Phơng pháp 2: áp dụng đối với các biểu thức có dạng: y=.[r]
Trang 1Chuyên đề: Tháng 10/2009 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=f(x)
*) Bài toán tổng quát: " Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) ".
Để giải các bài toán dạng này ta sử dụng một trong các phơng pháp sau:
Ph
ơng pháp 1 : Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn:
Ta biến đổi y = f(x) sao cho:
+) y = M - [ g(x)]2n , n Z+ ⇒ y M Do đó ymax = M khi và chỉ khi g(x) = 0
+) y = m + [h(x)]2k , k Z+ ⇒ y m Do đó ymin = m khi và chỉ khi h(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
HD: Ta có : y = ( x2 + 5x + 4 )( x2 + 5x + 6 )
= ( x2 + 5x + 4 )( x2 + 5x + 4 + 2 )
= ( x2 + 5x + 4 )2 + 2( x2 + 5x + 4 ) + 1 - 1
= ( x2 + 5x + 4 +1)2 - 1 = ( x2 + 5x + 5 )2 - 1
Do ( x2 + 5x + 5 )2 0 nên y -1 Vậy miny = -1 ⇔ ( x2 + 5x + 5 )2 = 0
⇔ x = − 5 ±√5
Ví dụ 2: Cho P = - 2x2 - y2 + 2xy + 6x - 8 Tìm Max P
Giải :
P = - x2 + 2xy - y2 - x2 + 6x - 9 + 1 = - (x - y)2 - (x - 3)2 + 1
Vì - (x - y)2 0 và - (x - 3)2 0 => P = - (x - y)2 - (x - 3)2 + 1 1
Dấu “=” xảy ra
<=>
x − y¿2=0
¿
x −3¿2=0
¿
¿
¿
<=>
x= y x=3
¿ {
Vậy MaxP = 1 x = y = 3
Ph
ơng pháp 2 : áp dụng đối với các biểu thức có dạng:
y = A (x)
B(x ) với B(x) 0.
Cách 1: Chia tử cho mẫu để đa về dạng: y = a ± b
B(x ) .
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
g(x) = x
2
−2 x −2
x2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
Ta có: g(x) = 3 x
2
−(2 x2+2 x+ 2)
x2+x +1 =
3 x2
x2+x+1 - 2 -2 ( do
3 x2
x2+x+1 0 ).
Đẳng thức xảy ra khi x = 0 Vậy min g(x) = -2 khi x = 0
b) Tìm giá trị lớn nhất: x 0
Trang 2Ta có: g(x) =
3 1+1
x+
1
x2
- 2 mà 1 + 1x+ 1
x2 =
3
4+(12+
1
4
⇒ g(x) 4 - 2 = 2, đẳng thức xẩy ra khi x = -2 Vậy max g(x) = 2
khi x = -2
Ví dụ 2: Cho y = a
2
− 2 a+3
a2 +2 Tìm Max y.
Giải: Ta có: 2 a
2− a2− 2 a+4 − 1
a2+2 = 2 -
a+1¿2
¿
¿
¿
2 ( vì
a+1¿2
¿
¿
¿
0) Đẳng
thức xảy ra khi a = -1 Vậy Max y = 2 khi a = -1
Cách 2: Tìm miền giá trị
Ví dụ : Cho y = x
2
+1
x2
+x+1 (1) Tìm Max y, Min y.
