De Thi HSG Toan lop 9 20112012

Dây QS của O vuông góc với MN tại trung điểm H của MN; QP kéo dài cắt O’ tai K.. Chứng minh: QK, SI, MN đồng quy.[r]

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN

Môn thi:Toán Thời gian:150’

(Không kể thời gian giao đề) Bài 1:(3đ)

Cho A = (x + y + z)3 – x3 – y3 –z3

a)Phân tích A thành nhân tử(2đ)

b)Chứng minh rằng :nếu x,y,z là các số nguyên cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì A24(1đ) Bài 2:(3đ)

Cho biểu thức P =

 

x



a)Rút gọn P (2đ)

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1đ)

Bài 3: (3đ)

Giải phương trình:

x  x  x  x =2 2

Bài 4: (2đ)

Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:

2 3 3  = x 3 - y 3 Bài 5: (3,5đ)

Cho tam giác ABC cân tại A.Hai điểm M,D tương ứng là trung điểm của BC, AM H là hình chiếu của M trên CD; AH cắt BC tại N, BH cắt AM tai E

Chứng minh rằng: E là trực tâm của tam giác ABN

Bài 6: (5,5đ)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính R và r (R > r ) tiếp xúc ngoài tại P Gọi PM

và PN là hai đường kính của (O) và (O’) Dây QS của (O) vuông góc với MN tại trung điểm H của MN; QP kéo dài cắt (O’) tai K

a) Tứ giác MQNS là hình gì?

b) Chứng minh: 3 điểm S, K, N thẳng hàng

c) QN cắt (O’) tại I Chứng minh: QK, SI, MN đồng quy

d) Chứng minh: HK là tiếp tuyến của (O’)

Hết

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN

Đáp án môn:Toán Thời gian:150’

(Không kể thời gian giao đề)

a)

b)

Áp dụng công thức:

(a + b)3 = a3 + b3 +3ab(a+b) A=[(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 +3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3

= 3(x + y)(xy + xz + yz +z2) = 3(x + y)[x(y + z) + z(y + z)]

= 3(x + y)(y + z)(x + z) Nếu x, y, z là các số nguyên cùng chẵn hoạc cùng lẻ thì:

(x + y)(y + z)(x + z) đều là số nguyên chẵn Nên (x + y)(y + z)(x + z) 8

Do đó: A = 3(x + y)(y + z)(x + z) 24

a)

b)

Rút gọn P: Điều kiện để P xác định:

0 1

x x











P =

= x x 1  2 x 1  2 x  1

= x x 2 x 1 2 x2

= x x1

P = x x 1

=

2

2

x   x    

 

=

2

1 3 3

2 4 4

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

3

4 Đạt được tại x =

1 4

0,25đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,25đ

Bài 3

Giải phương trình: x 2 3 2x 5  x 2 2x 5 =2 2 (1) 3đ ĐK:

5 2

x 

(1)  2x  4 6 2x 5  2x 4 2 2  x 5 = 4   2x 5 3  2   2x 5 1  2

= 4  2x 5 3  2x 5 1 = 4

 2x 5 3 0  (Vì A = -A  A 0

 2x 5 3

 0 2  x 5 3  2

 5 2  x 14

5

7

2 x

  

Vậy: S =

5

2

 

0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Bài 4 Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:

ĐK: x > y > 0 Bình phương 2 vế:

2 3 3 =x x y 3 2 3 xy  2 xy =x y  3 2

 2 xy2

2

2 3

x y

    

 4xy=x y  222 3x y  2 3  

2

4xy x y 2 3

     =2 3x y  2

2

2

x y

xy x y





    





2

3 4

x y

xy











0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ



3 2 1 2

x

y









 

 Vì (xy) Vậy với x =

3

2, y =

1

2 là nghiệm hữu tỉ của phương trình (2)

0,25đ

Bài 5

Xét ∆MHD và ∆CMD:

1 :

90

MDC CMD v

MHD CMD gg MDC chung

hay



















 

HDA HMB cgc

Do đó: AHD=BHM

Từ đó: AHB=DHM =900 Hay BH AN

3,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

A

D

B

C N

M

Mặt khác

Lại có:AM BC(trung tuyến là đường cao)

 E là trực tâm ∆ABN (đpcm)

0,25đ

Bài 6

0,5đ

a) Cm: Tứ giác MQNS là hình thoi

HM = HN(gt)

MBQS(gt)  HQ = HS(đkính và dcung)

 MQNS là hình bình hành Lại có:QS MN(gt)

 MQNS là hình thoi

0,25đ

0,5đ 0,25đ b) Cm: S, K, N thẳng hàng

Nối N với K

Q M

I

P H

N S

K

∆MQP vuông(cạnh MP=2R)  MQK=IV hay MQQK

∆NKP vuông(cạnh NP=2r)  NKQ=IV hay NK QK

 MQ // NK Lại có:MQ // NS(hthoi)

 S, K, N thẳng hàng (đpcm)

0,5đ

0,25đ 0,25đ

c) Cm: QK, SI, MN đồng quy

PI QN(∆PIN vuông)  SPQN

PK NK(∆PKN vuông)  SN QK

 P là trực tâm ∆QSN

Do đó QK, SI, MN đồng quy (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ d) Cm: HK là tiếp tuyến (O’)

Xét ∆QKS vuông tại K có HK là trung tuyến

 ∆KHS cân tại H nên QSN=HKS lại có:PNS =O KN '

Mà QSN+ PNS = 900

 KHS OKN = 900

Nên HKO '=900

 

' '

HK O K



   HK là tiếp tuyến (O’) (đpcm)

0,5đ

0,25đ 0,5đ 0,25đ`