Đặt t=sin x trường hợp còn lại thì ngược lại b.. Tính nguyên hàm, tích phân các hàm hữu tỷ:..[r]
Trang 1MỘT SỐ CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN
I Tích phân đổi biến số:
1 Tích phân lượng giác:
1.1 Dạng 1: I=∫
a
b
sin mx cos nx dx => Biến đổi tích sang tổng
1.2 Dạng 2: I=∫
a
b
sinm x cos n x dx
- Nếu m, n chẵn Đặt t=tan x
- Nếu m chẵn n lẻ Đặt t=sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
1.3 Dạng 3: I=∫
a
b
dx
msin x+n cos x+c
Đặt:
¿
t=tan x
sin x= 2t 1+t2
cos x= 1− t
2
1+t2
¿
¿
{
¿
⇒dx= 2 dt
t2+1
1.4 Dạng 4: ∫
a
b
m sin x+n cos x
p sin x+q cos x dx
Đặt: m sin x +n cos x p sin x +q cos x =A+ B( p cos x − q sin x) p sin x +q cos x
1.5 Dạng 5: ∫
a
b
m sin x+n cos x +c
p sin x +q cos x +ddx
Đặt: m sin x +n cos x+c p sin x+q cos x+d =A+ B( p cos x − q sin x)
p sin x +q cos x+d + p sin x+q cos x +d C
2 Tính nguyên hàm, tích phân các hàm hữu tỷ:
Trang 22.1 Dạng 1:
x −a¿n
¿
x − a¿n −1
¿
¿
¿
dx
¿
I=∫
a
b
¿ (Đặt u= x − a )
Nếu: n=1 I=∫
a
b
1
x −adx=ln|x|+C
2.2 Dạng 2:
px2+qx+r¿n
¿
¿
mx+n
¿
I =∫
a
b
¿ Đặt: u= px2+qx+r
2.3 Dạng 3: I =∫P Q m(x)
n(x)dx
Nếu P m(x) > Q n(x) ta thực hiện phép chia
3 Nguyên hàm, tích phân của hàm số vô tỷ:
3.1 ∫S(x ,√a2− x2
)dx đặt x=a cos t 0 ≤t ≤ π
3.2 ∫S(x ,√a2+x2)dx đặt x=a tan t − π
2≤t ≤
π
2
3.3 ∫S(x ,√x2−a2
)dx đặt x= a
cos t t ≠ π
2+kπ
3.4 ∫S(x , m√ax+b cx+d ) đặt t= m
cx+ d ; ad-bc 0
II Tích phân từng phần:
Đặt u=u(x) =>du=u’dx
dv=v’dx =>v(x)
Áp dụng công thức: ∫
a
b
u(x )v ' (v)dx=(u(x )v (x))¿a b −∫
a
b
u ' (x)v (x )dx
Cách đặt ∫P(x )e xdx ∫P(x )cos xdx ∫P(x )ln xdx
Trang 3u P(x) P(x) ln x