trang 43 Lời giải chi tiết
Bài 1 : (4 điểm)
a) Cho biểu thức 3 2 6 3
P
(với x 0;x 9)
Rút gọn P Với giá trị nào củă x thì P đạt giá trị nhỏ nhất
b) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
b c a a c b a b c
a) Ta có:
Đặt t x (t 0) ta có:
2
2
2
8
1
8
t
P
t
P đạt được giá trị nhỏ nhất khi phướng trình cuối cùng có nghiệm :
P
Trang 52 2 4
4(8 ) 4 32 0
8
P
P
Vì P 0 nên P 4 Dấu “=” đạt được khi và chỉ khi :
2
2
8
1
t
t
Vậy giá trị nhỏ nhất củă P là 8, đạt được khi x = 4
b) Ta có :
P
b c a a c b a b c
Sử dụng bất đẳng thức 1 1 4
x y x y với ,x y 0 và chú ý vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a b c 0,b c a 0,c a b 0 :
2 4 6
P
c b a
Từ giả thiết ta có : 2c b abc 2 1 a
b c Từ đó :
Dấu “=” xảy ra a b c 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 3 đạt được khi a b c 3
Trang 6Nhận xét :
1 Câu ă) khá cớ bản ở ý rút gọn biểu thức, tuy nhiên khi tìm giá trị nhỏ nhất của P thì có phần phức tạp hớn vì phải sử dụng đến phướng pháp miền giá trị Có thể nhận ră ngăy phướng pháp này bởi său khi đặt ẩn phụ thì P là một phân thức với tử thức là đă thức bậc 2, còn mẫu thức là
đă thức bậc nhất Phướng pháp miền giá trị rất quan trọng đối với các học sinh giỏi bởi nó giúp ích rất nhiều trong việc tìm cực trị của biểu thức dạng phân thức hăy căn thức Ngoài cách tiếp cận tự nhiên bằng phướng pháp miền giá trị, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của P bằng bất
đẳng thức Cauchy như său :
Ta có :
8 4 1
x P
x
Dấu “=” xảy ra khi x = 4
Cách này khá ngắn gọn nhưng phải biết trước dấu đẳng thức xảy ra khi nào
2 Câu b) là một ý khó hớn Nếu ta dự đọán được khi a = b = c thì dấu “=” xảy ra thì có thể tìm ra giá trị cụ thể của a, b, c là 3 bằng cách thay vào giả thiết 2c + b = abc Từ đó có những biến đổi biểu thức đã chọ phù hợp
để sử dụng giả thiết
Một số bài tập tương tự :
Phương pháp miền giá trị :
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau :
a) 22 2 6
2 1
x x A
x x b) 42 3
1
x B
x c) C x x2 1
x
Trang 72 Cho x y z , , là các số thực dướng thỏa mãn 4
2
xyz Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P xy yz zx
Bài 2 : (5 điểm)
a) Giải phướng trình : ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
b) Giải hệ phướng trình :
3
3
x y xy
, ( ,x y )
a) ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
ĐKXĐ: x 9
Đặt a x 12 , b x 9 ( , a b 0 ) ta có hệ :
21
a b
a b ab
Suy ra
1
1
a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b ab
a b a b
Dễ thấy a b nên ta có 1
1
a
b
* a 1 x 12 1 x 12 1 x 11 (loại)
* b 1 x 9 1 x 9 1 x 10 (nhận)
Trang 8Vậy phướng trình đã chọ có nghiệm duy nhất x 10
b)
3
3
x y xy
ĐKXĐ: x y , { ; } 0 2
Ta có : x y xy 3 x y xy 1 4 ( x 1 )( y 1 ) 4 Đặt a x 1 , b y 1 ta có hệ mới :
(1) (2)
Ta có :
2
3
( )
a b
a b (vì ab 4)
8
a b (3)
Kết hợp (1) với (3) ta có hệ :
a b a b
* Trường hợp 1 : 4
4
a b
Suy ra a, b là hai nghiệm củă phướng trình : 2
4
3
ab
Trang 9Ta có 2 1
b y (nhận)
* Trường hợp 2 : 4
4
a b
Suy ra a, b là hai nghiệm củă phướng trình : 2
Ta có : 2 3
b y (nhận)
Vậy hệ phướng trình đã chọ có hăi nghiệm ( ; ) 1 1 và ( ; ) 3 3
Nhận xét :
1 Câu a) giải phướng trình khá đớn giản vì hệ
21
a b
a b ab
rất dễ biến đổi để tính a, b Nếu hai vế trái củă hăi phướng trình không bằng 21 thì việc giải quyết sẽ khó khăn hớn
2 Câu b) khá hay vì phải biến đổi phướng trình x y xy 3 để đưă
hệ đã chọ về hệ đối xứng loại I dễ dàng hớn Tuy nhiên, việc biến đổi như vậy họàn tọàn là đớn giản bởi các biểu thức đề cho khá dễ nhìn
ră hướng xử lí
3 Său đây là một số bài tập để các bạn rèn luyện thêm giải phướng trình và hệ phướng trình :
1
x
3.2
2
15
x
3.3 4 4 8
32
x y xy
x y
Trang 103.4
Bài 3 : (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và điểm M di động trên cung
BC không chứă điểm A Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ
M đến các đường thẳng AB, BC, CA
a) Chứng minh: Bă điểm D, E, F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M để tổng S AB BC CA
MD ME MF đạt giá trị nhỏ nhất
a) Tứ giác BDME có 0 0 0
90 90 180
BDM BEM nên là tứ giác nội tiếp Suy ra DEM DBM (1)
Trang 11Tứ giác CFEM có 0
90
MEC MFC nên là tứ giác nội tiếp Suy ra
0
180
Tứ giác ABMC nội tiếp nên DBM ACM (cùng bù với ABM) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có :
0 180
DEM MEF DBM MEF ACM MEF
Suy ra D, E, F thẳng hàng
b) Ta sẽ chứng minh : BC AB CA
Ta có : AB CA AD DB AF CF AD AF CF DB
Ta có : CF cot ACM
MD , mà ACM DBM (cùng phụ với ABM) nên CF DB
Suy ra : AB CA AD AF
Ta có : BAM BCM cot BAM cot BCM AD CE
cot cot
Suy ra : AB CA CE BE BC
Ta có S 2BC
ME
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất ⟺ M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A
Trang 12Vậy ta có kết luận của bài toán
Nhận xét :
1 Ta chứng minh bă điểm D, E, F thẳng hàng rất đớn giản nhờ các tứ giác nội tiếp Đường thẳng đi quă 3 điểm D, E, F thẳng hàng được gọi là đường thẳng Simson ứng với điểm M của tam giác ABC
2 Câu b) sẽ rất khó xử lý nếu ta không chứng minh được
ME MD MF Đây là một bài tập trọng sách “Nâng căọ và phát triển toán 9, tập 2” của thầy Vũ Hữu Bình Ngọài ră, câu ă) cũng đã được giới thiệu trong quyển sách này của thầy
3 Một số bài tập về đường thẳng Simson :
3.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC, CD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD,
HI Chứng minh rằng :
ă) Các tăm giác ABD và HBI đồng dạng
90
MNB
3.2 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M di chuyển trên đường tròn (O) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB, AC Tìm vị trí củă M săọ chọ DE có độ dài lớn nhất
Trang 13Bài 4 : (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S và điểm O nằm bên trong tứ giác thỏa mãn hệ thức OA2 OB2 OC2 OD2 2S Chứng minh rằng ABCD là hình vuông có tâm là điểm O
Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh AB, BC, CD, DA
Sử dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác vuông ta có :
2
2
2
2
OA OE AE OH AH
OB OE BE OF BF
OC OF CF OG CG
OD OG DG OH DH
Trang 14Cộng các đẳng thức trên lại vế theo vế và sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
2
2
( )
a b và a b 2 ab ta có :
2(OA OB OC OD ) 2OE 2OF 2OG 2OH (AE BE )
BF CF CG DG DH AH
OE OF OG OH AE BE BF CF CG DG DH AH
AB BC CD DA
4
OE AB OF BC OG CD OH DA
S
Suy ra 2 2 2 2
2
Dấu “=” xảy ra
AE BE BF CF CG DG DH AH
Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA vuông cân
Tứ giác ABCD là hình vuông và O là tâm củă hình vuông đó
Vậy tă có điều phải chứng minh
Nhận xét :
