- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TIỀN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4,5 điểm)
1) Ph}n tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:
3) Cho A = p4 trong đó p l{ số nguyên tố Tìm các giá trị của p để tổng c|c ước dương của A
là số chính phương
Bài 2: (4,0 điểm)
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: x2 3x 2 0
2 Chứng minh rằng: f x( ) ( x2 x 1) 2018 (x2 x 1) 2018 2 chia hết cho 2
g(x) x x
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Tì m m đe phương trì nh co nghie m (vơ i m tham so ) 3 2
3
2) Gia i phương trì nh:2 (8x x1) (42 x 1) 9
Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh
BC lấy điểm P sao cho AM = CP Kẻ BH vuông góc với AC tại H Gọi Q l{ trung điểm của CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Khi M l{ trung điểm của AD Chứng minh BQ vuông góc với NP
c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F Chứng minh rằng 12 12 1 2
4
Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo c|c cạnh là các số nguyên dương v{
số đo diện tích bằng số đo chu vi
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8
1 1
2
1
1 24
(
0,75 0,5 0,25
2 C|c ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4
1 p p p p n (nN)
4 4p 4p 4p 4p 4n
4p 4p p 4n 4p p 4 4p 8p 4p
(2p p) (2 )n (2p p 2) (2 )n (2p p 1)
Do đó:
4p 4p 4p 4p 4 4p 4p 5p 2p 1 p 2p 3 0
p1 = -1(loại); p2 = 3
0,5 0,5 0,25 0,25
3 Đặt a b x;b c y;c a z c 1; a 1; b 1
1 1 1
Ta có (x y z) 1 1 1 3 y z x z x y
Ta lại có: y z b c c a c b2 bc ac a2 c
Tương tự ta có x z 2a2;x y 2b2
3 3 3
Do đó (x y z) 1 1 1 3 2 .3abc 3 6 9
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 32 1
a Với x1ta có
:
P
P
2
Vậy x1 thì 2 3
9
x P x
0,5 0,5 0,25 0,25
b 2
x x suy x = 2 hoặc x = 1 (loại) Thay x = 2 vào P ta có 2 32 5
2 9 13
Kết luận với x = 2 thì 5
13
P
0,5 0,25 0,25
g x x x x x có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 1
f x = 0 là nghiệm của f(x)
f(x) chứa thừa số x
(1) (1 1 1) (1 1 1) 2 0
f x = 1 là nghiệm của f(x)
f(x) chứa thừa số x- 1 mà các thừa số x và x - 1 không có nhân tử chung do đó f(x) chia hết cho x(x - 1)
f x x x x x chia hết cho 2
( )
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
3 1 ĐKXĐ: x -3; x -m ta có
3
3
2x m 9 2(x 3x 3m mx)
2(m 3)x (m 3)
Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0 Nghiệm đúng mọi x thỏa m~n điều kiện x -3;
x -m, do đó tập nghiệm của phương trình l{ x 3 Với m 3 thì phương trình (1) có nghiệm ( 3)2 3
x
m
Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:
3 3 2
2
m
m
tức là m3 Vậy nếu m 3 thì 3
2
m
x là nghiệm Kết luận: với m = -3 thìSx x/ 3 Với m 3 thì 3
2
m
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
Trang 42 Ta có 2
2 (8x x 1) (4x 1) 9
(64x 16x 1)(8x 2 )x 9 (64x 16x 1)(64x 16 )x 72 (*) Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)t(t + 1) – 72 = 0t = - 9 hoặc t = 8
Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -964x2 -16x + 9 = 0(8x -1)2 +8 = 0 (vô nghiệm vì (8x -1)2 + 8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x= 8 64x2 -16x – 8 = 0(8x -1)2 -9 = 0
x = 1
2 hoặc x= 1
4
Vậy nghiệm của phương trình l{ x = 1
2 hoặc x= 1
4
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25
4
a Chưng minh được DH // BK (1) Chứng minh đượcAHD CKBsuy ra DH = BK (2)
Từ (1) và (2) tứ giác MNPQ là hình bình hành
0,25
0,5 1,0 0,5
b Gọi E l{ trung điểm BK, chứng minh được QE l{ đường trung bình của KBCnên QE // BC QE AB(vì BCAB) và 1 1
Chứng minh AM = QE và AM//QE tứ giác AMQE là hình bình hành Chứng minh AE//NP//MQ (3) Xét AQB có BK v{ QE l{ hai đường cao của tam giácE là trực tâm của tam giác
nên AE đường cao thứ ba của tam giácAEBQBQNP
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 5c
Vẽ tia Ax vuông góc AF Gọi giao của Ax với CD là G
Chứng minh (cùng phụ ) ADG~ ABP(g.g)
1 2
2
Ta có AGFvuông tại A có AD GF nên AG.AF = AD.GF
Ta chia cả hai vế của (1) cho 2 2 2
.AF
AD AG
Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago)
AF
4
0,5
0,25 0,5 0,5 0,25
5 Gọi các cạnh của tam gi|c vuông l{ x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x,
y, z là các số nguyên dương) Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta có:
z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z)
hoặc z + 2= -x – y + 2 (loại vì z >0)
4
; thay vào (1)
ta được xy = 2(x + y + x + y - 4)
(x 4)(y 4) 8 1.8 2.4
từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:
(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x =
8, y = 6, z = 10)
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí