Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc AMC .. Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.[r]
Trang 1UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH
-Ký hiệu mã đề:…….
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau
a A = 3x x2 4x4
b B = 35352
c C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình
a x x 2 x x 0
2 5 36 8 3 4
Bài 3: (2.0 điểm)
a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a +
b)c = ab
Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b Cho x y ; 0 và x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2
20 11
P
x y xy
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC AM cắt HN tại G Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K Chứng minh rằng:
a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC cos2BAC
b BH.KM = BA.KN
c.
Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía
của AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc
AMC Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất
Trang 3-Hết -Người ra đề
(ký, ghi rõ họ tên)
Phạm Thị Kiều Hương
Người thẩm định
(ký, ghi rõ họ tên)
BGH nhà trường
(ký tên, đóng dấu)
Trang 4UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH
-Ký hiệu mã HDC:…….
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013
1.
2.5
a
0.75
x neu x
x neu x
0.25x3
b
0.75
2 6 2 5 6 2 5 2 ( 5 1) ( 5 1) 2
= | 5 1| | 5 1| 2 = 5 1 5 1 2 = 0 Suy ra A = 0
0.5 0.25
b.
1.0
(1 )(1 sin ) (1 )(1 cos )
=
(1 )(cos ) (1 )(sin )
=
sin cos cos sin
=
cos sin
=2
0.2x5
2.
2.0
2a.
1.0
ĐK: x 0
0 ( 2)( 1) 0
4
x
x
; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.25x4
2b.
1.0 ĐKXĐ:
4 3
x
2 (x 8x 16) (3 x 4 2 3x 4.4 16) 0 (x 4)2 ( 3x 4 4)2 0
4 0
x
và 3x 4 4 0 x 4( )tm
0.25
0.25 0.25 0.25
3.
2.0 3a. 1.0 (a b c ab )
2 (a c b c )( )c
Gọi UCLN của a-c và b-c là d c d2 2 c d a d b d ;
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
Chấm điểm tối đa nếu: HS lập luận a + b không tồn tại từ việc
phân tích đẳng thức: (a + b)c = a.b vì a,b,c đôi một nguyên tố cùng
0,25
0.25 0.5
Trang 5nhau
3b.
1.0
2 2
20 10 1
P
x y xy xy
Ta có
20
x y xy x y xy x y
Mà x y 2
Nên
2 2
20 20
20 2
x y xy
Dấu bằng khi x = y =1
Mặt khác :
( ) 2
1
x y
Nên
1 1
xy
Dấu bằng xảy ra khi
x = y =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1
0,25
0,25
0.25 0.25
4.
2.5
K G
N
M
H
D
A
B
C
0.25
4a
1.0
AEB
vuông tại E nên
cosBAE AE
AB
;
ACF
vuông tại F nên
cosCAF AF
AC
Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên
2 2
2 cos
AEF ABC
BAC
S AB S AEF S ABC.cos2BAC
0.25 0.25
0.25 0.25
4b.
0.75
ABH
và MNKcó BAH NMK ; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra AHB đồng dạng với MNK( g.g);
0.5 0.25
Trang 6A a M b B
C
(
BA BH
BA KN BH KM
KM KN
4c.
0.75
AHB
đồng dạng với MNKnên 2
AB AH
MK MN ( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có: 2
AG
MG ; 2
HG
NG ( G là trọng tâm của tam giácAHC) 2
AB AG
MK MG
Mặt khác BAG GMK ( so le trong)
ABG
đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c)
2
GB GA GH
GK GM GN
0.25
0.25
5
1.0
Ta có : SMCD =
1
2MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC BDM
;
MC =
a cos , MD =
b sin ; SMCD =
1 2
ab cos sin
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất 2sin.cos lớn nhất Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta có :
2sin.cos sin2 +cos2 = 1 nên SMCD ≥ ab
SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450
AMC và BMD vuông cân
Vậy min SMCD = ab Khi = 450 ; C,D được xác định trên tia
Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM
0.5
0.5
Trang 7Người ra đề
(ký, ghi rõ họ tên)
Phạm Thị Kiều Hương
Người thẩm định
(ký, ghi rõ họ tên)
BGH nhà trường
(ký tên, đóng dấu)