ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013 CÓ LỜI GIẢI

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013 CÓ LỜI GIẢI

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 9 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: a) Giải phơng trình x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2

b) Với giá trị nào của tham số a thì phơng trình sau có nghiệm: a x2 22a 3 1 x   x 4 2 3 4 (*)

Lời giải: a) Ta có x 2 3 2x 5 12x 5 6 2x 5 9 1 2x 5 32 0

ĐKXĐ: 2x 5 0 x 5

2

Phơng trình tơng đơng 2x 4 6 2x 5    2x 4 2 2x 5   4

 2x 5 32  2x 5 12 4 2x 5 3 2x 5 1 4

1 2x 5 1 2x 5

      Ta có 1 2x 5  1 2x 5 , do đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2x 5  0 2x 5  1 2x 5 1   x 3

Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của phơng trình là 5 x 3

2  b) ĐKXĐ: x 4  0 x4

Phơng trình tơng đơng a x2 22a 3 1 x 4 2 3     x 4

Ta có a x2 22a 3 1 x 4 2 3    a x2 22a 3 1 x   3 1  2 ax 3 1 2  ; 0

x 4 0

a x 2a 3 1 x 4 2 3 0 a x 2a 3 1 x 4 2 3 0

x 4

x 4 0





Để phơng trình (*) có nghiệm thì phơng trình a x2 22a 3 1 x 4 2 3    0 có nghiệm x = 4

4



Bài 2: a) Tìm GTNN của biểu thức  P 1 4x 4x 2  4x212x 9

b) Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên x2 ax a 2  0

P 1 4x 4x   4x 12x 9  2x 1  2x 3 2x 1  2x 3

2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 4

GTNN của P là 4

b) Để phơng trình có nghiệm nguyên thì   0 2  2

 a 2 2 3  ; a 2 2 3  Khi đó gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình Theo hệ thức Viets ta có

1 2

1 2

x x a 2





 



x – 1 và x – 1 là ớc của 3 Giả sử x  x thì x – 1  x – 1 Ta có 2 trờng hợp sau:

1 1



khi đó a = 6 và 1 1



khi đó a = -2

Đối chiếu điều kiện ta có a  2; 6 là giá trị cần tìm

Bài 3: a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) có phơng trình m 3 x   m 2 y m 1 0     (m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định A Tìm tọa độ A

b) Giải hệ phơng trình sau:

2 2

(1) (2)

x y 3 x 2 4

x y 2xy 4x 4y 5







Lời giải: a) Ta có m 3 x   m 2 y m 1 0      mx my m 3x 2y 1 0     

m x y 1 2y 3x 1 0

       đúng với mọi m khi và chỉ khi x y 1 0 2x 2y 2 0

2y 3x 1 0 2y 3x 1 0



Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định A(1; 2)

b) Từ phơng trình (2) suy ra x y2 4 x y  4 9 x y 22 9 x y 2 3

  





x y 1

 



   



Với x – y = 1 thay vào phơng trình (1) đợc x 2 2 x 2 2 x 4

x = 4  y = 3; x = 0  y = -1

Với x – y = -5 thay vào phơng trình (1) đợc x 2 4 vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phơng trình là x;y 4;3 ; 0; 1    

Bài 4: Cho ABC đều cố định nội tiếp trong đờng tròn (O) Đờng thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB

tại điểm E (E  A) Đờng thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) lần lợt tại M và N, MC cắt BN tại F Chứng minh rằng

a) CAN  BMA và MBC  BCN

b) Tứ giác BMEF nội tiếp đợc đờng tròn

c) Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi

ACN sđ AC ABC 60 2

MBA sđ AB ACB 60 ACN MBA

2

ANC sđ EBC AC

2

sđ EBC BC sđ BE BAM

Xét CAN và BMA có

ACN MBA

ANC BAM









 CAN  BMA (g – g)

A

N

M

O

E

F

K I

Xét MBC và BCN có

BC BM

CN CB MBC BCN 120











 MBC  BCN (c – g – c)

b) Xét MBC và BFC có



BMC CBF (vì MBC BCN) BCM chung









 (g – g)

BFC MBC 120 BFM 60

     Mặt khác BCAAEB 180  0, BEM AEB 180  0 

BEM BCA 600 Suy ra BEM BFM 600, tứ giác BMEF nội tiếp (E, F cùng nhìn MB dới 1 góc bằng nhau)

c) Đờng thẳng EF cắt đờng tròn (O) tại K Ta có BMFCBF (vì MBC  BFC); BMFBEF (góc nội tiếp cùng chắn BF ); BMFBCK (góc nội tiếp cùng chắn BK )  CBF BCK  BF // CK (1)

BKC sđ BAC 120 KBF 60 2

BFC 120  BK // FC (2)

Từ (1) và (2)  tứ giác BFCK là hình bình hành Do đó EF đi qua trung điểm I của BC cố định

a 3b b 3c c 3a a 2b c  b 2c a  c 2a b 

Lời giải: Với x, y > 0 ta có 1 1 4

xy x y Thật vậy 1 1 4 x y2 4xy x y2 0

xy x y       với x, y Dấu

“=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

a 3b b 2c a  a 3b b 2c a    a 2b c 

b 3c c 2a b  b 3c c 2a b    b 2c a 

c 3a a 2b c  c 3a a 2b c    c 2a b 

a 3b b 3c c 3a a 2b c  b 2c a  c 2a b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a 3b b 2c a

b 3c c 2a b a b c

c 3a a 2b c









Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn