Download Đề thi HSG toán 12 hay

Tính chi u cao hình chóp.[r]

ONTHIONLINE.NET thi hsg môn toán 12

đề

(th i gian :180 phút) ờ

Câu 1 (2.0 ) đ Tính t ng sau Sổ n = 1

2tg

x

2+

1

22tg

x

22+ .+

1

2ntg

x

2n

Câu 2 (2.0 ) đ Tính tích phân sau

∫

0

π

2 sin xcox

√a2cos2x +b2sin2xdx

(V i aớ 0 ;b ≠ 0¿

Câu 3 (2.0 ) Cho h phđ ệ ương trình

¿

x+my=m

x2+y2=x

¿ {

¿

1/ Bi n lu n s nghi m c a h phệ ậ ố ệ ủ ệ ương trình theo m

2/ Khi h có hai nghi m (xệ ệ 1;y1);(x2;y2) tìm m để S = (x2-x1) 2+(y2-y1)2đạt giá tr ị

l n nh tớ ấ

Câu 4 (2.0 ) Gi i phđ ả ương trình 1+3 x +8√2 x2+1

3(√2 x2

Câu 5 (2.0 ) đ Tìm t t c các giá tr c a tham s m ấ ả ị ủ ố để ấ b t phương trình sau ây cóđ nghi mệ

2 sin 2

x

+ 3 cos 2

x m3sin 2

x

Câu 6 (2.0 ) Tìm gi i h n sau đ ớ ạ L=Lim

x → π

2

1 −sin m+n+ p x

3

√(1 −sinm x)(1− sin n x )(1− sin p x)

(v i m ,n ,p l ba s nguyên dớ à ố ương cho trước )

Câu7 (2.0 ) Gi i v bi n lu n theo tham s m h b t phđ ả à ệ ậ ố ệ ấ ương trình sau

¿

log

cos π

4

1 −5 cos43 x

1+sin x

¿ {

¿

Câu 8 ( 2.0 ) Cho t di n OABC có OA ,OB ,OC ôi m t vuông góc v i nhau đ ứ ệ đ ộ ớ

V ẽ đường cao OH c a t di n ủ ứ ệ

t

Đặ

A =∠CAB; B =∠ABC ;C =∠BCA

α =∠AOH ; β =∠ BOH; γ =∠COH

Ch ng minh r ng ứ ằ sin2α

sin 2 A=

sin 2β sin 2 B=

sin 2γ sin 2 C

Câu 9 (4.0 ) đ Cho hình chóp tam giác SABC Bi t r ng t n t i hình c u tâm O, ế ằ ồ ạ ầ bán kính R ( O n m trên ằ đường cao hình chóp) ti p xúc v i c 6 c nh hình chóp.ế ớ ả ạ 1/ Ch ng minh r ng SABC l hình chóp ứ ằ à đều

2/ Cho SC =R √3 Tính chi u cao hình chóp.ề

đáp án

(đề thi hsg môn toán 12)

Câu 1 Ap d ng : ụ ln|cos x

2n|¿❑=−1

2tg

x

2n

(ln u)❑= u

u❑ co ¿

Do ó n u đ ế đặt ln|P n|

¿❑

P n=cos x

2 cos

x

22 cos

x

2n ⇒ S n=− ¿

có

P n= 1

sin x

2n

sin x

2ncos

x

2n cos

x

2n− 1 cos

x

2= =

1 sin x

2n

.1

2n sin x

do ó đ S n=−

2n

. 1

2n sin x|)❑=−cot gx +1

2n cot g

x

2n

Câu 2

Đặt I l tích phân ã cho.Xét 2 trà đ ường h p sau:ợ

: TH1: |a| = |b|⇒ I= 1

|a| ∫

0

π

2

sin xd (sin x)= 1

2 |a|

TH2: |a|≠|b|

V i ớ

t=a2cos2x+b2sin2x ⇒dt=[−2 a2cos x sin x +2 b2sin x cos x]dx=2(b2−a2)sin x cos xdx

2(b2− a2)∫

a2

b2

dt

√t=

1

b2− a2√t❑a2

b2

|b| + |a|

Kl : I= 1

|a| + |b|

Câu 3

H pt ệ

⇔

x +m y −m=0 (1)

¿

x −1

2¿

2 +y2

4(2)

¿

¿

Nh n xét ậ : (1) l pt dà ường th ng Dẳ m: x+(y-1).m =0 i qua i m c đ đ ể ố định A(0;1) (2) l pt à đường tròn ( C) có tâm I(1/2;0), bán kính R=1/2

do ó s nghi m c a pt chính l s giao i m c a Dđ ố ệ ủ à ố đ ể ủ mv (C)à

Ti p tuy n c a (C) xu t phát t A chính l OA, (x=0) v dế ế ủ ấ ừ à à ường th ng ABẳ

t

Đặ ∠OAI=α ⇒ OB _=OA _ tg 2α=OA _ . 2 tgα

1− tg2α

❑ = 4

3(do tg α=1)

