Kẻ HL d thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OEkhông đổi + Do đó khi M di động trên d thì H luôn cách đều d một đoạn không đổi nên H chạy trên đường th[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC: 2011 – 2012
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 150’)
Ngày thi 16 tháng 3 năm 2012.
Bài 1 (5đ) Cho biểu thức:
2
P
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của P
Bài 2 (5đ) Giải các pt sau: a) 2x3 x2 2x3 3x 1 3x 1 3 x2 2
b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0
Bài 3 (4đ) Cho (O; R) Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B từ một
điểm tùy ý trên d và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm)
a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông
b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d
Bài 4 (4đ) a) Tìm GTLN của yx 9 x 2
b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a b c 1;a 2b2c2 1;a3 b3c3 1 Chứng minh: a2009 b2009 c2009 1
Bài 5 (2đ) Cho ABC thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB Tìm GTLN của diện tích
ABC
HẾT
-Họ và tên:……… SBD………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012 Bài 1: a) ĐK a > 0 và a 2
2
P
a ( a 1)(a a 1) a (3 a 2) ( a 2)( a 2)
P
P a 3 a 4
b) Ta có
2
với mọi a TMĐK
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
7
4 khi a=
9 4
Bài 2:
Coi PT là bậc hai với ẩn t = x2 ta tính được PT có 9(y22)2 từ đó ta có
x2 = 2 y2 + 5(1) và x2 = - y2 – 1(vô nghiệm)
Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy ra 2k2 + 2k - y2 = 2 do đó y phải chẵn nên đặt y = 2z suy ra k(k+1) – 2z = 1 (vô nghiệm do VT chia hết cho 2 còn vế phải không chia hết cho 2
Bài 3:
Dựng điểm M: ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d)
ta giác ONM vuông cân tại N Tương tự, tam giác ta giác OPM cũng vuông cân tại P
Trang 3
Q
P
F
H
M L
B N
E A
do đó MNOP là hình vuông Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì OM = R 2>R
b)Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM tâm là trung điểm H của OM, suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM tâm H
+) Kẻ OE vuông góc AB thì E là trung điểm của AB ( cố định) Kẻ HL (d) thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OE(không đổi)
+) Do đó khi M di động trên (d) thì H luôn cách đều (d) một đoạn không đổi nên H chạy trên đường thẳng (d’)//(d) và (d’) đi qua trung điểm của đoạn OE
+) Ta có : Om là phân giác trong góc NMP kẻ tia phân giác trong PNM cắt đường tròn
(O) tại điểm F, khi đó NF FP => F trên OM, do đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP
Vậy khi M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O)
Chú ý: do hình vẽ phức tạp nên dựng hình vuông OACD không vẽ trên trên hình vẽ Bài 4:
a) áp dụng BĐT ab
2 2
2
a b
ĐK 9 –x20
ta có
2 9
2
Trang 4Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/2 khi x=
9 2
b) ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=> 1-3abc=1-ab-bc-ca
=>ab+bc+ca=3abc
mà 12=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=> ab+bc+ca=0
=> abc=0
=> a=0 hoặc b=0 hoặc c=0
Nếu a = 0 =>
2 2
3 3
1 1 1
b c
=>b2+c2+2bc=1
=> 2bc=0
=>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0)
Nếu b = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Vậy mội trường hợp ta có P = 1
Bài 5: Đặt BC =x > 0
theo công thức He rông ta có
S= p p a p b p c( )( )( ) với
6 2
x
=> S2=
=> S2=
16 x x 16 x 16