[r]
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HẢI LĂNG NĂM HỌC: 2009-2010
Mụn: TOÁN
Thời gian: 120’ ( khụng kể thời gian giao đề )
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức:
3 3
3
x
1 Rút gọn biểu thức A.
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh: Với x > 1, ta cú: x
√x −1 ≥ 2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b) Cho a > 1, b > 1 Tỡm GTNN của P = a2
b −1+
b2
a − 1.
Bài 3: (2 điểm)
Tỡm một số tự nhiờn cú 4 chữ số mà tổng của số đú và tất cả cỏc chữ số của nú bằng 2001
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, gọi I là giao điểm của ba đường phõn giỏc Độ dài hỡnh chiếu của IB và IC lờn BC lần lượt là a(cm),b(cm)
Tớnh diện tớch tam giỏc ABC
Bài 5: (1 điểm)
Trong các tấm bìa trình bày dới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái
và mặt kia ghi một số:
+ Chứng tỏ rằng để kiểm tra câu sau đây có đúng không: "Nếu mỗi tấm
bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau
của tối đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ?
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2009-2010
MễN TOÁN-VềNG 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
VềNG: 2
A
Trang 2Bài 1
(2 điểm)
3 3
3
x
Ta có: 3x 2 3x 4 3x 12 3 0;1 3x 0, x 0
, nên điều kiện để A có nghĩa là:
3
3 3
3
x
x
3 4 2 3
x
A
x
(
4 0
3
x
)
0,50 0,25
0,50
0,25
0,50
3
Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
x x
Khi đó: A 4
0,50 0,50
Bài 2:
a) Với x > 1, ta cú: x
√x −1 ≥ 2 x ≥ 2√x −1 ⇔ x − 2√x −1≥ 0;
¿ ( Đỳng ) ; 0,5 đ
Vậy bất đẳng thức x
√x −1 ≥ 2 luụn đỳng với mọi x > 1 Dấu “=”xảy ra khi và
chỉ khi x=2 0,5 đ
b) Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 số khụng õm a2
b −1 và b2
a −1 , ta cú:
P = a2
b −1+
b2
a − 12√ a2b2
(a −1)(b −1)=2.
a
√a− 1.
b
√b −1 0,25 đ
Áp dụng kết quả ở cõu a): Với a > 1, b > 1 thỡ a
√a− 1 ≥ 2, b
√b− 1 ≥ 2 0,25 đ
Trang 3b cm
a cm D
I
C B
A
=> a2
b −1+
b2
a − 12 2 2=8
=> P 8
=> Min P = 8 khi a2
b −1=
b2
a −1; a = 2; b = 2 a = b = 2 0,5 đ
Bài 3: (2đ)
Số phải tỡm cú dạng: abcd với a , b, c ,d N và 0 a, b, c, d 9 , a 0 Theo đề bài , ta cú : abcd+ a +b +c +d =2001
1001a +101b + 11c +2d = 2001 (1) (0,25đ)
Từ (1) => 1001a 2001 , a N , a 0
=> a 1 , a N ,a 0 => a =1 (0,25đ)
Ta suy ra : 101b + 11c + 2d = 1000 (2) (0,25đ)
Từ (2) => 101 b 1000 => b 9 (a) (0,25đ)
Mặt khỏc , ta cú : 11c +2d 117 => b >8 (b)(0,25đ)
Từ (a) và (b) , ta cú b = 9 (0,25đ)
11c + 2d = 91 (3)
Suy ra : 73 11c 91 , cN => c = 7 hoặc c=8 (0,25đ)
Từ (3) => c lẻ => c = 7 => d = 7 (0,25đ)
Vậy : Số cú 4 chữ số phải tỡm là 1977
Bài 4:
Ta cú (BD+BF)+(FA +AE) +(EC+CD)=AB+BC+CA (0,25đ)
⇒2BD+2AE+2EC=AB+BC+CA ⇒2BD+2AC= AB+BC+CA
⇒BD= (AB+BC-CA)/2 (0,5đ)
Tương tự : CD =(AC+BC-AB)/2 (0,5đ)
Suy ra: BD.CD= [(AB+BC-CA)/2].[ (AC+BC-AB)/2]
=[BC2 - AB2-AC2+2AB.AC]/4
=AB.AC/2 (Pytago)
=S(ABC) (0,5đ)
Vậy S(ABC) =BD.CD=a.b (cm2) (0,25đ)
Bài 5:
+ Câu: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số
chẵn" đúng khi kiểm tra các tấm bìa ở mặt chữ cái nếu là nguyên âm thì mặt sau
phải là số chẵn, còn tấm bìa nào có mặt chữ cái là phụ âm thì mặt số là số chẵn hoặc lẻ đều không ảnh hởng Núi cỏch khỏc, nếu mặt trước là 1 số lẻ thỡ mặt sau
phải là phụ õm.(0,25đ)
Trang 4+ Do đó nếu lật tấm bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì khẳng định ngay câu trên không đúng, ngợc lại mặt sau là số chẵn thì phải lật tiếp mặt sau của tấm bìa có chữ số 3, nếu mặt đó là phụ âm thì câu trên hoàn toàn đúng, ngợc lại là sai
(0,25đ)
+ Còn mặt sau tấm bìa chữ M có thể số chẵn hoặc lẻ đều đợc, cũng nh mặt sau
tấm bìa số 6 là nguyên âm hoặc phụ âm đều đợc, câu trên đều đúng.(0,25đ)
+ Vậy chỉ cần lật tối đa 2 tấm bìa chữ A và số 3 là có thể kiểm chứng đợc câu
trên là đúng (0,25đ)