NÕu chóng cã diÖn tÝch b»ng nhau th× h×nh nµo cã chu vi lín h¬n... vuông, ha là độ dài đờng cao tơng ứng với cạnh a của tam giác.[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi vòng trờng
năm học 2012 -2013
môn thi : toán 9
(Thời gian 120 phútkhông kể thời gian giao đề )
Đề bài Câu 1:(2.5 điểm )
Cho biểu thức:
P
a)Rút gọn P c) Tính P biết x= 4 2 3 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2 (2.5 điểm)
a)Giải phơng trình: x 1 4 x 1
b) Giải phơng trình 2x 7 2x 7 x2 9x 7
Câu 3: (4 điểm )
1 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi I là giao điểm của ba
đờng phân giác trong tam giác ABC Đờng vuông góc với CI tại I cắt AC, CB theo thứ tự ở M, N Chứng minh rằng:
a) Góc CIA tù b) AM.BN = IM2 = IN2 ;
c)
1
IA IB IC
bc ca ab
2 Xét một hình vuông và một hình tam giác Nếu chúng có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn.
Câu 4 ( 1điểm )
Cho a, c, b dơng Tìm Max Q
Q =
a (a b)(a c) b (b a)(b c) c (c a)(c b)
Đáp án đề thi học sinh giỏi vòng trờng
Câu 1.
Ta có:
P
=
1
x x
0,5
Phòng GD & ĐT Lâm Thao
Trờng THCS Lâm Thao
Trang 2M
c
b
a
I
C B
A
2.5
b) thay x= 4 + 2 3 thì p = 4 3 0.5 c) Ta có:
2
P x x x
(Vì
2 1
2
x
với x R)
0,5
3 min
4
P
đạt đợc khi
1 4
Câu 2
2.5
điểm a) Điều kiện : 1 x 4
2
x 1 4 x 2 4 x 1
x 0 loai
x 3
0.25
0.25
0.5
b)2x 7 2x 7 x2 9x 7
2
2
Đặt a = x- 2x 7
Ta có a2 +7a +14 = 0 phơng trình vô nghiệm
0.5
0.5 0.5
Câu 3.
(3điểm)
1
Ta có:
AMI BNI AMI BNI
Ta lại có:
0,5
Từ (1) và (2) suy ra: AMI BNI = AIB (3) 0,25
Từ (3) và giả thiết suy ra: AIB AMI BNI
AM IN AM BN. IM IN.
Mà tam giác CMN cân tại C suy ra: IM=IN (4) (vì CI là đờng
0,5
Trang 3cao đồng thời là trung tuyến)
Từ (3) và (4) suy ra: AM BN IM2 IN2 0,25
Ta có: AIB AMI
2
.
AI AB AM
Hay
2
AI b AM
bc c
(5)
0,25
Tơng tự: AIB BNI
2
IB a CN
ca a
(6)
0,25
Trong tan giác vuông MIC (I 900) IC2 CM2 MI2 0,25
Mà AM BN IM2(c/m câu a)
IC CA AM AM BN
CA AM CA AM b AM a BN AM BN
0,25
(Vì CM = CN c/m trên)
IC ab a AM b BN
2 1
(7)
0,25
Cộng hai vế của (5); (6) và (7) ta đợc:
1
IA IB IC
bc ca ab
0,25
Câu 3
1 điểm
2 Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, x là cạnh hình
vuông, h a là độ dài đờng cao tơng ứng với cạnh a của tam giác.
Có b + c > 2h a a b c a 2h a 2 a h.2 a 2 4S 4 x2 4x
Vậy chu vi của tam giác lớn hơn
1
Câu 4
1điẻm (a+b)(a+c) = a
2 + ac+ ab + bc
2
Tơng tự : Max Q = 1 dấu bằng xảy ra khi a2= bc, b2 = ac, c2 = bc
suy ra a2 +b2 + c2 = ab + ac + bc suy ra a= b= c
1