de thi chon hsg lop 12 nam 2012

Dựng các đường thẳng Bx, Cy vuông góc với P a Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy biết BC=2a b L là điểm di động trên Bx, L phải ở vị trí nào để trên Cy[r]

Trang 1

SỞ GD-ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2007-2008

Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút

Bài 1 (5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x2+(m2-m)x-m3+1=0 có một nghiệm nguyên

b) Giải bất phương trình: log ( 2 1) 2 x 3 1 log ( 2 1) 2 x 3 2

Bài 2 (5 điểm)

a) Giải phương trình: 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0

b) Cho các số thực x1, x2,…,xn thỏa mãn: sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn=a, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước,

0

2

n n

 

Xác định các giá trị của x1,

x2,…,xn sao cho tổng sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n

Bài 3 ( 4điểm)

a) Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn: abc=1 Chứng minh:

6 2 2 6 2 2 6 2 2

a b c b c a c a b 

b) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

2

B

A B

B



Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân

Bài 4 ( 2điểm)

Cho tam giác ABC trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm

A’,B’,C’ sao cho AA’, BB’, CC” đồng qui tại điểm M Gọi S1,S2,S3 lần lượt là các diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt

MA  MB  MC 

Chứng minh (y+z-1)S1+(x+z-1)S2+(x+y-1)S3=0

Bài 5

Cho dãy {un}, n là số nguyên dương xác định như sau:

1

2 1

1

0

n n

u

u u

















Tính un và chứng minh rằng: u1+u2+…+un

1

n

Bài 6 (2 điểm)

Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có 3 nghiệm x1,x2, x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a, b

Trang 2

SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2009-2000

Bài 1 (2,5 điểm)

Cho phương trình: 5 x2 34x a  4 (x1)(x 33) 1

a) Giải phương trình khi a=64

b) Tìm a để phương trình có nghiệm

Cho 2 số a1, b1 với o<b1= a1 <1 Lập 2 dãy số (an), (bn) với n=1,2,… theo

1

2

a   a b b  a b

Tính liman và limbn

Trong khôn gian cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và 3 điểm A, B, C (khác điểm O) lần lượt trên Ox, Oy, Oz

Dãy số (an) là 1 cấp số cộng có a1>0 và công sai d>0 Với mỗi số n nguyên dương trên các tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các điểm An, Bn, Cn sao cho

OA=anOAn,OB=an+1OBn, OC=an+2OCn Chứng minh mặt phẳng (AnBnCn) luôn luôn

đi qua một đường thẳng cố định

Tập hợp M gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng sao cho với mọi điểm X thuộc

M tồn tại đúng 4 điểm thuộc M có khoảng cách đến X bằng 1 Hỏi tập hợp M có thể chứa ít nhất bao nhiêu phần tử

Trang 3

Năm học 2009-2000

Bài 1 (5 điểm)

Cho phương trình: cos3x+asinx.cosx+sin3x=0

a) Giải phương trình khi a= 2

b) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm

Bài 2 (5 điểm)

Giả sử phương trình x3 + x2 +ax+b=0 có 3 nghiệm phân biệt Hãy xét dấu của biểu thức a2 – 3b

Bài 3 (5 điểm)

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 1 a x x1

với a>0

Bài 4 (5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b, SA=SB=SC=SD=c K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC

a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD Chứng minh các đường thẳng BM, MN vuông góc với nhau

Trang 4

Năm học 2009-2010

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho hàm số f:0;1 0;1 liên tục trên đoạn 0;1 , có đạo hàm trong khoảng (0;1) và f(0)=0, f(1)=1

a) Chứng minh tồn tại số c thuộc (0;1) sao cho f(c)=1-c

b) Chứng minh rằng tồn tại hai số a, b phân biệt thuộc (0;1) sao cho f’(a).f’(b)=1 Câu 2 (2,5 điểm)

Cho 2 cặp số thực (x;y) thỏa mãn điều kiện x-2y+4=0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2y2 6x12y45 x2y210x16y89 Bài 3 (3 điểm)

Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:

3 )

