Bài 3 4 điểm Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy.. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi
Trang 1§Ò thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2009-2010
M«n: to¸n Líp 7 Thêi gian: 120 phót
ĐỀ BÀI
Bài 1(4 điểm)
a/ Tính:
A=
4 11 13 2 3 4
7 11 13 4 6 8
b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
z
z y x y
y x z
x
x
z
Hãy tính giá trị biểu thức:
B = 1 x 1 y 1 z
Bài 2 (4điểm)
a/ Tìm x,y,z biết: 1 2 2
0
x y x xz
b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3n 2 2n 2 3n 2n
chia hết cho 10
Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người
đánh máy Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4
phút, người thứ 3 cần 6 phút Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang
bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia
MA lấy điểm E sao cho ME=MA Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK Chứng
minh: I, M, K thẳng hàng
c/ Từ E kẻ EHBC (H BC) Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250,
tính các góc HEM và BME ?
Bài 5(2điểm): Tìm x, y N biết: 2 2
36 y 8 x 2010
Híng dÉn chÊm
Trang 24 ®iÓm
a
8
5 6
5 4
1 3
1 2 1
13
5 11
5 7
3 11
3 4 3
+
4
1 3
1 2
1 2 5
4
1 3
1 2 1
13
1 11
1 7
1 5
13
1 11
1 4
1 3
=
13 11 7
129
511 13 4
135 3
x x
x x x
x
+ 5 2
=
129 5
13 11 7 13 11 4
135 3
x
x x x x x
x
+ 5
2
=
5
2 172
189
=
5 172
2 172 5 189
x
x
x
= 860 1289
2
b
Ta có: y z x x z x y y x y z z y z 1 z x 1 x y 1
2
2
x y z
y z z x x y
B
y z x x y y z z x .
y z x
x y z x y z 2.2.2 8
z y x
Vậy B=8
0,5 0,5 0,5 0,5
2
4 điểm
a
1 2 2
0
x y x xz
Áp dụng tính chất A 0
2
0 0
x x z
x xz
1 2 2 3 1 2
x y
z x
Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25
1,5
0,25
b Ta có: 2 2
3n 2n 3n 2n
(3n 3 ) (2n n 2 )n
3 3n 2 1 2 2n 2 1
3 10 2 5n n = 10.(3n – 2n-1)
Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh
0,75 0,5 0,5 0,25
3
4điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6
Do đó ta có: : : 1 1 1: : 12 :15 :10
5 4 6
x y z Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555 15
12 15 10 12 15 10 37
x y z x y z
180; 225; 150
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150
0,5 1,0 0,75
0,75 0,75 0,25
Trang 36 điểm
a
b
c
(2điểm) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
góc AMC bằng góc EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c )
AC = EB
Vì AMC = EMB
=> Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng
AE ) Suy ra AC // BE
(2 điểm)
Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
MAI = MEK ( vì AMCEMB )
AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c )
Suy ra AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng
(1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= 90 o - HBE = 90o - 50 o =40 o
(1.0đ)
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25 o = 15 o
BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90 o = 105 o ( định lý góc ngoài của tam giác )
0,75 0,25 0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
36 y 8 x 2010 2 2
8 2010 36
y x
8 2010 36 ( 2010)
8
Vì 0 ( x 2010) 2 và x N , x 20102là số chính phương nên
0,25 0,25 0,5
K
H
E
M B
A
C I
Trang 42 điểm
2 (x 2010) 4
hoặc (x 2010) 2 1 hoặc (x 2010) 2 0
( 2010) 4 2010 2
2008
x
x
4
2( )
y y
y loai
+ Với (x 2010) 2 1 y2 36 8 28 (loại) + Với (x 2010) 2 0 x 2010 và 2 6
36
6 ( )
y y
y loai
Vậy ( , ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6).x y
0,25 0,25 0,25 0,25
Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa