Xuất phát từ một bài toán đẹp về hai đường tròn tiếp xúc trong một đề thi, tác giả đã có nhiều nguồn cảm hứng và sáng tác được một số bài toán thú vị khác.. Bài viết nhỏ này là tổng hợp [r]
Trang 1Một chuỗi bài toán đẹp về hai đường tròn
tiếp xúc nhau Nguyễn Đăng Khoa ∗
Ngày 21 tháng 12 năm 2020
Tóm tắt nội dung Xuất phát từ một bài toán đẹp về hai đường tròn tiếp xúc trong một đề thi, tác giả đã
có nhiều nguồn cảm hứng và sáng tác được một số bài toán thú vị khác Bài viết nhỏ này là
tổng hợp lại những kết quả đó mà tác giả mong muốn giới thiệu cùng bạn đọc
Bài toán 1 (Warm up) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A của (O)
cắt BC tại D Đường thẳng OD cắt AC, AB tại E, F Dựng hình bình hành AEXF và lấy Y, Z
lần lượt là giao điểm của XE, XF với BC Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với
đường tròn (O)
M
C'
B'
P
Y Z
X
F
E
D
Z
Y
J
X E
H'
H
O A
O
C
D A
B
Lời giải Gọi P là điểm đối xứng với A qua OD, tức là DP là tiếp tuyến của (O)
thẳng hàng
∗THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ
1
Trang 2Thật vậy, lấy M là trung điểm BC thì ta có bốn điểm A, O, M, D nằm trên đường tròn đường kính DO
Ta có biến đổi
BY
AE
AD
AB
AB
BP
0
CB0
nên (P Y Z) đi qua điểm X hay ta có đpcm
Bài toán 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm Một đường thẳng bất
kì đi qua H cắt hai cạnh AC, AB tại D, E Đường thẳng qua D vuông góc với AC và đường thẳng qua E vuông góc với AB cắt nhau X và lần lượt cắt BC tại điểm Y, Z Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
Z
Y
J
X E
H'
H
O A
D
Do đó J E, ED đối xứng nhau qua đường thẳng AB, chú ý rằng EY ⊥ AB nên EY là phân
Từ đó ta có X, A lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác J DE nên ba điểm J, X, A thẳng hàng Lập luận tương tự ta cũng rút ra được B là tâm đường
Lập luận tương tự bài toán 1, ta rút ra được đpcm
Trang 3Bài toán 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và kẻ đường kính AA0 Một đường thẳng
thẳng qua E vuông góc với AC tại X Đường thẳng XD, XE lần lượt cắt BC tại Y, Z Chứng
minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với (O)
K
P X
E
A'
Z
Y
J
X E
H'
H
O A
O
C
D A
B
D
Lời giải Ta lấy K là giao điểm của DX với AB và P là giao điểm thứ hai của DE với (O)
thẳng hàng
Bài toán 4 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng bất kì đi
qua O cắt hai cạnh AC, AB tại D, E Đường thẳng qua D song song với OB cắt đường thẳng
qua E song song với OC tại X DX, EX lần lượt cắt BC tại Y, Z Chứng minh rằng đường tròn
(XY Z) tiếp xúc với (O)
(O) Gọi Q là giao điểm DE với BC
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với ba điểm D, E, Q thẳng hàng thì ta có
QB
EB
Nhận thấy,
BE
BE
sin ∠EOB
sin ∠ADO
AE
Lại áp dụng định lý Cevasin cho tam giác ADE với AX, EX, DX đồng quy và chú ý rằng
∠AEX = ∠ADX do tam giác ABC cân tại A, ta có
sin ∠XDE
sin ∠EAX
P B
P C. 3
Trang 4Q
P
A'
X Z Y
D
A
K
P X
E
A'
O
C
O
C
B
D
B E
P B
tiếp
− ∠Y XZ Từ đây ta có P Y XZ nội tiếp và dễ dàng suy ra được đường tròn này tiếp xúc với (O) tại P
Bài toán 4.1 (Tổng quát) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Một đường
BC tại Y, Z Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với (O)
Z
X Y
E
O'
R
X
Y
A'
A
O
C
A
B
B
D
Trang 5Bài toán 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Dựng hình bình hành ABA0C, đường