2

a MA MB MC      MB MC  

b MA MB    MB MC  

Bài 4 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng tan 8 2 1



b) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

2

2 1

n n

n

u

u u

u









Trang 5

Năm học 2008-2009

Bài 1 (8 điểm)

a) Giải phương trình x4. x 4 x x 4 6

b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm:

2 2

2

x y







Bài 2 ( 6 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2), B(0;1); C(-2;1)

a Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC

b Giả sử M là điểm chuyển động trên (T) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định Viết phương trình đường tròn đó Bài 3 (2 điểm)

Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến

thuộc các cạnh BC=a, CA=b,AB=c có

3 2

c

m  c

Chứng minh rằng

3

2

m m m  a b c 

Bài 4 (4 điểm)

Cho hai số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: 2 2

4

x y xy



Trang 6

SỞ GD-ĐT SÓC TRĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2008-2009

Bài 1 (2 điểm)

Cho a và b là hai số thực thỏa mãn điều kiện a b , 1 và a+b=1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 6

Bài 2 (4 điểm)

Giải hệ phương trình

65 20

x y y x







Bài 3 (2 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn: f(2-x)+x.f(x)=x (x R \ 1  )

Bài 4 (4 điểm)

Giải phương trình tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6

Bài 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC có số đo các góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số nhân

với công bội q=2 Chứng minh rằng:

sinAsinBsinC

Bài 6 (4 điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng với tâm O của đáy Từ trung điểm I của đường cao SO hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên (SBC), hai đoạn vuông góc này

có độ dài lần lượt là a và b Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và b

Trang 7

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2008-2009

Câu 1

Giải phương trình 1  1  x2  1  x3  1 x3   2 1  x2

Câu 2

Giải hệ phương trình

6 8 10

2003 2005 2007

1 1







Câu 3

a) Chứng minh rằng: x4 +px+q0 x  256q327p4 (*)

b) Chứng minh rằng nếu p, q là nghiệm đúng (*) thì qx4+px3+1 0 x 

Câu 4

Cho hàm số f x( )2x2 x m Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn 1;1

Câu 5

Hai cạnh đối của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1 Với giá trị nào của x để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất

Trang 8

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2008-2009

Bài 1

1 Chứng minh rằng  x 0 và n là số nguyên dương ta có:

2

n

2 Chứng minh rằng với 0,x<1 và n nguyên dương

1 1

2

n

ne

Bài 2

Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có 3 nghiệm:

2

1 3

3

4 x a log (x  2x 3) 2  x  x.log (2 x a  2) 0 

Bài 3

Đường chéo của hình hộp chữ nhật, tạo với 3 kích thước a,b,c các góc α,β,γ Gọi V

là thể tích của hình hộp Chứng minh rằng

2

12 12 12 2178

V

c  c  c  

Bài 4

Người ta sơn bề ngoài của một khối lập phương thành màu trắng và cưa thành 64 khối lập phương nhỏ Sau đó từ các khối lập phương nhỏ, người ta lại xếp

để tạo lại khối lập phương cũ, nhưng lúc ấy các khối lập phương nhỏ có thể thay đổi vị trí và quay đi Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các khối lập phương nhỏ để khối lập phương lớn có bề ngoài được sơn màu trắng

Trang 9

Năm học 2008-2009

Bài 1

Cho phương trình cos3x+asinxcosx+sin3x=0

a Giải phương trình khi a= 2

b Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm

Bài 2

Giả sử phương trình x3+x2+ax+b=0 có 3 nghiệm phân biệt Hãy xét dấu của biểu thức a2 – 3b

Bài 3

Cho hàm số

( )

0 khi x=0









a Tìm đạo hàm cảu hàm số và chứng minh hàm số đạt cự tiểu tại x=0

b Tìm số a nhỏ nhất để:

x

Bài 4

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b,

SA=SB=SC=SD=c, K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC

a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD Chứng minh các đường thẳng

BM và MN vuông góc với nhau

Trang 10

SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ

TRƯỜNG THPT HÓA CHÂU

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2008-2009

Câu 1 (1,5 điểm)

Tính

2

0

lim

1 cos

x

x x





Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x-mcosx)=msin2x (1)

Tìm m để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn

2 0;

3



Cho bất phương trình: 1 log (  5 x2 1) log (  5 mx2 4x m ) (1)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x

Câu 4 (2 điểm)

Từ tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành 1 hình chữ nhật không có nắp Cạnh của hình vuông căt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có thể tích lớn nhất

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số được đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư?

a) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? b) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng 1 trong 4 giải?

Câu 6 (2 điểm)

Tìm các đính B, C của tam giác ABC biết rằng tam giác ABC có A(-3;1), trực tâm H(

3

;1

2 ) và trọng tâm G(1;1)

Trang 11

TRƯỜNG THPT TAM GIANG

Năm học 2008-2009

a) Giải phương trình: 3(x22x2) 10 x32x22x1

b) Chứng minh log 9 log 10 log 11 2log 3 8  8  8  2

a) Với A, B, C là ba góc của một tam giác chứng minh rằng phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

2 2

b) Giải phương trình: x.3x21(x2 1).3x 1 x x 2 0

Bài 3 (3 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường cong (H):

x y x





 với x>1 a) M là điểm tùy ý trên (H), tiếp tuyến của (H) tại M cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại 2 điểm A và B Xác định vị trí của M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất b) Với I(1;1) và K là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng y=x Tìm điểm cố định C sao cho: 2IK CM luôn là số dương không đổi khi M thay đổi trên (H)

Trang 12

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ

Năm học 2008-2009

Bài 1

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (3 2 2x ( 2 1)x 3

Chứng minh rằng khi đó x0 cũng là nghiệm của phương trình  2 1 2cos

9

Bài 2

Giải phương trình: 4.16sin2x 26sinx, 0 x 2  

Bài 3

Cho a,b,c>0 chứng minh: 8(a3b3c3)a b 3b c 3c a 3

Bài 4

Trong mặt phẳng cho 2 tia Ox và Oy và 1 điểm M nằm giữa 2 tia đó Hãy xác định điểm A trên Ox sao cho MA kéo dài cắt Oy tại B thì tích MA.MB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5

Cho hàm số y=f(x) liên tục và thỏa mãn điều kiện: f(2x2-1)=2x.f(x),  x R

Chứng minh rằng f(x)=0   x  1;1

Trang 13

Năm học 2008-2009

Câu 1 (3 điểm)

1 Cho ABC là tam giác có 3 góc nhọn Chứng minh rằng:

1

2 Tìm nghiệm của phương trình: cosx  sinx  cos2 1 sin 2x  x 0thỏa mãn điều kiện 2007<x<2008

Câu 2 (2 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y2-x2-8y2=2xy (1)

Câu 3 ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD Chứng minh AM vuông góc với BD Câu 4 (3 điểm)

Cho dãy số {un}; n=1,2,3, được xác định như sau:

1

u









1 2

n

S

u







Tính lim Sn

Câu 5 (3 điểm)

1 Chứng minh bốn đường tròn có đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín tứ giác đã cho

2 Chứng minh:  0  2 1  2 2 2 2 1 2 12

Câu 6 (3 điểm)

1 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn 8 Giả sử P(9)=32078 Hãy xác định đa thức P(x)

2 Cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện abc=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

T

a b a c b c b a c a c b

Câu 7 (3 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bwangf

3

2 Biết A(2;3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d:3x-y-8=0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Trang 14

TRƯỜNG THPT VINH LỘC

Năm học 2008-2009

Câu 1 (3 điểm)

Giải phương trình: cos13x+sin14x=1

Câu 2 (3 điểm)

Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn: 8sin2x8cos2x 10 cos 2 y

Câu 3 (3 điểm)

Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có f=cos2A+cos2B-cos2C lớn nhất

Câu 4 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:







Câu 5 (3 điểm)

Chứng minh

1 2 2 3 3

! n 3,n N

n

n n

Câu 6 (4 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có A=900, C=600 Dựng các đường thẳng

Bx, Cy vuông góc với (P)

a) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy biết BC=2a

b) L là điểm di động trên Bx, L phải ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm được N sao cho tam giác BLN vuông tại N?

c) Trong các vị trí của L ở câu b, hãy xác định vị trí sao cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	121,4 KB