Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE.. a..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG
HƯNG TRƯỜNG TH&THCS AN
CHÂU
ĐỀ THI CHỌN NGUỒN HỌC SINH
GIỎI Năm học: 2019 -2020 Môn thi: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể giao
đề)
Câu 1: (4,5 điểm).
a Tính giá trị của các biểu thức sau:
A =
4 7 5 5 4 5
9 11 7 9 11 7
B =
b Tính giá trị của biểu thức: P = 3x2 4y3 2020tại x,y thỏa mãn:
20
5 ( 3) 0
x y
Câu 2: (4,5 điểm)
a x2(x+2) + 4(x+2) = 0
b Tìm x biết: 5x2 5x 66 5x1 106
c Tìm 3 số x, y, z biết rằng: 6 5; 2 7
và x + y –z = -143
Câu 3: ( 3 điểm)
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó lay bội của 18 và chữ
số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3
Câu 4: (6 điểm)
1 Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE
a Chứng minh: DC = BE và DC BE
Trang 22 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm Điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC Gọi M
là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB
Câu 5: (2 điểm)
Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 chứng minh rằng:
2
bc ac ab
HẾT
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM
m
1
(4,5
đ)
a Tính giá trị của các biểu thức sau:
4 7 5 5 4 5
9 11 7 9 11 7
A
4 7 5 4 5
:
9 11 9 11 7
:
9 9 11 11 7 5
1 1 :
7 5
0 : 0 7
A
A
A
A
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 4
1
2 1
2
3
456
114 4
B
B
B
B
B
b
Do
x y x y
với mọi x,y
Kết hợp
20
5 ( 3) 0
x y
=>
5 0
x
và
20 (y 3) 0 5; 3
x y
Giá trị của biểu thức : P=
2 3
3x 4y 2020
tại x= 5; y=
-3
là: P = 3.52 – 4(-3)3 + 2020= 75+108+2020= 2203
Vậy P = 2203
0,5
0,25 0,25 0,5
2
(4,5
đ)
a x2(x+2) + 4(x+2) = 0
=> (x2 + 4) (x+2)= 0
=> x2 + 4 = 0 hoặc x+2= 0
=> x2 = - 4 ( loại ) vì x2 ≥0 với mọi x)
x+2= 0 => x = -2
vẫy x = -2
b Tìm x biết:
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 52 1 6
1 6 6 6
1 6
1 6 7
x x x x
x x
c Tìm 3 số x, y, z biết rằng: 6 5; 2 7
và x + y –z = -143
Ta có:
;
6 5 12 10 2 7 10 35
12 10 35
Áp dụng tích chất của dẫy tỉ số bằng nhau ta có:
143
11
12
10
35
x
x y
y z
z
Vậy x= 132, y= 110, z =385
0,25 0,25
0,5 0,25
0,5
0,25 0,25 0,25
3
(3đ) Gọi a, b, c là các chữ số của số có 3 chữ số cần tìm.Giả sử a ≤ b ≤ c ≤ 9
Ta có 1≤ a+ b + c ≤ 27
Mặt khác số càn tìm là bội số của 18 nên là bội của
9
Do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b
+ c = 27
0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25
Trang 6A
C
E D
M
H
N K
DAC = BAE
DAC = BAE
Theo bài ra ta có: 1 2 3 6
Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c =
18
a = 3, b = 6, c = 9
Do số phải tìm lay bội số của 18 nên chữ số hang
đơn vị chẵn vì vậy hai số cần tìm là 396; 936
0,5
4
6 đ 1 (4 đ)
- GT, KL đúng
a * Chứng minh DC= BE
Ta có: + = 900 +
Tương tự: = 900 +
=>
Xét DAC vàBAE có AD = AB (ABD vuông cân tại
A)
AC = AE (ACE vuông cân
tại A)
(cmt)
0,5
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 7AND =KNB ADNC= KBN
DAN = BKN
DAN BKN
CAI = AED AED + EAH
A
I
C
B
M D
E
r r r
DC = BE ( Định nghĩa tam giác bằng nhau)
* Chứng minh DC BE
Gọi K, N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB
AND và KNB có ( đối đỉnh)
(DAC và
BAE)
(định lí tổng ba góc trong tam
giác)
Mà : = 900 ((ABD vuông cân tại A)
= 900
DC BE tại K
b Chứng minh A, H, M thẳng hàng:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA
Chứng minh AMB = IMC ( c- g- c)
CI = AB và CI //AB
Chứng minh: ( cùng bù )
Chứng minh: ACI = EAD ( c- g- c)
=> mà = 900 (AHE
vuông tại H)
=> = 900 => = 1800 => M,
A, H thẳng hàng
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
2 (2 đ)
- Giả thiết , Kết luận
Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh
0,25
0,25 0,25
Trang 8ABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 ( định ly
pitago)
Tính BC = 5cm
Chứng minh CEI =CMI ( cạnh huyền – góc nhọn)
CE= CM
Tương tự: AE = AD; BD = BM
Chứng minh 2
BC BA AC
5 3 4
2( ) 2
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
5 (2
đ)
Vì 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 nên:
(a - 1) ( b - 1) ≥ 0 ab + 1 ≥ a + b
(1)
bc b c ac a c
bc ac ab b c a c a b
Mà
2 (5)
Từ (4) và (5) => 2
bc ac ab (đpcm)
0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25