Bài tập biến số ngẫu nhiên
Trang 1BT BIẾN NGẪU NHIÊN Xác định biến ngẫu nhiên.
Bài 1 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
[ ]
1 2 1 2
A cos x khi x 0,
f (x)
1
=
Hãy xác định A Tìm hàm phân phối xác suất của X Tính µX, σ2
X, nếu có
Bài 2 Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị
năm) với hàm mật độ như sau
2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x)
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi
Bài 3 Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn
vị tính là Kg) có hàm mật độ
2
f (x)
0 khi x [1, 3]
a) Tìm k
b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,
(ii) hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg
Bài 4 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
2 2
2 2
a cos x khi x ,
f (x)
π π
π π
a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X
Trang 2b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng 4π,π
Bài 5 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
π
π
2
2 với a, b là hằng số
a) Tìm a và b
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X; Mod x ; [ ] [ ]
Me x ; P X > 4π
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6 Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng
ngẫu nhiên có phân bố xác suất là
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất là
Giả sử rằng X và Y độc lập
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y
b) Tính P(X > Y)
Bài 7 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :
Y X
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y
c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Trang 3Bài 8 Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời
như sau
Y X
a) Chứng minh rằng X và Y độc lập
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng E(Z) E(X)E(Y)=
Bài 9 Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời
như sau
Y X
Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và (X, Y)ρ .
Bài 10 Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời
như sau
Y X
a) Tìm µX, µY, cov(X,Y) và (X, Y)ρ
b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11 Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2
bi mang số 2, 3 bi mang số 3 Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số
2, 1 bi mang số 3 Rút từ mỗi hộp 1 bi Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của V =(X, Y).
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y
Trang 4d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.
Bài 12 Tung ba lần độc lập một con xúc xắc Gọi X là số lần mặt chẵn xuất
hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y
b) Tính hệ số tương quan (X, Y)ρ Nhận xét?
ĐÁP ÁN
Bài 1
a) A 2, = µ =X 2
3, σ =
2
X 0.055,
( ) = ≤ ≤<
2
b) A 0.5 , = µ =X π
2,
π
σ =2 2 −
( )
1 1 cosx khi 0 x
2
c) A = π, µ = −
π
π −
σ = π
2
X 23, ( )
( )
1 sin x khi 0 x
2
1
2
d) A 3, = µ =X 3
2, σ =
2 X
3
4 , ( ) − ≥
=
3
1
Bài 2
a) k = 3
64,
Trang 51 2 3 4 0.1
0.2
0.3
0.4
b) 0.0508
Bài 3
a) k = 3
20.
b) (i) µ =X 2.4 kg
(ii)
( )
3
20
(iii) 0.2
Bài 4
a) a = 1
2,
( )
π
π
2
2
b) 0.1465
Bài 5
a) a = 1
2, =
1 b
2. b) Mod x[ ] =0 , Me x[ ] = 0 , > π =
( )
f x
2 2
Trang 6Bài 6.
a)
Y
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015
2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005
b) 0.19
Bài 7
a)
b)
Y
1 0.17 0.15
X
4 0.625 0.625 0.56
5 0.375 0.375 0.44
c) cov(X, Y) 0.02 , = ρ(X, Y) 0.059 =
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8
b)
( ) =
E Z 2.89 , E X( ) =1.7 , E Y( ) =1.7
Bài 9
µ = −X 1
8, µ =Y 0, cov(X, Y)= −0.125 , ρ(X, Y)= −0.1502
Bài 10
a) µ = −X 0.467, µ =Y 0, cov(X, Y) 0, = ρ(X, Y) 0 =
b) X và Y độc lập
Bài 11
a)
Trang 736 336 136
36 636 236
36 936 336
b)
c) µ =X 2.33, µ =Y 1.83, σ =2
X 0.555, σ =2
Y 0.472 d) cov(X, Y) 0.0139 , = ρ(X, Y) 0.027 =
Bài 12
a)
b) ρ(X, Y)= −1 , X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến