De thi chon HSG toan 8 91

[r]

đề MễN THI: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 120 phỳt (khụng tớnh thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình :x2-+2y2=2(xy+2y-2)

b) Cho a + b = 1

Tớnh giỏ trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b) 2009x1 2008x 2 2007x 32006x 4

Bài 3: (3,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F

a) Chứng minh DE + DF = 2AM

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF

Bài 4: (2,0 điểm)

a) Cho a;b;c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC sao cho a3 +b 3 +c3 =3abc

Chứng minh rằng tam giác ABC đều b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+1

là số chính phơng

Kì thi chọn HSNK cấp TRƯờNG

NĂM HỌC 2009-2010

MễN THI: TOÁN LỚP 8

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

1

a) x2-+2y2=2(xy+2y-2) (x-y)2+(y-2)2=0































2 0)2 (

0)

(

2

2

y

yx y

yx

Vëy (x;y)=(2;2)

b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) =

2 (a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = 2 (a2 + b2) – 2ab – 3(a2 + b2 )

= - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1

1,0

1,0

2 b) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x

y2 + 4y -12 = 0  y2 + 6y – 2y -12 = 0

 (y + 6)(y -2) = 0  y = - 6; y = 2

* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x +6 > 0 với mọi x

* x2 + x = 2  x2 + x -2 = 0  x2 +2x –x -2 = 0

 x(x + 2) – (x + 2) = 0  (x + 2)(x – 1) = 0  x = -2; x = 1

Vậy nghiệm của phương trình x = -2 ; x =1

b) 2009x12008x 2 2007x 32006x 4

2006

4 ( ) 1 2007

3 ( ) 1 200

2 ( ) 1 2009

1



2006

2010 2007

2010 2008

2010 2009











2006

1 2007

1 2008

1 2009

1 )(

2010

Vì 20091 20071 ; 20081 20061 ;

2006

1 2007

1 2008

1 2009

1









Vậy x – 2009 = 0  x = 2010

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3 a Lý luận được : DF DC

AM MC ( Do AM//DF) (1)

DE BD

AM BM ( Do AM // DE) (2)

Từ (1) và (2)  DE DF BD DC BC 2

   ( MB = MC)  DE + DF = 2 AM

b AMDN là hỡnh bành hành

Ta cú NE AE

ND AB

NF FA DM DM AE

ND AC MC BM AB  NE NF

ND ND => NE = NF

N

E

A

B F

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5

4 a) a3 +b 3 +c3 =3abc  a3 +b 3 +c3 -3abc=0  (a+b)3+c3-3abc=0

 (a+b+c)[(a+b)2 -(a+b)c+c2]-3abc=0

 (a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)=0 a2 +b2+c2-ab-bc-ca=0

 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 a=b=c nên tam giác ABC đều

b) M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+1 =(a2+5a+4)( a2+5a+6)+1

đặt a2+5a+5=x (x  Z)ta có (x-1)(x+1)+1= x2 là số chính phơng

0,5

0,5 0,5 0,5