M t khác ,ặ OB _

l ho nh à à độ giao i m c a Dđ ể ủ m v Ox nên à OB _

=m

Bi n lu n ệ ậ

./ m=0 ho c m=4/3 ,hpt có nghi m duy nh t.ặ ệ ấ

./ o<m<4/3 ,hpt có hai nghi m phân bi t ệ ệ

./ m<0 ho c m>4/3, hpt vô nghi m ặ ệ

2/ S =M1M2 do ó di n tích S đ ệ đạt giá tr l n nh t khi v ch khi Mị ớ ấ à ỉ 1M2 i qua Iđ

⇔OB _=OI = 1

2

Câu 4

t

Đặ t=√2 x2

+1≥ 1 thay v o pt à được t =x/3 ho c t= 1-3xặ

Gi i ra ả được x=0

KL : Pt có nghi m x = 0ệ

Câu 5

2sin2x+ 3cos2x m 3sin2x ⇔(23)sin

2

x

+ 3cos2x − sin2x m(1)

Xét h m s à ố f(x)=(23)sin

2

x

+3 cos 2

x− sin2

x ,( x ∈ R)

Vì

sin 2x ≥ 0 ∀ x ⇒(23)sin

2x

≤1

cos2x − sin2x=cos 2 x ≤1 ⇒3cos 2

x− sin2

x

≤ 3

do ó đ f(x)≤ 4 ∀ x∈ R D u ấ đẳng th c x y ra khi v ch khi x = kứ ả à ỉ π (k ∈ Z)

K t lu n : ế ậ Bpt có nghi m v i mệ ớ 4

Câu 6

t y= sin x ( khi

¿

L=Lim

y →1

1 − y m +n+ p

3

√(1− y m) (1− y n) (1− y p)

❑

=Lim

y→ 1

(1 − y )(1+ y + y2+ + y m +n+ p − 1)

(1 − y )( √3(1+ y + + ym −1

)(1+ y+ + y n −1) (1+ y + + y p −1))

❑

¿

¿ Lim

y→ 1

(1+ y + y2

+ + y m +n+ p − 1)

( √3(1+ y + + ym− 1)(1+ y + + y n −1) (1+ y + + y p − 1))

❑

m+n+ p

3

√m n p

Câu 7

i u ki n

Đ ề ệ :

¿

1− 5 cos43 x≻0

sin 2 x ≠ 0

(1)

¿ {

¿

Bpt đầu c a h tủ ệ ương đương v i :ớ Log√2

2 (1− 5 cos2 43 x)≤Log√2

2(√22)2⇔

(1−5 cos2 43 x)≥1

2⇔cos43 x ≤ 0 ⇔cos 3 x=0⇔ x= π

6+k

π

3(k ∈ Z )

Do /k (1) ch c n xétđ ỉ ầ

6+k 2 π

¿

x= 5 π

6 +k 2 π

¿

¿

¿

¿

Xét b t pt th hai c a h , ấ ứ ủ ệ đặt f(x)=1+sin x

sin 2 x do f(x) có chu kỳ 2 π nên ta ch c n tínhỉ ầ

f

(π2)=√3 ; f(− π6 )=−

√3

3 ; f(5 π6)=−√3 ;f(−5 π6 )=

√3 3

Kl :

./ −√3 ≤ m ≺−√33⇒ x= 5 π

6 +k 2 π

./ −√3

3 ≤ m≺√33⇒ x= 5 π

6 +k 2 π ; x=−

π

6+k 2 π ./√3

3 ≤ m≺√3⇒ x =− π

6+k 2 π ; x=±

5 π

6 +k 2 π

6+k 2 π ; x=±

5 π

6 +k 2 π

Câu 8

D th y H l tr c tâm ễ ấ à ự Δ ABC v à Δ ABC l tam giác nh n,AH kéo d i c t à ọ à ắ

BC t i Aạ 1,do ó AAđ 1 BC Vì OA (OBC) nên theo /l ba đ đường vuông góc ,có

OA1 BC Ta có sin 2α=AH2

OA2 (1 )

Xét tam giác vuông OAA1 đỉnh O, có OA2= AH AA1, t (1) có ừ sin2α=AH

AA1

V ẽ đường tròn ngo i ti p tam giác ABC ,g i I l tâm c a nó ,g i G l tr ng tâm tam giác ạ ế ọ à ủ ọ à ọ ABC, khi ó H, G, I th ng h ng (đ ẳ à đường th ng ẳ Ơle) v HG =2 IG suy ra AH = 2 IM v Â=à à

IM

BC

2 IB.

AH

2 IB=

BC AH

( v i R l bán kính ớ à đường tròn ngọà ếi ti p tam giác ABC)

T (1) v (2) ta có :ừ à sin2α

sin 2 A=

2 R2

BC AA 1 =

R2

S Δ ABC

C/m tương t c ng có ự ũ sin2β

sin 2 B=

sin2γ sin 2C=

R2

S Δ ABC

T ó suy ra i u ph i ch ng minh.ừ đ đ ề ả ứ

Câu 9

G i M,N, P l các ti p i m c a hình c u v i các c nh AB, BC , CA.G i SH l ọ à ế đ ể ủ ầ ớ ạ ọ à

ng cao hình chóp ,O l tâm hình c u ã cho, khi ó O thu c SH.Theo nh lý ba

ng vuông góc , có HM

đườ AB(vì OM AB,do hình c u ti p xúc AB t i M) Tầ ế ạ ương t ự

HN BC, HP AC Vì OM =ON =OP =R nên HM =HN =HP do ó H l tâm đ à đường tròn

n i ti p tam giác ABC.ộ ế

G i K, E l ti p i m hình c u V i SA v SC Ta có SK SE (hai ti p tuy n cùng xu t ọ à ế đ ể à ớ à ế ế ấ phát t m t i m),do ó ừ ộ đ ể đ Δ KSO= Δ SOE ⇒∠KSO =∠OSE⇒ ΔSAH=ΔSCH ⇒SA=SC

L p lu n tậ ậ ương t ự được SA=SB hay SA=SB=SC do ó H l tâm đ à đường tròn ngo i ti p ạ ế tam giác ABC ,suy ra tam giác ABC đều,v y hình chóp SABC ậ đều

2/

Đặt ∠ASH=α ⇒ sin α=OK

R

R√3=

√3

AH

t SH=h ;HN=x do ó AH =x

Xét tam giác vuông SAH, có : SA2=SH2+ AH2 nên h2= 8 x2 t ó ừ đ

R2= h2 –2.h R √3+3 R2+x2( 1)

Thay h2 =8.x2 v o (1) à được : 9.h2 –16 √3 h R+16 R2=0 (2)

T (2)ừ ⇒h=4√3 R

3 ho c ặ h=4√3 R

9 (lo i, vì h=SH >SOạ ¿R √3 ≻4√93 R )

V y SH=ậ 4√3 R

3

H ướ ng d n ch m môn toán 12 ẫ ấ

Câu 1 (2,0 ) đ

./ HS bi t s d ng công th c (lnu)ế ử ụ ứ /=u’/u (1,0 )đ / Vi t ế được Pn=

1 sin x

2n

.1

2n sin x

(0,5 )đ

/ Kl : S n=− cot gx+1

2n cot g

x

2n (0,5 )đ

Câu 2 ( 2,0 ) đ

Th 1 : I= 1

2 |a| (0.5 )đ

Th 2 : Đặt

t=a2 cos2x +b2 sin2x ⇒dt=2 (b2

−a2) sin x cos x

|a| + |b|

(1.5 )đ

Câu 3 (2,0 ) đ

1/

/ Nh n xét ậ đượ ốc s nghi m c a pt l s giao i m c a Dệ ủ à ố đ ể ủ m v (C) (1.0 )à đ / Kl úng (0.5 )đ đ

2 / m = 1 / 2 (0.5 )đ

Câu 4 (2.0 đ)

/ Đặt t=

√2 x2+1⇒ t= x

3

¿

t=1− 3 x

¿

¿

¿

¿

¿

(1.0 )đ

/ Gi i ả được x = 0 (1.0 )đ

Câu 5 (2.0 ) đ

/ Đư đượa c f (x )=(23)sin

2

x

+ 3 cos 2

x− sin2

x m (1.0 )đ

/ Nx : (23)sinx ≤ 1 ;3cos2x −sin2x3 (0.5 )đ

/ Kl : m 4 (0.5 ) đ

Câu 6 (2.0 ) đ

/ Đặt y = sinx ; (x → π

2⇒ y→ 1) (0.5 )đ / l = Lim1+ y+ .+ y

m+n + p

3

√( .) (1.0 )đ / Kl : (0.5 ) đ

Câu 7 (2.0 ) đ

/ / k đ (0.5 )đ / Bpt (1 ) ⇔ x= π

6+k

π

3 (0.5 )đ

/ T / k ừ đ

⇒

6+k 2 π

¿

6 +k 2 π

¿

¿

¿

¿

¿

(0.5 )đ

/ Kl úng (0.5 )đ đ

Câu 8 ( 4,0 ) đ

Câu 9 (2.0 ) đ

/ Nx : O SH ( 0,5 )đ / H l tâm à đường tròn n i ti p ( 0.5 )ộ ế đ / H l tâm à đường tròn ngo i ti p (0,5 )ạ ế đ / Kl (0,5 ) đ