Chứng minh rằng: luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2011 – 2012
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 04/04/2012
Bài 1:
1 Chứng minh rằng: A=¿ (a2012 + b2012 + c2012) - (a2008 + b2008 + c2008) chia hết cho 30 với mọi a, b nguyên dương
2 Cho f(x) = ( 2x3 – 21x – 29)2012 Tính f(x) khi x = 3
√7+√498 + 3
√7−√498
Bài 2:
1 Giải phương trình: √x2 +5+3 x=√x2
+ 12+5
2 Giải hệ phương trình: {x2+xy +x− y −2 y2= 0
x2−y2+x+ y=6
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2 x2−5 x y+3 y2−x+3 y −4=0
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC, A là điểm tùy ý trên đường tròn Từ A
hạ AH vuông góc BC và vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB, AC ở M và N
1 Chứng minh: OA vuông góc với MN
2 Cho AH = √2 , BC = √7 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
Bài 5:
1 Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao h1, h2, h3
và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là:
1
h1+2h2+
1
h2+2h3+
1
h3+2 h1=
1
3 r
2 Cho 8045 điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ ba điểm bất kỳ thì tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn một Chứng minh rằng: luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC