DIEM CUC TRI CUA HAM SO

Tài liệu gồm toàn bộ các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (phần cực trị của hàm hợp sẽ giới thiệu trong một chuyên đề riêng). Tài liệu sử dụng như một tài liệu học tập cho học sinh

1 Khái niệm điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số    liên tục trên khoảng   và  

 Điểm được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu

  sao cho           

Giá trị    được gọi là giá trị cực đại của hàm số

và điểm   được gọi là điểm cực đại của đồ thị

hàm số

 Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu

  sao cho           

Giá trị    được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

và điểm   được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị

3 Định lí

Giả sử hàm số    có đạo hàm cấp hai trong khoảng       

 Nếu  

 



  

 thì là một điểm cực đại của hàm số

 Nếu  

 



  

 thì là một điểm cực tiểu của hàm số

Chú ý

Nếu  

 



  

 thì ta chưa thể biết là điểm cực trị của hàm số

II Các dạng bài tập

Chứng minh Định lí ở mục 3

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

1 Dạng  _Tìm điểm cực trị của hàm số cho trước

Phương pháp

Qui tắc 1

 Bước 1

o Tìm tập xác định 

 Bước 2 Xét dấu đạo hàm o Tính đạo hàm    o Tìm các điểm thuộc tập xác định mà tại đó đạo hàm bằng (giải phương trình   ) o Tìm các điểm thuộc tập xác định mà tại đó không có đạo hàm o Lập bảng biến thiên – Xét dấu đạo hàm  Bước 4 o Sử dụng Điều kiện đủ để tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số Qui tắc 2  Bước 1 o Tìm tập xác định 

o Tính đạo hàm cấp một   

o Tính đạo hàm cấp hai   

 Bước 2 o Giải phương trình   tìm các nghiệm    o Tính các giá trị    Bước 3 o Nếu   thì là một điểm cực đại của hàm số o Nếu   thì là một điểm cực tiểu của hàm số 1.1 Hàm đa thức – phân thức Bài 1 Tìm các điểm cực trị của hàm số sau (nếu có) a)   ; b)   

; c)  

 Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Tìm các điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)     ; b)    ;

c)      ; d)  

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 3 (Kiến thức cần nhớ) Cho hàm số       Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4 (Kiến thức cần nhớ)

Cho hàm số        Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 5 Tìm điểm cực trị của các hàm số sau (nếu có) a)    ; b)     ;

c)  ; d)    

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 6 (Kiến thức cần nhớ) Cho hàm số       Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 7 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau (nếu có)

a)       ; b)     ;

c)     ; d)        ;

e)   ; f)    

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 8 Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)  

  ; b)    ; c)       ; d)       ;

e)     ; f)        

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 Tổng kết Điểm cực trị của hàm số là điểm thuộc tập xác định và qua điểm đó thì………

Ô chữ gồm từ

1.2 Hàm chứa căn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số cho trên từng khoảng

Bài 9 Tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)   ; b)    ; c)   

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 10 Tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có) a)     ; b)     ; c)  

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 11 Tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)   ; b)    ; c)        

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 12 Tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có) a)          ; b)              Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

1.3 Hàm lượng giác

Bài 13 Tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)  trên khoảng  ;

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 14 Sử dụng Định lí ở mục 3 tìm điểm cực trị của hàm số sau (nếu có)

a)   ; b)   c) 

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 Tổng kết

Điểm cực trị của đồ thị hàm số chỉ có thể là điểm thuộc tập xác định mà tại đó

Hoặc

xcxc

Bài tập trắc nghiệm củng cố  Câu 1: Tìm điểm cực tiểu của hàm số    ?

Câu 7: Cho hàm số     Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số có đúng một điểm cực trị B Hàm số đạt cực đại tại điểm 

C Hàm số đạt cực tiểu tại điểm  D Hàm số không có điểm cực trị

Câu 8: Hàm số    có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 15: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số      ?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm   và đạt cực tiểu tại điểm  

B Hàm số đạt cực đại tại điểm   và đạt cực tiểu tại điểm  

C Hàm số đạt cực đại tại điểm   và không có điểm cực tiểu

D Hàm số đạt cực tiểu tại điểm   và không có điểm cực đại

Câu 26: Hàm số  có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 27: Hàm số  có bao nhiểu điểm cực trị?

Câu 29: Xét hàm số   trên đoạn   Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có hai điểm cực đại

C Giá trị cực đại của hàm số là D Giá trị cực tiểu của hàm số là 

Câu 30: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số      ?

Câu 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 34: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

   Tính diện tích của tam giác

Câu 37: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

   Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ gọi là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 Dạng  – Tìm điểm cực trị của hàm số khi biết bảng bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số

Bài 15 Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Bài giải

………

………

………

………

………

………

Bài 18 Cho hàm số   liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số   ? Bài giải ………

………

………

………

………

Bài 19 Cho hàm số   liên tục trên đoạn   và có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số   ? Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

3 Dạng  – Tìm các điểm cực trị khi biết đạo hàm, bảng xét dấu hoặc đồ thị của đạo hàm Bài 20 Tìm các điểm cực trị của hàm số    biết a)      ; b)      ;

c)        ; d)              

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 21 Cho hàm số    liên tục trên Tìm các điểm cực trị của hàm số    biết a)    

      ; b)                  Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 22 Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Bài giải

………

………

………

………

………

………

Bài 27 Cho hai hàm số    và    Biết hàm số    và    liên tục trên , đồng thời có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị   là đường cong) Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số        Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 28 Cho hai hàm số    và    Biết hàm số    và    liên tục trên

đồng thời có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị   là đường nét đứt) Tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số        ? Bài giải ………

………

………

………

Bài 29 Cho hai hàm số    và   

Biết hàm số    liên tục trên

Bài 30 Cho hai hàm số   

Biết hàm số    liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên

Tùy theo giá trị của tham số thực ,

hãy biện luận số điểm cực trị của hàm số

Bài tập trắc nghiệm củng cố +

Câu 41: Cho hàm số    liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm 

B Hàm số đạt cực tiểu tại điểm  

C Hàm số có ba điểm cực trị

D Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 

Câu 42: Cho hàm số    liên tục trên

Câu 44: Cho hàm số    liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số   

Câu 45: Cho hàm số    liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Tìm giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số   

Câu 46: Cho hàm số    liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Câu 49: Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại điểm  

C Hàm số đạt cực tiểu tại   D Hàm số đạt cực đại tại điểm 

Câu 50: Cho hàm số    liên tục trên và có đạo hàm     

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số    có ba điểm cực trị B Hàm số    đạt cực đại tại điểm 

C Hàm số    đạt cực đại tại điểm   D Hàm số    đạt cực đại tai điểm 

Câu 51: Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có đạo hàm         Tìm số điểm cực trị của hàm số   ?

Câu 52: Cho hàm số    có đạo hàm               Tìm số điểm cực trị của hàm số   ?

B Hàm số    đạt cực tiểu tại điểm  

C Hàm số    đạt cực đại tại điểm 

D Hàm số    đạt cực tiểu tại điểm 

Câu 57: Cho hàm số    Biết hàm số  liên tục trên có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số   ?

Câu 58: Cho hàm số    Biết hàm số  liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số   ?

Câu 59: Cho hàm số    Biết   liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số    đạt cực tiểu tại điểm  

B Hàm số    đạt cực tiểu tại điểm 

C Hàm số    đạt cực đại tại điểm  

D Hàm số    không có điểm cực đại

Câu 60: Cho hàm số   .Biết đạo hàm   liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên Tìm điểm cực tiểu của hàm số   ?

Câu 61: Cho hai hàm số    và   

Biết hai hàm số    và    đều liên tục trên

Câu 63: Cho hàm số   .Biết đạo hàm   liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên âm

của tham số để hàm số     có hai điểm cực trị?

Câu 65: Cho hàm số    Biết hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ

Đặt       Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại điểm  B Hàm số có một điểm cực trị

C Hàm số đạt cực đại tiểu tại điểm  D Hàm số có ba điểm cực trị

4 Dạng  – Tìm giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước

4.1 Phương pháp 1

Bài 31 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

4.2 Phương pháp 2

Bài 32 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

b) hàm số       đạt cực tiểu tại điểm  ;

4.3 Phương pháp 3

Bài 33 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

5 Dạng  – Cực trị của hàm số bậc ba

Kiến thức bổ trợ

Ôn tập kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng

 Tọa độ vec tơ và tọa độ điểm

o Điều kiện vuông góc   

o Bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài 

Bài 35 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

Bài 36 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

a) hàm số           có hai điểm cực trị trái dấu;

c) hàm số          có hai điểm cực trị đều nhỏ hơn ;

Bài 37 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

Bài 38 Cho hàm số       với là tham số thực

a) Tìm tất cả giá trị của để hàm số đã cho có hai điểm cực trị;

b) Gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho Tìm tọa độ theo ; c) Tính độ dài đoạn thẳng và viết phương trình đường thẳng theo

Bài 39 Cho hàm số    với là tham số thực

Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó bằng

Bài 40 Cho hàm số         với là tham số thực

Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu lần lượt là

Bài 41 Cho hàm số        với là tham số thực và điểm  

Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho tam

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 42 Cho hàm số      với là tham số thực và điểm   Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho tam giác có diện tích  Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………