30de thi hsg toan 7

Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E... Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của[r]

Trang 1

Đề số 1:

đề thi học sinh giỏi huyện

Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:

a)

1 16 2 8

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x − 2006| + |2007 − x| Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm

đối diện nhau trên một đờng thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối

tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

Trang 2

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của ba số

ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC HBC

Biết HBE = 50 o ; MEB =25 o Tính HEM và BME

n n



; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bµi 2 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)

Trang 3

2 Thì |2 x+3|=x +2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -

5

3 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x − 2006| + |2007 − x| Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm

đối diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:

33(vũng)=> x=

4

11 (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên

một đờng thẳng là 4

11 giờ

Trang 4

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối

tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI tại F

Δ ABM = Δ DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

A

I

F E

M

Trang 5

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của ba số

Trang 6

Đáp án đề 2 toán 7 Bài 1:(4 điểm):

3

1 72

x x

Trang 7

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30Khi đó ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)

Trang 8

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE

Nên AMI EMK ( c.g.c )

Suy ra AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

A

C I

200

M A

D

8

Trang 9

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy ra DAB DAC 

Do đó DAB 20 : 2 100  0

b) ABC cân tại A, mà A 200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 2 800  0

ABC đều nên DBC 600

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 600  200

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên ABM 100

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

Trang 10

Đề số 3:

đề thi học sinh giỏi

Môn Toán Lớp 7

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn

910



và nhỏ hơn

911

Trang 11

vµ nhá h¬n

911

Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x

Trang 12

 thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :

Trang 13

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP  MH

Trang 14

1.a Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm

1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

2.a

Ta có : a2

+a+3 a+1 =

a(a+1)+3 a+1 =a+

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên

do đó ta có các trờng hợp sau :

0,25

Trang 15

¿ {

¿

VËy cã 2 cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

0,250,250,25

3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra a

b=

c

d ( §PCM)

0,50,53.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0)

2 =666 tho¶ m·n VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36

0,25

0,54

Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H

0,5

0,51,01,0

Trang 16

Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB =

450+300=750

5 Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2

nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2

chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19

không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài

là (2;3)

0,250,25

Đề số 5:

Trang 17

Bài 3 (1đ):

Một con thỏ chạy trờn một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng

cỏ và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy Thời gian con thỏ chạy trờn đồng cỏ bằng nửathời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc của con thỏ trờn đoạn đường nào lớn hơn ? Tớnh tỉ số vận tốc của conthỏ trờn hai đoạn đường ?

1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đú

2, Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song songvới AH cắt AC tại E

Chứng minh: AE = AB

Đề số 6:

Bài 1 (4đ):

Cho cỏc đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

3 4 16

1, Tớnh M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

2, Tớnh giỏ trị của M(x) khi x =  0, 25

3, Cú giỏ trị nào của x để M(x) = 0 khụng ?

Trang 18

Tỡm giỏ trị nguyờn của m và n để biểu thức

n n



 cú giỏ trị nguyờn nhỏ nhất

Bài 4 (5đ):

Cho tam giỏc ABC cú AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm của BC

kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc trong của gúc A, cắt cỏc đường thẳng AB,

Trang 19

Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh

Trang 20

Đề số 8:

Trang 21

Đề số 9:

Bài 1: (2 điểm)

a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1 ,25 7 −4

5 1, 25)+31 ,64 B=(11, 81+8 , 19) 0 , 02

9 :11, 25

Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

b) Số A=101998− 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận tốc

An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

a) Chứng minh rằng: ABF = ACE

Trang 22

Đề số 10:

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh

đó tỉ lệ với ba số nào ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt

AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

đổi trên cạnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số 7 n− 8

2n − 3 có giá trị lớn nhất.

Trang 23

Đề số 11:

c c+a không là số nguyên.

b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng: ab+bc+ca ≤ 0

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm

P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2

Trang 24

Đề số 12:

Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:

A= 5n(5n+1)− 6n(3n+2) ⋮91b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P2

Cho ABC có góc A bằng 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB

b) Tính số đo góc EDF và góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

52 p+1997=52 p2+q2

Trang 25

Đề số 13:

b) Tìm các số nguyên x để B=|x −1| + |x −2| đạt giá trị nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng: P(x) ¿ax3+ bx2+cx+d có giá trị nguyên với mọi x nguyênkhi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,

Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: 3 a+2 b ⋮17⇔10a+b⋮17 (a, b  Z )

Trang 26

Đề số 14:

z +t x+ y+

t +x y+ z

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) Vẽ AE  AB và AE = AB (E và

C khác phía đối với AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH) EF cắt AH ở O

Chứng minh rằng O là trung điểm của EF

Bài 5: (1 điểm)

So sánh: 5 255 và 2 579

Trang 27

Đề số 15:

8−

1

52+

1 68

z x+ y − 2=x + y +z (x, y, z 0 )

Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là

AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC Trên nửamặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc

Ay sao cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP Chứng minh:

Trang 28

Đề số 16:

Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Trang 29

Đề số 17:

Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

Câu 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức A=3 x2− 2 x +1 với |x| = 1

2b) Tìm x nguyên để √x+1 chia hết cho √x −3

Trang 30

Đề số 18:

1,4 −7

9+

7 11

−

1

3−0 ,25+

1 5

11

6− 0 , 875+0,7b) Tính tổng: P=1 − 1

Câu 2: (2 điểm)

1) Tìm x biết: |2 x+3|− 2|4 − x| =5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất đi từ Kép đến BắcGiang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời thứ haibằng 3: 4 Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi là 2: 5 Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f (x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho3

Trang 31

Đề số 19:

Trang 32

Đề số 20:

2 , 75− 2,2+11

7 +

11 3

Câu 3: ( 2 điểm)

Bây giờ là 4 giờ 10 phút Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diệnnhau trên một đờng thẳng

Câu 4: (2 điểm)

Cho ABC vuông cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của

ABD, đờng cao IM của BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C tại N

Tính góc IBN ?

Câu 5: (2 điểm)

Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?

Trang 33

Đề số 21:

− 0 ,625+0,5 − 5

11 −

5 12

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C

có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB Trênnửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy

điểm E sao cho AE = AC Chứng minh rằng:

Trang 34

Đề số 22:

d chia hết cho 6

Bài 3: (2 điểm)

a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày Mộtbạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3

Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

d +a b+c

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I

a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600

b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt là M và N.Chứng minh BM > MN + NC

Trang 35

Đề số 23:

z +t x+ y+

t +x y+ z

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = α Trên cạnh AC lấy điểm E sao chogóc EBA= 1

3α Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC

Chứng minh tam giác CED là tam giác cân

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :

a3+3 a2+5=5b và a+3=5 c

Trang 36

Đề số 24:

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba

địa điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng) Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h Vậntốc của ngời đi từ B là 24 km/h

Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi Biết họ đến C cùng một lúc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các

điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE Gọi I, K lần lợt làgiao điểm của DE với AB và AC

Tính số đo các góc AIC và AKB ?

Trang 37

A = a

b+c=

c a+b=

Câu 5 (3đ) Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM E  BC,

BH,CK  AE, (H,K  AE) Chứng minh  MHK vuông cân

Đề số 26:

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2đ)

a, K là trung điểm của AC

b, BH = 2

AC

c, KMC đều

Trang 38

Câu 5 (1,5 đ)

Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dới đây đúng một nửa và sai 1 nửa:

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2

b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3

c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4

Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn

Đề số 27:

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy

Trang 39

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú A 20  0, vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

e) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC

f) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tỡm x y  , biết: 25 y2 8(x 2009)2

-Đề số 28:

Trang 40

Đề số 29:

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn

910



và nhỏ hơn

911

Câu 3: Trong 3 số x, y, z có 1 số dơng , một số âm và một số 0 Hỏi mỗi số đó thuộc loạinào biết:

x y  y zCâu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

x y

a, ; xy=84

3 71+3y 1+5y 1+7y

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	345,07 KB