TINH DON DIEU CUA HAM SO

Tài liệu 61 trang tổng hợp tất cả kiến thức TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ theo 4 mức độ: nhận biết thông hiểu vận dụng và vận dụng cao. Phần tính đơn điệu của hàm hợp sẽ được giới thiệu trong một chuyên đề riêng. Mua nhiều tại liệu liên hệ: galoa1605@gmail.com

1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số    xác định trên khoảng (hoặc nửa khoảng hoặc đoạn) 

2 Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

 Định lí

Giả sử hàm số    có đạo hàm trên

o Tìm các điểm thuộc tập xác định mà tại đó đạo hàm bằng (giải phương trình   )

o Tìm các điểm thuộc tập xác định mà tại đó không có đạo hàm

o Lập bảng biến thiên

 Bước 3

Sử dụng Định lí về dấu của đạo hàm để kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số

Kiến thức bổ trợ: Xét dấu biểu thức

b) Xét dấu nhị thức bậc nhất

 Qui tắc: “ Trước trái, sau cùng “ hoặc “ Phải cùng, trái trái “

b) Xét dấu tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai    phụ thuộc vào dấu của hệ số và 

 Qui tắc xét dấu tổng quát

1) Đối với hàm đa thức

      và trên mỗi khoảng này   không đổi dấu

o Để xét dấu trên khoảng   ta lấy một số    và tính   Dấu của giá trị

  vừa tính chính là dấu của   trên khoảng  

Các khoảng còn lại làm tương tự

o Ta có bảng xét dấu

2) Đối với hàm phân thức (thương của hai đa thức)

Để xét dấu phân thức      ta làm như sau

 Bước 2 Lập bảng xét dấu

cùng dấu với a

trái dấu với a

cùng dấu với a

cùng dấu với f a k+1

cùng dấu với f a 2

cùng dấu với f a 1

o Các nghiệm của   và g  sẽ chia tập xác định thành các khoảng và trên mỗi khoảng này

  không đổi dấu

o Để xét dấu trên một khoảng bất kì ta chỉ cần lấy một số a thộc khoảng đó và tính   Dấu của giá trị   vừa tính là dấu của phân thức   trên khoảng đó

o Chú ý tại nghiệm của   thì   còn tại nghiệm của   thì   không xác định

 Qui tắc xét dấu bằng đồ thị

Giả sử cần xét dấu biểu thức       trong đó các hàm số    và    có đồ thị đã cho

Để xét dấu   ta làm như sau

Phương trình   là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số    và

 

 nên nghiệm của nó là hoành độ các giao điểm trên hình vẽ

 Bước 2 Lập bảng xét dấu

không đổi dấu

o Trên một khoảng bất kì, nếu đồ thị hàm số    nằm trên đồ thị hàm số    thì trên khoảng đó     Suy ra   mang dấu dương  

o Trên một khoảng bất kì, nếu đồ thị hàm số    nằm dưới đồ thị hàm số    thì trên khoảng đó     Suy ra   mang dấu âm  

Đặc biệt

Nếu   thì biểu thức cần xét dấu là   Khi đó ta xét sự tương giao của đồ thị hàm số với trục hoành (đường thẳng  )

1.1 Hàm đa thức

Bài 1

1) Tìm tất cả các khoảng đơn điệu của hàm số    ?

2) Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số    ?

3) Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số  

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 1) Tìm tất cả các khoảng đơn điệu của các hàm số     ;     ? 2) Cho hàm số   Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hàm số đồng biến trên   và nghịch biến trên  

B Hàm số nghịch biến trên   và đồng biến trên   C Hàm số đồng biến trên D Hàm số nghịch biến trên 3) Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số     ? A   B   C   D Không tồn tại 4) Hàm số       nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A   B   C   D   5) Hàm số     đồng biến trên khoảng nào sau đây? A       B       C       D        Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 3 Nhận xét (Kiến thức cần nhớ) Cho hàm số        có     và gọi   là biệt thức delta của  Điền vào chỗ trống: a) Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi ……… khi và chỉ khi………

………

b) Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi ……… khi và chỉ khi ………

………

Bài 4 1) Xét tính đơn điệu của các hàm số sau     ;  ? 2) Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số     ? A   B      C   D     3) Hàm số      nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A   B   C    D   Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 5 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau? a)       ; b)     ;

c)     ; d)       

e)     ; f)        

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 Tổng kết Để xét tính đơn điệu của hàm số ta thực hiện Ô chữ gồm từ 1.2 Hàm phân thức hữu tỉ Bài 6 1) Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau    ;  ? 2) Cho hàm số    Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hàm số đồng biến trên

B Hàm số nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   và  

D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   và  

3) Hàm số  

A    B   C    D  

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 7 Kiến thức cần nhớ Cho hàm số    với   có       Điền vào chỗ trống: a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi ……….……

khi và chỉ khi………

b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi ……… ……….……

khi và chỉ khi………

Bài 8 1) Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau    ;    ? 2) Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số     ? A      B             C   D        3) Cho hàm số   Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định C Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

1.3 Hàm chứa căn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số cho trên từng khoảng

Bài 9

1) Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau   ;    ?

2) Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số    ?

A  

 

 

3) Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số    ?

