Bài giảng số 1 biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập

01 bài giảng số 1 biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

§ 1 Phép thử và biến cố

1 Định nghĩa:

Trước một trận bóng đá, ta thường thấy trọng tài tung một đồng xu sau đó để cho đội trưởng hai đội quan sát xem xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa Ở đây, trọng tài đã thực hiện một phép thử đó là : tung đồng xu

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó khi tiến hành một thí nghiệm, đo lường hay quan sát một hiện tượng gọi là phép thử

Ví dụ 1: + Xem viên đạn có trúng bia hay không người ta phải thực hiện một phép thử : bắn viên đạn

đó vào bia

+ Quan sát số chấm trên một con xúc xắc: Gieo một con xúc xắc

Khi bắn một viên đạn vào bia có thể xảy ra các hiện tượng: viên đạn trúng bia, viên đạn trượt bia Hiện tượng có thể xảy ra khi tung một đồng xu ?

Hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của một phép thử gọi là biến cố

Ví dụ 2:

+) Thực hiện phép thử: tung một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng), hiện tượng xuất hiện mặt sấp là một biến cố hay “biến cố xuất hiện mặt sấp’’; “biến cố xuất hiện mặt ngửa”

+) Biến cố viên đạn trượt bia khi bắn một viên đạn vào bia

+) Phép thử: Gieo một con xúc xắc

-Biến cố xuất hiện mặt 5 chấm

-Biến cố xuất hiện mặt 8 chấm

-Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Ghi chú: Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện

2 Phân loại biến cố

Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau:

+ Biến cố chắc chắn: Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: U

+ Biến cố không thể có: Biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: V

+ Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử, thường kí hiệu: A, B, C A1, B2…

Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc, xét các biến cố sau: loại biến cố?

a.Biến cố “được mặt có số chấm 6”: B/c chắc chắn: U

b.Biến cố “được mặt 7 chấm”: B/c không thể có: V

c Biến cố “được mặt 5 chấm”: B/c ngẫu nhiên A

d Biến cố “Được mặt chấm chẵn” B/c ngẫu nhiên B

Nhận xét: Việc các biến cố trên xảy ra hay không xảy ra là không thể đoán trước được

Biến cố nào dễ xảy ra hơn, phải chăng khả năng xảy ra biến cố B là cao hơn A? Để so sánh, người ta biểu thị khả năng xảy ra các biến cố bởi một con số

§2 Xác suất của biến cố

Khả năng xảy ra của một biến cố được gọi là xác suất của biến cố Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P(A)

Xác suất là một con số xác định phụ thuộc vào những điều kiện xảy ra của phép thử chứ không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Trước hết ta xét ví dụ sau:

Trong một thùng kín đựng 10 quả cầu giống nhau về mọi mặt, chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có

4 quả màu trắng, 6 quả màu đen Thực hiện phép thử: rút hú hoạ một quả Hỏi xác suất rút được quả trắng?

Vì trong thùng có 10 quả, nên có thể xảy ra 10 kết cục, những kết cục này thoả mãn 2 điều kiện: + Tính duy nhất: Kết quả phét thử chỉ xảy ra 1 trong các kết cục trên

+ Tính đồng khả năng: Khả năng rút được mỗi quả là như nhau

Nếu gọi A là biến cố rút ra được quả cầu trắng, ta thấy có 4 khả năng mà nếu xảy ra sẽ xảy ra A Tự nhiên, người ta lấy tỷ số 4/10 là xác suất của biến cố A

Định nghĩa: Giả sử trong 1 phép thử có n kết cục duy nhất đồng khả năng, trong đó có m kết cục

thuận lợi cho biến cố A Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A Kí hiệu: P(A)=m/n

Tính chất: a 0  P ( A )  1

b.P(U)=1, P(V)=0

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất để

a Xuất hiện mặt 5 chấm

b Xuất hiện mặt chấm chẵn

Giải:

Số kết cục duy nhất đồng khả năng: n=6

a Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt 5 chấm” số kết cục thuận lợi cho A là: mA=1 Do đó: P(A)=1/6

b Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt chấm chẵn” Số kết cục thuận lợi cho B là mA=3 (mặt 2, 4, 6 chấm) P(B)=3/6=1/2

