Bài tập đại số
Trang 1Bài tập (Thời gian: 90 phút) Câu 1 Tính đạo hàm của hàm số
y =
4x + 3
2 − 5x
3x
Câu 2 Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số
y = 2xp3
(2x − 1)2
Câu 2’ Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của hàm số
y =
Z x
100 (t − 1)(t − 2)4d t
Câu 3 Tính các tích phân sau (một trong các câu b):
a)
Z
3 − 2x
x2−3x + 2 d x.
b)
ZZ
D
x yd xd y, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 4, y2=2x
b)
ZZ
D
y
xd xd y, trong đó D = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2x}.
b)
ZZ
D
(7x + 2y − 1)d xd y, trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường
3x − 5y = −1, 3x − 5y = 2, 2x + y = −2, 2x + y = 3.
Câu 4 Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:
u = y tg z
x·
Câu 4’ Cho hàm sốu = x y + x f (y/x)với f (·) là hàm số khả vi Chứng minh rằng:
x∂u
∂x+y
∂u
∂y =x y + u.
Câu 5 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số z = x0,3y0,6 với điều kiện3x + 4y = 120
Câu 6 Xét sự hội tụ của chuỗi số (một trong các câu):
∞
X n=1
2n − 1
(p2)n;
∞
X n=1
1 4.2n−3
∞
X n=1
1
n2+2·
Câu 7 Giải phương trình vi phân: y0+4y = 3x + 1
Câu 7’ Giải phương trình vi phân: y0cos2x + y = tg x với điều kiện ban đầu y(0) = 0
Trang 2Chữa bài tập
Ai cần thì tham khảo
1 Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi:
∞
X n=1
sin nx − sin(n + 1)x
n Xét
|Sn+p−Sn| =
sin(n + 1)x
n + 1 −
sin(n + 2)x
n + 1 + · · · +
sin(n + p)x
n + p −
sin(n + p + 1)x
n + p
=
sin(n + 1)x
n + 1 −
sin(n + 2)x (n + 1)(n + 2)− · · · −
sin(n + p)x (n + p − 1)(n + p) −
sin(n + p + 1)x
n + p
n + 1+
1 (n + 1)(n + 2)+ · · · +
1 (n + p − 1)(n + p)+
1
n + p
n + 1+
1 (n + 1)−
1 (n + 2)+ · · · +
1 (n + p − 1) −
1
n + p+
1
n + p=
2
n + 1<
2
n.
Vậy với mọi " > 0, luôn tồn tại n0 sao cho |Sn+p−Sn| < " , ∀n ≥ n0, p ∈ N Theo dấu hiệu
Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ
2 Sử dụng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của chuỗi:
∞
X n=2
1 (ln n)α α >0
Vì
lim
x→∞
x (ln x)α = +∞ , α > 0 (theo quy tắc Lopitan)
Nên ta có:
lim
n→∞
1 (ln n)α
1 n
=n→∞lim n
(ln n)α = +∞
Vậy vớin đủ lớn: 1
(ln n)α > 1
n·Chuỗi
P∞ n=1 1
nphân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.