Ta có (1) ⇔ y( x2
+x +1 ) = x2 + 1 hay (y - 1)x2 + yx + (y - 1) = 0 để (1) thoả mãn thì : Δ = y2 - 4(y - 1)2 0 ⇔ (3y - 2)(2 - y) 0 ⇔ 2
3
y ≤ 2
Vậy 2
3
x2 +1
x2
+x+1 2 Vậy Max y = 2 khi x = -1 Min y =
2 3
khi x = 1
Ph
ơng pháp 3 : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Ta có: a + b a + b
a - b a - b
Dấu “=” xảy ra <=> a.b 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = √4 x2− 12 x +9 + √4 x2
+4 x +1
Ta có: A = 2 x −3 + 2 x+1 = 3 −2 x + 2 x+1 3 −2 x+2 x +1 = 4
Vậy MinA = 4 ⇔ (3 - 2x )(2x + 1) 0 ⇔ −1
2≤ x ≤
3
Ví dụ 2: Cho y = x - 1 + x- 2 + x - 3 + x + 4 Tìm Min y
Giải:
y1 = x - 1 + x - 2 = x - 1 + 2 - x x - 1 + 2 - x = 1
Vậy my1 = 1 (x - 1) (2 - x) 0 1 x 2
+ Xét y2 = x - 3 + x + 4 = 3 - x + x + 4 3 - x + x + 4 = 7
Vậy miny2 = 7 (3 - x) (x+4) 0 -4 x 3
+ Min y xảy ra ⇔ Miny1 và Miny2 cùng xảy ra
=> Miny = Miny1 + Miny2 = 1+7=8 ⇔ 1 x 2
Ví dụ 3: Tìm Max, Min của y Biết y = x − 2 - x +1
Giải : Ta có: y = x −2−x +1 ‖x − 2− x −1‖ = 3 ⇒ y 3
⇔ -3 y 3 Giá trị x lúc này: (x - 2)(x + 1) 0 x 2 hoặc
x -1
Trang 3Với x = 2 ⇒ y = x − 2 - x +1 = 0 - 3 = -3
Với x = -1 ⇒ y = x − 2 - x +1 = 3 - 0 = 3
Vậy Min y = -3 khi x = 2 Max y = 3 khi x = -1
Ph ơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức cổ điển
1) Bất đẳng thức cô si
Với 2 số không âm a, b thì: a+b
2 √ab với a 0; b 0
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
2 Bất đẳng thức Svác (hay gọi là Bunhia CôpSki)
Với mọi số a, b, c, d bao giờ cũng có:
ac + bd √(a2
+b2
)(c2
+d2
)
Hoặc (ac + bd)2 (a2 + b2) (c2 + d2)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a.d - bc = 0 ⇔ a
c =
b
d (với c 0, d 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 3x(3 - 2x)
Giải: Ta có: y = 3x(3 - 2x) = 3
2 .2x(3 - 2x).
chọn a = 2x , b = 3 - 2x ⇒ a + b = 3
2 .2x(3 - 2x) =
3
3
Do đó ymax = 27
8 khi x =
3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = √x −6 + √x+2
HD: Điều kiện: 6 - x 0 và x + 2 0 ⇔ -2 x 6
Ta có: y2 = ( √6 − x + √x+2 )2 , y > 0
Chọn a = 1; c = √6 − x ; b = 1 ; d = √x+2
⇒ y2 (1 + 1)(6 - x + x + 2) = 2.8 =16 ⇒ y = 4 ⇔ -4 y 4
Do y > 0 nên 0 < y 4 Vậy Max y = 4 ⇔ √x −6 = √x+2
⇔ x = 2
Ví dụ 3: Cho y = x √1− x2 Tìm Maxy
Giải: Điều kiện: -1 x 1
Dùng côsi: y = x √1− x2 x2+1− x2
2 =
1 2
Maxy = 1
2 x = √1− x2 x2 = 1 - x x = √22
Ph
ơng pháp 5 : áp dụng một số bất đẳng thức phụ
1) Với hai số a > 0 , b > 0 ta luôn có a
b+
b
dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a
b=
b
a .
2) a2+b2
2 (a+b2 )2 hay (a + b)2 4ab a, b dấu “=” xảy ra a = b
Trang 4Ví dụ 1: Cho y = x
3+
3
x −2 với mọi x > 2 Tìm Min y.
Giải: Ta có : y = x −2
3
x −2+
2
3 2 +
2
8 3
⇒ Min y = 8
3
x −2 ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x = 5 hoặc x
= -1
Do x > 2 nên loại x = -1 Vậy Min y = 8
3 khi x = 5.
Ví dụ 2:
Cho x + y = 1 Tìm MinA Biết A = x4 + y4
Ta có: A
2 = x
4
+y4
y2¿2
¿
x2
¿2+ ¿
¿
¿
x2+y2
2 (x+ y2 )2
= (12)2 = 1
16 => A
1 8
Vậy MinA = 1
8 x = y = 12
Ví dụ 3: Cho x ; y thoả mãn x + y = 2a ( a dơng không đổi ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2
Giải: Ta có : x2+y2
2 (x+ y2 )2 ⇔ x2 + y2 2a2 Đẳng thức xảy ra khi x = y = a Vậy Min (x2 + y2) = 2a2