Ví dụ 2: Một hộp có 6 quả cầu đen, 4 quả cầu trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 quả cầu Tính xác suất để:

a Lấy được 3 quả cầu đen

b Lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng

Giải:

Số kết cục đồng khả năng: C103

a Gọi A là biến cố “ lấy được 3 quả cầu đen”

Số kết cục thuận lợi cho A: C63

6

1 )

10

3 6





C

C A P

b Gọi B là biến cố “lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng”

Số kết cục thuận lợi cho B: C62.C41

2

1 )

10

1 4 2 6





C

C C B P

Ví dụ 3: Trong một nhóm N sản phẩm cùng loại có M sản phẩm đạt tiêu chuẩn, N-M sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Rút ngẫu nhiên n sản phẩm Tính xác suất sao cho trong số sản phẩm được rút ra có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn

Giải:

Gọi A là biến cố “trong n sản phẩm được rút ra có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn”

Số kết cục đồng khả năng: CnN

Do có thể lấy m sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ M sản phẩm theo CmM cách, còn n-m sản phẩm không đạt tiêu chuẩn từ N-M sản phẩm theo CnN--mMcách Nên số kết cục thuận lợi cho A là: CmMCnN--mM

n

N

m -n M -N m M

C

C C P(A) 

Nhận xét: Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm là dễ vận dụng, tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp

dụng được với các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả năng xảy ra Trong nhiều bài toán thực tế, việc tính hết các kết cục của một phép thử không dễ dàng, chẳng hạn: phép thử bắn một viên đạn vào bia thì

2 kết cục trúng bia và trượt bia không thể xem là đồng khả năng được Để khắc phục hạn chế đó người

ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

2 Định nghĩa thống kê về xác suất :

Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại, trong mỗi phép thử có thể xuất hiện biến cố A, gọi k là số phếp thử xuất hiện biến cố A Khi đó tỷ số k/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử

đã cho, kí hiệu f(A)=k/n

Ví dụ 4: Một người bắn 100 viên đạn vào bia, thấy có 70 viên trúng bia Như vậy tần suất bắn trúng bia của người đó là 70/100=0,7

Người ta nhận thấy nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép thử khá lớn thì giá trị tần suất thể hiện tính ổn định Nghĩa là khi n khá lớn thì tần suất biến thiên rất ít xung quanh một hằng số nào đó

Ví dụ 5: Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta thu được bảng sau:

Từ đó có thể thấy rằng khi số lần tung càng lớn, tần suất xuất hiện mặt sấp càng gần với xác suất xuất hiện mặt sấp

Định nghĩa:

Xác suất của biến cố là giá trị số ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn

Trong thực tế, nếu số phép thử đủ lớn, ta có thể lấy: f(A)P(A)

Ghi chú: + Phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê có phạm vi ứng dụng hết sức rộng

rãi: Tìm ra quy luật diễn biến của thời tiêt, tỷ lệ phế phẩm, lập kích thước quần áo may sẵn…

+ Tuy nhiên, có một số hạn chế như: phải tiến hành số phép thử đủ lớn, xác suất được tìm ra khi đã thực hiện phép thử…

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:

Ví dụ 6: Giả sử châm ngẫu nhiên một mũi kim vào hình chữ nhật U-chiều dài 5cm, chiều rộng 4cm Gọi

A là biến cố “mũi kim rơi vào hình tròn C bán kính 1cm” P(A)=?

Định nghĩa: Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng Giả sử ta có thể biểu thị tập hợp mọi

kết cục đồng khả năng bởi một miền hình học U, những kết cục thích hợp cho biến cố A bởi các điểm thuộc miền con C Khi đó P(A)= Kích thước miền C

Kích thước miền U

Trở lại ví dụ, ta có P(A) = Diện tích hình tròn C = 12.3,14

Diện tích hình chữ nhật U 4.5

4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

- Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra

-Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó chắc chắn xảy ra

Chú ý: Việc quy định một mức xác suất đủ coi là nhỏ hay lớn tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể

Bài tập…

U

C

§3 Các định lý và công thức xác suất

Ở các mục trước chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp tính xác suất của các biến cố bằng định nghĩa Tuy nhiên những cách tính trực tiếp này không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng ngay được

Khi cần tính xác suất của một biến cố A khá phức tạp, thông thường chúng ta phải phân tích A thành các biến cố đơn giản B, C, D…(dễ tính xác suất ), sau đó kết hợp các xác suất trên để tính P(A)

Để kết hợp các xác suất, người ta dùng các định lý xác suất

I Định lý nhân xác suất:

1.1 Định nghĩa: (Tích của 2 biến cố )

Một biến cố A được gọi là tích của hai biến cố B và C nếu A xảy ra khi và chỉ khi B và C cùng xảy ra

Kí hiệu: A= B.C (A=BC)

1.2 Định nghĩa: (tích của n biến cố )

Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2,….An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên đồng

thời xảy ra, kí hiệu 





n

i i

A A

1

1.3 Xác suất có điều kiện:

Xác suất của biến cố A được tính với giả thiết biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với giả thiết B, kí hiệu P(A/B)

Ví dụ 7: Trong hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu (không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ 2 lấy được quả cầu trắng nếu biết:

a Lần 1 đã lấy được cầu trắng

b Lần 1 đã lấy được cầu đen

Giải: Gọi A là biến cố “lần 2 lấy được cầu trắng”

B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”

a P(A/B)=4/7

b P(A/B) = 5/7

1.4 Định nghĩa:

Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra biến cố kia và ngược lại

P ( A / B )  P ( A )  P ( A / B )

P ( B / A )  P ( B )  P ( B / A )

Hai biến cố A và B không độc lập gọi là phụ thuộc nhau

Ví dụ 8: Trong ví dụ trên nếu giả thiết lấy lần lượt 2 sản phẩm có hoàn lại thì A và B độc lập

1.5 Định nghĩa:

Các biến cố A1, A2,….An được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kì trong chúng độc lập với nhau

1.6 Định nghĩa:

Các biến cố A1, A2,….An được gọi là độc lập toàn phần (độc lập trong toàn thể) mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một số bất kì trong các biến cố còn lại

1.7 Định lý nhân xác suất :

Xác suất của tích 2 biến cố bằng tích xác suất của một trong chúng với xác suất có điều kiện của biến cố kia với giả thiết biến cố thứ nhất đã xảy ra P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)

Chứng minh: Giả sử n là số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử; m1 là số kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra; m2 là số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy ra Có k kết cục thuận lợi cho cả hai biến cố A và B cùng xảy ra Hay P(AB)=k/n, P(A)=m1/n

Với điều kiện A đã xảy ra thì số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử đối với biến cố B là m1, trong đó có k kết cục thuận lợi cho biến cố B, hay P(B/A)=k/m1

Ta có: P(AB)=k/n=(m1/n).(k/m1)=P(A).P(B/A)

Tương tự P(AB)= P(B).P(A/B)

Hệ quả 1: Nếu P(B)>0 thì

) (

) ( ) / (

B P

AB P B A

Nếu P(A)>0 thì

) (

) ( ) / (

A P

AB P A B

Hệ quả 2: A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Ta cũng có định lý nhân cho tích n biến cố

Định lý: Nếu P(A1A2….An-1)>0 thì

P(A1A2….An)=P(A1).P(A2/A1)…P(An/A1…An-1)

v à nếu các biến cố A1 , A2….An-1 độc lập toàn phần thì

P(A1A2….An)=P(A1).P(A2)…P(An)

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 cầu trắng, 3 đen Lấy nn lần lượt 2 quả cầu Tính xác suất để lần thứ nhất lấy được cầu trắng, lần thứ 2 lấy được cầu đen

Giải: Gọi A là biến cố “lần 1 lấy được cầu trắng”

B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”

Ta có P(AB)=P(A).P(B/A)=5/8.3/7=15/56

Ví dụ 2: Một người muốn gọi điện thoại nhưng quên 3 chữ số cuối Tính xác suất để người đó bấm nn một lần đúng số máy, biết:

a Người đó không nhớ gì về 3 số đã quên

b người đó nhớ rằng 3 chữ số đó khác nhau

Giải: Gọi A là biến cố “người đó bấm đúng số máy”

B là biến cố “người đó bấm đúng số hàng trăm”

C là biến cố “người đó bấm đúng số hàng chục”

D là biến cố “người đó bấm đúng số hàng đơn vị”

Khi đó A=BCD, P(A)=P(BCD)

a Do B, C, D độc lập nên P(A)=P(B)P(C)P(D)=1/10.1/10.1/10=1/1000

b.B, C, D không độc lập P(A)=P(B)P(C/B)P(D/BC)=1/10.1/9.1/8=1/720

II Định lý cộng xác suất

2.1.Biến cố tổng:

Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là tổng của 2 biến cố B và C nếu A chỉ xảy ra khi ít nhất một trong 2

biến cố B hoặc C xảy ra K/h: A=B+C (hoặc A=BC)

Ví dụ 3: Hai người cùng bắn vào một bia, B là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

C là biến cố “người thứ 2 bắn trúng”

A là biến cố “bia bị trúng đạn” Khi đó A=B+C

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc

B là biến cố “xuất hiện mặt 1 chấm”

C là biến cố “xuất hiện mặt 2 chấm”

A là biến cố “được nhiều nhất mặt 2 chấm” A=B + C

Định nghĩa 2: Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1 , A2….An nếu A xảy ra khi ít nhất một trong

n biến cố ấy xảy ra

K/h: A= A1 + A2….+An

2.2.Tính xung khắc của các biến cố :

Định nghĩa 3: Hai biến cố B, C được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực

hiện phép thử (BC=V)

Định nghĩa 4: Các biến cố A1 , A2….An gọi là đôi một xung khắc (xung khắc từng đôi) nếu 2 biến cố bất kì trong chúng xung khắc.( AiAj=V)

Ví dụ 5: 2 biến cố trong ví dụ 1 không xung khắc

2 biến cố trong ví dụ 2 xung khắc

Định nghĩa 5: (biến cố đối lập)

Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A, là biến cố thoả mãn A+A=U, AA=V

Nhận xét: A và A xung khắc

Ví dụ 6: A là biến cố xuất hiện mặt chấm chẵn

B là biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ

A và B là 2 biến cố đối lập , do đó B=A

Nhận xét: Nếu B, C là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố B,C; B, C; B,C cũng độc lập

Định nghĩa 6:

Các biến cố A1, A2,…An gọi là lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: + Tổng của chúng là biến cố chắc chắn: A1+ A2+…+An = U

+ Đôi một xung khắc

Ví dụ 7:

*Gieo một con xúc xắc:

+ Ai là biến cố “xuất hiện mặt I chấm”

Các biến cố A1, A2,A3…A6 lập thành một hệ đầy đủ

+ A là biến cố “xuất hiện mặt chấm chẵn”

B là biến cố “xuất hiện mặt chấm lẻ”

A, B lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

*Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 1 viên

H1 là biến cố “lấy đựoc bi xanh”

H2 là biến cố “lấy đựoc bi đỏ”

H3 là biến cố “lấy đựoc bi vàng”

H1, H2, H3 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

Định lý ( cộng xác suất):

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Chứng minh:

Giả sử có n kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử

Số kết cục thuận lợi cho A là m1, số kết cục thuận lợi cho B là m2 Do A và B không xung khắc, nên có

k kết cục thuận lợi cho cả AB xảy ra Kết cục thuận lợi cho ít nhất một trong 2 biến cố A, B xảy ra là

m1+m2-k (đpcm)

cách 2: Chứng minh bằng mô tả biểu đồ Ven

Hệ quả 1: Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì P(A+B)=P(A)+P(B)

Hệ quả 2: Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc:

)

( ) 1 (

) (

) ( )

( )

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i

i n

i P A P A A P A A A P A A A

A





















Ví dụ 8:

) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 P A1A2 P A1A3 P A2A3 P A1A2A3

Hệ quả 3: Nếu các biến cố A1, A2,…An đôi một xung khắc thì









n

i

i n

i P A

A

P

1 1

) ( )

(

Ví dụ 9: Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay bị trúng đạn là 0,2; để động cơ thứ 2 bị trúng đạn là 0,3; để phi công bị trúng đạn là 0,1 Tìm xác suất để máy bay bị rơi, biết rằng máy bay bị rơi khi hoặc cả hai động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn

Giải:

Gọi Ai là biến cố “động cơ thứ i bị trúng đạn”, i=1,2

A3 là biến cố “phi công bị trúng đạn”

A là biến cố “máy bay rơi”

A=A1A2+A3, P(A)=P(A1)P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)P(A3)