A   B    C   D  

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Một số phương trình chữa căn thức bậc hai 1)           2)        Bài 10 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a)     ; b)     ; c) 

 Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 11 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a)   ; b)    ; c)     

Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 12 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a)          ; b)                 Bài giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

1.4 Hàm số lượng giác

Bài 13 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

 ;

Bài giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 Tổng kết

Để xét tính đơn điệu của hàm số ta thực hiện

Ô chữ gồm từ

C Hàm số đồng biến trên   và nghịch biến trên khoảng  

D Hàm số nghịch biến trên   và đồng biến trên khoảng  

Câu 7: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số 

 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên   B Hàm số nghịch biến  

C Hàm số nghịch biến trên D Hàm số nghịch biến trên    và  

Câu 10: Cho hàm số  Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số nghịch biến

C Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định D Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định Câu 11: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ?

Câu 12: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng  ?

Đề bài sau áp dụng cho 2 câu tiếp theo

Cho hàm số        có đạo hàm     và gọi   là biệt thức delta của đạo hàm 

Câu 16: Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi?

Câu 20: Cho hàm số    có đạo hàm trên Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi    

B Nếu hàm số đồng biến trên thì    

C Nếu     thì hàm số đồng biến trên

D Nếu hàm số đồng biến trên thì    

Câu 21: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số     ?

A   B      C     D  

Câu 22: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số        ?

Câu 25: Cho hàm số    Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên ℝ B Hàm số đồng biến trên    

C Hàm số nghịch biến trên ℝ D Hàm số nghịch biến trên    

Câu 26: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số   

Câu 33: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số    trên khoảng  ?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  

 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  

C Hàm số đồng biến trên khoảng  

2 Dạng  – Tìm các khoảng đơn điệu khi biết bảng bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số Phương pháp chung

 Dựa vào đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên để suy ra các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến

của hàm số

Bài 14 Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Bài giải

………

………

Bài 15 Cho hàm số    có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Bài giải

………

………

………

Bài 16 Cho hàm số    liên tục trên và có đồ thị như vẽ bên

Lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu

Bài 17 Cho hàm số   liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên

Lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu

 Nếu đề cho đạo hàm  sử dụng các phương pháp xét dấu để xét dấu đạo hàm  các khoảng

đơn điệu của hàm số

 Nếu đề cho bảng xét dấu của đạo hàm  các khoảng đơn điệu của hàm số

 Nếu đề cho đồ thị đạo hàm  sử dụng phương pháp xét sự tương giao với trục hoành để xét

dấu đạo hàm  các khoảng đơn điệu của hàm số

4) Cho hàm số    có     Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên   D Hàm số đồng biến trên  

Bài 20 Cho hàm số    liên tục trên Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số biết

Bài 21 Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Lập bảng biến thiên và tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số   ?

Bài 22 Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Bài giải

………

………

Bài 23 Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu của hàm số   ?

Bước 3: Hoành độ giao điểm của các đồ thị   và   là nghiệm của  

Bước 4: Xét trên từng khoảng nghiệm, giả sử khoảng  

 Nếu đồ thị   nằm phía trên đồ thị          



     hàm số đồng biến trên khoảng  



     hàm số nghịch biến trên khoảng  

Bài 26 Cho hai hàm số    và   

Biết hàm số    và    liên tục trên ,

đồng thời có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị   là đường cong)

Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số

Bài 27 Cho hai hàm số    và   

Biết hàm số    và    liên tục trên

đồng thời có đồ thị như hình vẽ bên

Bài 28 Cho hai hàm số    Biết hàm số    liên tục trên

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số

Bài tập trắc nghiệm củng cố +

Câu 41: Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có đạo hàm      Tìm tất cả các

A    B   C   D  

Câu 42: Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có đạo hàm        Tìm tất cả các

A Hàm số    đồng biến trên khoảng   

B Hàm số    đồng biến trên khoảng  

C Hàm số    nghịch biến trên khoảng  

D Hàm số    nghịch biến trên khoảng  

Câu 44: Cho hàm số    liên tục trên ℝ và có đạo hàm          Tìm tất cả

Câu 46: Cho hàm số    có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Câu 47: Cho hàm số    có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Câu 48: Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Câu 49: Cho hàm số    có chiều biến thiên được cho ở hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 50: Cho hàm số    liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    B Hàm số đồng biến trên khoảng  

C Hàm số đồng biến trên khoảng   D Hàm số nghịch biến trên khoảng  

Câu 51: Cho hàm số    liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên

A   B     

Câu 52: Cho hàm số bậc ba    liên tục trên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên   và đồng biến trên  

B Hàm số nghịch biến trên   và đồng biến trên  

Câu 55: Cho hàm số bậc bốn    Biết hàm số   

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

A   B   

C      D  

Câu 56: Cho hai hàm số    và   

Biết đạo hàm   và   liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên Đặt      

Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số  

A     B   

Câu 57: Cho hàm số    Biết hàm số   

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

Timg tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số

 

A     B   

Câu 58: Cho hàm số    Biết hàm số   

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A    B  

Câu 59: Cho hàm số    Biết hàm số    có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Câu 60: Cho hàm số    Biết hàm số    có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

      nếu dấu của chỉ phụ thuộc vào biểu thức chứa tham số

4.1 Tìm tất cả giá trị của tham số thực để hàm số đơn điệu trên

Bài toán bất phương trình bậc hai chứa tham số

(trong đó có chứa tham số thực )

Tìm tất cả giá trị của để các bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi  ?