Sử dụng công thức thay thế công thức đạo hàm, tích phân để giải các bài toán đại số tổ hợp

Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều.. Đặc biệt hiện nay Tỉnh ta và m

111Equation Chapter 1 Section 1

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều Đặc biệt hiện nay Tỉnh ta và một số tỉnh trong nước tổ chứa thi học sinh giỏi văn hóa cho học sinh khối 11 thì các bài toán Tổ hợp lại được chú trọng hơn nữa Trong nội dung này có một số bài toán ứng dụng dạo hàm và tích phân để giải quyết Nhưng vấn đề dặt ra là nội dung đạo hàm học cuối chương trình 11 và tích phân được học ở chương trình 12 Vì vậy học sinh lớp 11 chưa có kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán Tổ hợp dạng này Vậy làm sao có thể đưa các dạng đề này vào đề thi học sinh giỏi văn hóa mà thầy cô và học sinh có thể giải quyết triệt để được ?

Để giúp thầy cô giáo có thêm chuyên đề Tổ hợp trong ôn luyện học sinh

giỏi và giúp các em học sinh có công cụ làm bài tập, tôi chọn đề tài " Sử dụng công thức thay thế đạo hàm, tích phân để giải các bài toán Đại số tổ hợp" làm

đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Xây dựng được chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán THPT rất thiết thực và có hiệu quả

- Góp phần nâng cao kỹ năng giải các bài toán tổ hợp cho giáo viên và học sinh

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, và cũng giúp các em thấy được sự đa dạng trong các lời giải của một bài toán

1.3 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :

1 Nhiệm vụ :

- Hệ thống lại các công thức của khai triển nhị thức niu tơn

2 Phạm vi nghiên cứu :

- Đối tượng: Học sinh lớp 11

- Tài liệu : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 1 nâng cao – cơ bản, Sách bài tâp, Sách giáo viên và các đề thi đại học, học sinh giỏi môn Toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

1.4.1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

1.4.2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

2 Nội dung sáng kiến

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường :

Môn Toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người

Môn Toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu

có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người

2.1.2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.

- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi các em không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập

- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh

2.1.3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :

Học sinh THPT có trí thông minh, khá nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tải Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới

phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng

tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp

Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà

2.2 Thực trạng vấn đề :

Hiện nay phần Đại số tổ hợp có sử dụng Đạo hàm và Tích phân chưa được viết theo chuyên đề một cách hệ thống và bài bản, vì thế rất khó cho giáo viên lẫn học sinh khi giảng dạy và học tập nội dung này

Mặt khác nội dung Đại số tổ hợp lại học trước nội dung Đạo hàm và Tích phân nên học sinh chưa có kỹ năng vận dụng các kiến thức một cách khéo léo

Vì thế xây dựng hệ thống công thức thay thế Đạo hàm và Tích phân là vấn đề cần thiết và có nhiều ứng dụng

2.3 Nội dung lý thuyết :

CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON

Với mọi cặp số a, b và mọi số n nguyên dương, ta có :

với :

!

k n

n C

k n k



 + Số các số hạng ở bên phải của khai triển bằng n+1 số hạng

+ Tổng các số mũ của a và b trong khai triển là n

+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:

0, 1, 2, , n 1, n

C C C C  C

với chú ý : C n k C n n k

 0 k n  +

1 1

n k

k



 



CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG

k C n C 



 (I) trong tính tổng Chứng minh công thức (I)

1 1

k C n C









Bài toán áp dụng :

Bài toán 1:

Tính tổng: A1.C1n 2.C n2 3.C n3  k C. n k  n C. n n

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức (I) k k 11

k C n C 



 ta được:

1

1









+ Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được :

+ Xét khai triển : (1 )n 1 0 1 1 1 2 21 n 1 n 11

+ Thay x = 1 vào khai triển (1) được : 2n 1 0 1 1 1 2 1 n11

+ Thay vào tổng A n.2n1



1 Trong trang này: Mục LT có tham khảo trong TLTK[1];công thức(I), bài 1 của tác giả

Bài toán 2:

Tính tổng : 1 1 2.2 2 3.2 2 3 2 k 1 k 2 n 1 n

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức (I) k k 11

k C n C 



 ta được:

1

1

C n C

C n C









( 01 2 1 1 2 2 21 2 k 1 k11 2 n 1 n11)

+ Xét khai triển : (1 )n 1 0 1 1 1 2 2 1 n 1 n11

+ Thay x = 2 vào khai triển (1) ta được:

+ Thay vào tổng B được: B n.3n1

 Vậy 1 1 2.2 2 3.2 2 3 2 k 1 k 2 n 1 n 3n 1

Bài toán tổng quát :

Tính tổng: 1 1 2 2 3 .2 3 k 1 k n 1 n

Đáp án : B n a.( 1)n1

Bài toán 3:

Tính tổng : 3 1 4 2 5 3 ( 2) n

Hướng dẫn:

Ta có : C (1.C n12.C n2 3.C n3 n C. n n) 2.( C1nC n2 C n3 C n n)

+ Tính : A1.C n12.C n2 3.C n3 k C. n k  n C. n n = n.2n1

( bài toán 1) + Xét khai triển : (1 )n 0 1 2 2 n n

+ Thay x = 1 vào khai triển (2) được :

ta được : C n.2n1 2n n

Vậy: 3 1 4 2 5 3 ( 2) n 2n 1 2n

Bài toán tổng quát : Tính tổng: C  (1 m C). n1(2m C). n2  (n m C ). n n

Đáp số C (1C1n 2C n2 nC n n)m C( 1n C n2  C n n)

Bài toán 4:

Tính tổng : D 3.C1n 4.2.C n2 5.2 2C n3 6.2 3C n4 (n 2).( 2) n1C n n

1 2 2 3 3 4 1

[1 2.2 3.2 4.2 ( 2) ]

+[2 2 2 2 ( 2) ]

n n



2 Trong trang này: Bài toán 2; 3; 4 có tham khảo trong TLTK[2]

+ Tính tổng : 1 [1 1 2.2 2 3.2 2 3 4.2 3 4 ( 2) n 1 n]

+ Áp dụng công thức (I), . k . k 11



 ta được:

1

1

1 .

2 .









nên : 1 ( 0 1 2 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 ( 2) n 1 n11)

+ Xét khai triển : (1 )n 1 0 1 1 1 2 2 1 n 1 n 11

+ Thay x = - 2 vào khai triển (1) được :

1

( 1)n

  01 2 1 1 2 2 21 2 3 31 ( 2) n 1 n11 ( 1)n 1

tìm được: D1 n.( 1)n1

 

+ Tính tổng : D =2.2 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 ( 2) n n

+ Xét khai triển : (1 )n 0 1 2 2 n n

+ Thay x = -2 vào khai triển (2) được:

0 [2 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 ( 2) n n] ( 1)n

C  C  C  C  C    C  

tìm được: 2 0 ( 1)n ( 1)n

n

D C     n

+ Tính được: D n .( 1) n1  n ( 1)n   n ( 1) (n1 n 1)

Sau khi tính tổng này giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát bài toán.

Bài toán 5:

Tính tổng: 4 1 5.2 2 6.2 2 3 ( 3).2 n 1 n

Hướng dẫn:

Ta có :

Tính tổng: 1 1 2.2 2 3.2 2 3 2 n 1 n

Dựa vào công thức (I), tính được :

1 ( 1 2 1 2 1 2 n n1) 3n

+ Tính tổng:

1 2 2 3 1 1 2 2 3 3

2

3

2



Tìm được :

2

3 Trong trang này: Bài toán 5 có tham khảo trong TLTK[3]

Bài toán tổng quát:

Tính tổng:

(1 ) .r (2 ) r (3 ) r ( ) r n n

Hướng dẫn:

E a C a C a C n a C m a aC a C a C

n a a m a a m n a

Bài toán 6:

Tính tổng: 3 2 4 3 5 ( 2) n

F C  C  C   n C

Hướng dẫn:

+ Ta có: F (3.C n34.C n4  n C. n n) 2( C n3 C n4  C n n)

+ Tính tổng:



+ Tính tổng :

3 4

2

( 1)

2

n

n

n n



+ Tìm được: F n.2n1 n2 2.2n n2 n 2 2 (n1 n 4) n 2

Vậy: 3 2 4 3 5 ( 2) n 2 (n 1 4) 2

Sau khi tính tổng này giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát bài toán.

Bài toán 7:

Tính tổng: 1.2 1 2.3 2 3.4 3 ( 1) n

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (I) k k 11

k C n C 



 ta được:

1 0

1

1

C n C

C n C









+ Tính được:

n



+ Tính tổng: 1=2n(C0 1 1 1 n 11) 2 .2n 1 2n

4 Trong trang này: Bài toán tổng quát của tác giả;bài toán 6;7 có tham khảo trong TLTK[3]

+ Tính tổng: 2= [ 1 1 2 21 3 3 1 ( 1) n11]

Áp dụng công thức: k 1 ( 1) k 21

    , ta được:

2= ( 1)( 2 2 2 n 2) ( 1).2n

+ Tính được: G n.2n n n( 1).2n2 n n( 3)2n2

Bài toán 8:

Tính tổng

1.2.3 2.3.3 3.4.3 ( 1).3 n n( 2)

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (I) k k 11

k C n C 



 ta được:

1

1

C n C

C n C









(2.3 3.3 4.3 ( 1).3

.2.3( 3 3 3 3 )

.3 [ 2.3 3.3 3 ( 1).3 ]

n n



+ Tính tổng

1 2.3( 1 3 1 3 1 3 k k 1 3 n n1) 6 4n

.3 [ 2.3 3.3 3 ( 1).3 ]=

=9n(n-1).(C 3 3 3 3 ) 9 ( 1).4

Tính được: H 6 4n n1 9 (n n 1).4n2 4 (9n2 n2 15 )n

Bài toán 9:

Tính tổng: K n C. n0 (n 1).C1n kC n n k C n n1

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức :



+ Áp dụng công thức (I) k k 11

k C n C 



 ta được:

1

1







 Tính được K n C. n n (n 1).C n n1 kC n k C1n n.2n1

5 Trong trang này: Bài toán 8; 9 có tham khảo trong TLTK[2]

Bài toán 10:

Tìm số tự nhiên n sao cho:

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (I) k k11

k C n C 







VT  n C  C  C  C   C  n 

+ Thay vào (1') được : (2n1).(1 2) 2n 2n 1 2017 , tìm được n = 1008

Bài tập vận dụng: Tính các tổng sau:

1/

2/ M n C. n0 (n 1).C1n ( 1) 2.n2 C n n2 ( 1) n1C n n1

3/ 2 2 2 3 2 3 4 2 4 5 2 5 ( 1) n 2 n

Dạng 2: Sử dụng công thức :

1 1







  (II) trong tính tổng Chứng minh công thức (II)

Ta có :

1 1

!( )! ( 1)!( )!

( 1)! ( 1)!

!( )! !( )!









Bài toán áp dụng :

Bài toán 1:

Tính tổng:

n

A C

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (II), ta được:

1

1

1

n n

C C n

n













6 Trong trang này: Bài toán 10; 1; bài tập vận dụng có tham khảo trong TLTK[2], công thức

(II) của tác giả

+ Tìm được :

0

C

Vậy

1

1

1

n A

n





Bài toán 2:

Tính tổng:

B

Hướng dẫn:

1

B

n n

n





1

n

n

n

n n







+ Tính : 1 1 2 2 2 2 3 3 2 ( 2) k 22 ( 2) n 22

+ Áp dụng công thức (I)

1 1

k C n C 





1 ( 2)( 1 1 1 n 1) ( 2).2n

+ Tìm được :

1

[( 2).2 2 1]

( 1)( 2)

Vậy :

1

[( 2).2 2 1]

( 1)( 2)

Bài toán 3:

Tính tổng:

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (II) :

1 1







7 Trong trang này: Bài toán 2; 3 có tham khảo trong TLTK[4]

19 20 ; 19 20 ; 19 20 ; ; 19 20

tính được:

+ Áp dụng công thức (II), được:

1 2

2 21

3 21





1 1

20 21

1

20.21

+ Tính tổng:

1

20.21

+ Áp dụng công thức (I):







20

1

20.21

(1 1)

+ Tính tổng:

21

1

20.21

1

20.21

[(1 1) (1 21)

20 21 421

C

Bài toán 4:

Tìm n thỏa mãn:

n

Hướng dẫn:

+Áp dụng công thức (II) được:

2 1

2

n n n

n

C C

n

n

















+

1

n

n





+ Có :

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

n

n

n









 + Đẳng thức đã cho trở thành:

2 1

6

n

n





Vậy n = 6

Bài toán 5:

Tìm a và n nguyên dương thỏa mãn:

127

n n

n





Hướng dẫn:

+

n

n

n



+ Áp dụng công thức (II), được:

8 Trong trang này: Bài toán 4; 5 có tham khảo trong TLTK[2]

1

1

n n

C C n

C C n













+ Đẳng thức đã cho trở thành:

1

(1 )

n

a



+ Thay n = 6 vào đẳng thức trên được: (1a)7 128 a1

Vậy n= 6 và a = 1

Bài toán 6:

Tìm hệ số của x20 trong khai triển:

5 3

2

x  , biết :

( 1)

n n

n

C

n



Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (II) được:

1

1 (1 1) 1

12

n n

n n

n

n

n

n











+ Thay n = 12 vào khai triển:

5 6 3

2

x 

có số hạng tổng quát là:

2

x

 + Theo giả thiết : 8k 36 20   k  7

Vậy hệ số là: 2 C5 127

Bài toán 7:

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức:







8 Trong trang này: Bài toán 6; 7 có tham khảo trong TLTK[3]

+ Tổng trở thành:

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

+ Áp dụng công thức (II)

1 1











100 101 100 101 100 101 100 101 100 101

1

101

+ Áp dụng công thức (I)

1 1 k k

k C n C 





1 100

2 100





99 101 99 101 99 101 99 101 99 101

100

101

+ Xét khai triển : (1x)99 C990 x C 991 x C2 992  x C98 9998x C99 9999 (1)