và ZY k OB Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
R
X
Y
A'
C'
Q
P
A'
X Z Y
D
A O
C
O
C
A
B
B E
nên ta có ba điểm P, Q, X thẳng hàng Hoàn toàn tương tự ta có R, P, Y thẳng hàng
Ta có
= 2∠BAC = ∠BOC = ∠XZY, nên điểm P nằm trên đường tròn (XY Z)
Và ta cũng có
Suy ra đường tròn (XY P ) tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm P hay ta có đpcm
5
Trang 6Bài toán 6 Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là O Đường thẳng
qua H và vuông góc với AO lần lượt cắt AC, AB tại X, Y Lấy điểm Z sao cho XZ k OC và
Y Z k OB Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với (O)
P
H'
Z
Y
X H
Z
X Y
E
O'
A
O
C
O
C
A
B
B
D
đường tròn (O) Ta có
Lại có
Bài toán 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại
cho XZ k OC, Y Z k OB Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
Hướng dẫn Tư tưởng chứng minh bài toán này giống bài toán số 5
tại Q, R
• Sử dụng định lý Pascal để có Q, P, X và R, P, Y thẳng hàng
• Biến đổi góc để có P nằm trên đường tròn (XY Z)
• Tiếp tục biến đổi góc rồi suy ra (XY Z) tiếp xúc với (O) tại điểm P
Trang 7Một chuỗi bài toán đẹp về hai đường tròn tiếp xúc nhau
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
R
Q
P
X
A'
D T
O
C
A
B
Bài toán 8 (Tổng quát bài toán 2 và bài toán 4) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
D, E Đường thẳng qua D song song với BK cắt đường thẳng qua E song song với CK tại X Lấy
Y, Z là giao điểm của EX, DX với BC Chứng minh rằng (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
B'
C'
T
Z
Y X
D K
P
O
C
A
B
Q E
7
Trang 8Khi đó ∠EY B = ∠C0CB = ∠ET B nên tứ giác BEY T nội tiếp Tương tự thì ta có CT ZD là tứ giác nội tiếp Từ đây biến đổi góc như các bài trước để có (XY Z) đi qua T và tiếp xúc với (O) tại T
Nhận xét Đây là bài toán thể hiện cho việc đôi lúc chứng minh bài toán tổng quát còn đơn giản hơn rất nhiều với những bài toán cụ thể Trong bài toán này tính chất A, X, T thẳng hàng vẫn được bảo toàn Công việc này xin nhường cho bạn đọc
Bài toán 9 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng bất kì đi qua O cắt AC, AB tại D, E Dựng hình bình hành ADXE và lấy XD, XE cắt BC tại Y, Z Kẻ đường
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
M N
S
R
P Q
T K
A'
Y Z
X
D O
A
E
CD
BZ
CM
BN
CY
BZ
Ta dựng đường thẳng qua O song song với BC cắt AC, AB tại P, Q Khi đó dễ dàng có (AP Q)
đi qua K
Trang 9Ta lấy R, S lần lượt là giao điểm của OY, OZ với A0P, A0Q Dễ dàng biến đổi góc để có 5 điểm
ta có QY và ZP cắt nhau tại điểm T nằm trên ω
ta có ω tiếp xúc với (AK) tại T
Bài toán 10 (Bài toán rèn luyện) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy D, E, K là các điểm bất kì trên đoạn AC, AB, DE Đường thẳng qua D song song với BK cắt đường thẳng qua E song song với CK tại X Lấy Y, Z là giao điểm của EX, DX với BC Gọi T là giao điểm thứ hai của AX với đường tròn (O) Chứng minh rằng bốn điểm X, Y, Z, T đồng viên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
Q
W T
Z Y
X O
C
A
B E
D K
P
Bài toán 11 (Bài toán rèn luyện) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng
cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai là X Lấy Y, Z là giao điểm của XD, XE với BC Chứng minh rằng đường tròn (XY Z) tiếp xúc với (O)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
Y Z
D O
C B
A
E
9