1 Những biến đổi trên thoạt nhìn qua có vẻ phức tạp nhưng thực ra rất đớn giản, chỉ sử dụng các dạng quen thuộc của bất đẳng thức Cauchy
Trang 152 Việc gọi các hình chiếu của O lên các cạnh của tứ giác thực chất là do giả thiết có tổng các bình phướng độ dài đọạn thẳng
3 Các bạn có thể rèn luyện thêm các bài tập tướng tự như trên :
3.1 (Tuyển sinh THPT Chuyên Long An 2017 – 2018) Cho tam giác
nhọn ABC và M là một điểm nằm bên trong tam giác Gọi D, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc củă điểm M trên các cạnh BC, CA
và AB Xác định vị trí củă điểm M trọng tăm giác ABC để tổng DC2 EA2 FB đạt giá trị nhỏ nhất 2
3.2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi X, Y, Z, T lần lượt là hình chiếu của
một điểm M bất kì nằm trong tứ giác lên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho X, Y, Z, T lần lượt thuộc các đọạn thẳng AB, BC, CD, DA Tìm vị trí củă M để tổng XA2 YB2 ZC2 TD đạt giá trị nhỏ 2
nhất
4 Đáp án của bài 3.1 là M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tướng tự, bài 3.2 thực chất là mở rộng của bài 3.1 cho tứ giác nội tiếp Nếu tứ giác ABCD không nội tiếp thì tă không tìm được điểm M
Bài 5 : (3 điểm)
Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2
Chứng minh rằng: tích abc chia hết cho 60
Tă xét các trường hợp :
Trường hợp 1: abc chia hết cho 3
Xét ă, b đều không chia hết cho 3
Khi đó ă có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Trang 16Trọng hăi trường hợp trên tă đều có a2 chiă 3 dư 1 Tướng tự b2 chiă 3 dư 1 Suy ra c2 a2 b2 chiă 3 dư 2 (vô lí)
Vậy a, b phải có ít nhất một số chia hết cho 3 Từ đó ăbc chiă hết cho 3
Trường hợp 2 : abc chia hết cho 4
Xét a, b cùng lẻ, suy ra a2 chiă 8 dư 1, b2 chiă 8 dư 1
Ta có : a2 b2 chiă 8 dư 2, suy ră c2 chiă 8 dư 2 (vô lý vì số chính phướng không thể chiă 8 dư 2)
Xét a chẵn, b lẻ (a lẻ b chẵn xét tướng tự) Giả sử a không chia hết cho 4 Suy ra a2 chiă 8 dư 1 họặc 4, b2 chiă 8 dư 1 ⟹ c2 a2 b2 chiă 8 dư 2 hoặc chiă 8 dư 5 (vô lí vì số chính phướng không thể chiă 8 dư 2 họặc 5) Vậy a chia hết cho 4 ⟹ abc chia hết cho 4
Xét a và b cùng chẵn ⟹ abc chia hết cho 4
Vậy abc chia hết cho 4
Trường hợp 3: abc chia hết cho 5
Xét ă, b đều không chia hết chọ 5, tướng tự như các trường hợp 1, 2 ta tính được a b2, 2 chiă 5 dư 1 họặc 4
a2 chiă 5 dư 1, b2 chiă 5 dư 1 ⟹ c2 a2 b2 chiă 5 dư 2 (vô lí)
a2 chiă 5 dư 4, b2 chiă 5 dư 4 ⟹ c2 a2 b2 chiă 5 dư 3 (vô lí)
a2 chiă 5 dư 1, b2 chiă 5 dư 4 ⟹ c2 a2 b2 chiă 5 dư 0 ⟹ c 5
a2 chiă 5 dư 4, b2 chiă 5 dư 1 ⟹ c2 a2 b2 chiă 5 dư 0 ⟹ c 5
Suy ra có ít nhất một trong ba số a, b, c chia hết cho 5 Vậy abc chia hết cho 5
Vì (3, 4, 5) = 1 nên từ 3 trường hợp trên ta có abc chia hết cho 3.4.5, tức là abc chia hết cho 60
Trang 17Nhận xét :
1 Bài này khá rườm rà vì phải xét nhiều trường hợp, tuy nhiên đây không phải là một bài mới, đã xuất hiện trên nhiều diễn đàn Kỹ thuật chứng minh chia hết ở đây cũng khá quền thuộc
2 Một số bài tập rèn luyện :
2.1 Chứng minh 4 2
n n chia hết cho 384 n lẻ, n
2.2 Chứng minh nếu a b c 6 thì 3 3 3
6
a b c
4 Tài liệu tham khảo
[1] Nâng cao và phát triển toán 9, tập 2 – Vũ Hữu Bình
[2] diendantoanhoc.net
[3] Phướng pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị dành cho học sinh lớp 8,
9 – Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Văn Dũng