101 0 1 2 2 100 100 101 101

(1x) C x C x C  x C x C (2) + Lấy vế nhân vế của (1) và 92) được hệ số của số hạng chứa x100 là:

C C990 101100 C C991 10199 C C992 10198  C C9999 1001

+ Trong khai triển: (1x)200 có hệ số của số hạng chứa x100là: 100

200

C

nên ta được: C C990 101100 C C991 10199 C C992 10198  C C9999 1001 = C200100

Vậy

100 200

100 101

D C

Bài toán 8:

Tính tổng:

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức (II)

1 1







9 Trong trang này: Bài toán 8 của tác giả

2018 2019

2018 2019





2 2 4 4 6 6 2018 2018

2019 2019 2019 2019

1

2019

1

2019

1

2019

+ Xét khai triển

(1 x) C xC x C  x C x C (1)

+ Thay x = 2 vào khai triển (1):

2019 0 1 2 2 2018 2018 2019 2019

+ Thay x = -2 vào khai triển (1) được:

2019 0 1 2 2 2018 2018 2019 2019

+ Cộng vế với vế được:

2019

2019

2

2





(2) + Thay x = 1 vào khai triển (1) được:

2019 2019 2019 2019 2019

+ Thay x = -1 vào khai triển (1) được:

2019 2019 2019 2019 2019

0C  C C  C  C

Cộng vế với vế được:

2019 2019 2019 2019 2019

2019 2019 2019 2019

2

2

2



(3) + Từ (2) và (3)

Bài toán 9:

Tính tổng:

10 Trong trang này: Bài toán 9 của tác giả

Hướng dẫn:

+ Áp dụng công thức(II)

1 1







1

F

+ Áp dụng công thức(II), được:

2020 2

2019 2020

1

2019.2020

[(1 2) (1 2.2020)

Vậy

Bài toán 10:

Tính tổng:

n n



Hướng dẫn

+ Áp dụng công thức



1 1

2 1 1 2 1 2 3 1 3 2 1

1

1 1

1

n n n n n n

n n n n n n

n

n





+ Xét khai triển:

+ Thay x = 2 vào khai triển trên được :

0

1

2

n n n

C



0

1

n

C G

Vậy :

n n

11 Trong trang này: Bài toán 10 có tham khảo trong TLTK[4]

2.4 Kết quả đạt được

Sau khi dạy xong bài này tôi cho học sinh lớp 11A3 làm bài kiểm tra để kiểm tra tính khả thi của đề tài và đối chiếu với kết quả kiểm tra trước khi học bài này, tôi thu được kết quả như sau :

Đề kiểm tra

Bài 1: Tính tổng

a/

Bài 2:

a/ Tìm số tự nhiên n biết:

b/ Tìm hệ số của x20 trong khai triển

5 3

2

x  biết:

( 1)

n n

n



Trước khi học bài này

Tổng số

học

sinh

Điểm Giỏi (8-10)

Điểm Khá (6,5-dưới 8)

Điểm TB (5- dưới 6)

Điểm Yếu (3,5- dưới 5)

Điểm Kém (<3,5)

45 8(17,8%) 15(33,3%) 15(33,3%) 5(11,1%) 2(4,5%)

Tổng số

học

sinh

Điểm Giỏi (8-10)

Điểm Khá (6,5-dưới 8)

Điểm TB (5- dưới 6)

Điểm Yếu (3,5- dưới 5)

Điểm Kém (<3,5)

45 15(33,3%) 21(46,7%) 8(17,8%) 1(2,2%) 0(0%)

12 Trong trang này: Bài toán 1;2 có tham khảo trong TLTK[1]; [4]

3 Kết luận

3.1 Hạn chế

Do khuôn khổ của đề tài có hạn, nên còn một số dạng tổng tôi vẫn chưa tìm được công thức thay thế để giải

Do thời gian có hạn và tính chủ quan của tác giả, bài viết còn nhiều thiếu sót Rất mong quý thầy cô, các em học sinh và các độc giả góp ý chân thành để bài viết của tôi hoàn thiện và ứng dụng rộng rãi hơn

3.2 Kiến nghị

Tôi xin được kiến nghị với, Lãnh đạo các Ban ngành Sở GD và ĐT Thanh Hóa,Ban Giám Hiệu các trường THPT tạo điều kiện về mặt thời gian,

cơ sở vật chất để chúng tôi có các buổi ngoại khóa Liên môn Mặt khác cũng cho phép chúng tôi được co, giãn bài giảng để phù hợp với trình độ của từng đối tượng học sinh, đáp ứng nhu cầu và nguyện vọng học tập của các em

Tôi xin chân thành cám ơn

Xác nhận của Ban giám hiệu Hoằng Hóa, ngày 26/5/2018

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến của tôi