Qua thực tế nhiều năm dạy lớp 5 của bản thân và qua tìm hiểu một số giáo viên dạy bồi dưỡng, qua theo dõi các đợt thi học sinh giỏi thì khi gặp bài toán tính nhanh về phân số học sinh là[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ:
HƯỚNG PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
“TÍNH NHANH VỀ PHÂN SỐ” LỚP 5.
Qua thực tế nhiều năm dạy lớp 5 của bản thân và qua tìm hiểu một số giáo viên dạy bồi dưỡng, qua theo dõi các đợt thi học sinh giỏi thì khi gặp bài toán tính nhanh về phân số học sinh làm bài còn hạn chế, chưa biết cách suy làm chặt chẽ và đặc biệt là chưa nắm vững phương pháp làm bài thích hợp Vậy làm thế nào để khi gặp dạng toán này học sinh làm được bài tốt, chắc chắn và có tính sáng tạo, tôi đã làm như sau
1 Giúp học sinh nắm vững bài toán cơ bản.
Bài toán tính nhanh tổng sau:
1
1 2X +
1
2 3X +
1
3 4X + …
1
99 100X
Giải
1
1 2X =
2 1
1 2X
=
2
1 2X -
1
1 2X = 1 -
1 2
1
99 100x =
100 99
99 100x
=
100
99 100x -
1
99 100x =
1
99 -
1 100
Vậy:
1
1 2x +
1
2 3x +
1
3 4x + …+
1
99 100x = 1-
1
2+
1
2-
1
3+…-
1
99 +
1
199 -
1 100
= 1-
1
100 =
100
100 -
1
100 =
100 1 100
=
99 100
2 Cho học sinh xét tổng trên:
- Các phân số đều có tổng số bằng 1
- MS là tích của 2 số, số sau lặp lại một số của mẫu số trước
3 Xây dựng cách tính cơ bản:
Trang 2Khi phân số đã cho các tử số bằng nhau và mẫu số là tích của 2 số tự nhiên cách đều có khoảng cách đúng bằng tử số, số trước lặp lại số sau
Hay: Hiệu 2 mẫu số trong một phân số bằng tử số ta đưa về dạng
a bxc =
1
b -
1
c (c- b = a) Sau đó rút gọn những phân số giống nhau, ví dụ:
1
2 -
1
2 = 0
Từ cách tính trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài toán tính nhanh
II Phát triển thêm một số bài toán từ bài toán trên.
Bài toán: Tính S =
3
1 4x +
3
4 7x + …+
3
97 100x
Khi nắm vững bài toán cơ bản trên 1 số học sinh đã giải như sau:
Giải:
Ta có:
3
1 -
3
3
4 -
3
7 ; ;
3
97 -
3 100
S=
3
1 -
3
4 +
3
4 -
3
7 +… +
3
97 -
3 100
S= 3-
3
100 =
297 100
Sau khi học sinh giải được kết quả như trên tôi đã cho các em nhận xét:
3
1 -
3
4 =
9
4 cho kết quả là:
9
4 sai?, bởi vì:
3
1 4x =
3 4
Hiệu 2 mẫu số trong 1 phân số bằng bao nhiêu? (4 – 1 = 3)
Tử số bằng mấy ? (3)
Vậy khi hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta đưa về dạng nào? (
a bxc =
1
b -
1
c) Vậy cách giải trên đã đúng chưa? (sai)
Từ đó các em đã hiểu ra cách giải như sau:
Giải:
Trang 3Ta có:
3
1 4x = 1-
1
4 ;
3
4 7x =
1
4 -
1
7 ; ;
3
97 100x =
1
97 -
1 100
S= 1 -
1
4 +
1
4 -
1
7 +…+
1
97 -
1 100
S= 1 -
1
100 =
99 100
Giáo viên kết luận: Tử số bằng bao nhiêu mà đúng bằng hiệu 2 mẫu số thì ta đưa
về dạng toán cơ bản để tính
Bài toán 2: Tính nhanh
S= 1 -
1
1 3x +
1
3 5x +
1
5 7x +…+
1
99 101x Nhận xét: Bài toán có điểm gì khác với bài toán cơ bản?
(Hiệu 2 mẫu số lớn hơn tử số 3 - 1 = 2 lần)
- Ta có thể làm thế nào để đưa về dạng cơ bản?
(Làm xuất hiện số 2 ở tử số của các phân số)
Nhân 2 vế với 2 ta có:
S x 2 =
2
1 3x +
2
3 5x +
2
5 7x +…+
2
99 101x
Giải ra ta có: S x2 = 1 -
1
101 =
100 101
S=
100
101 : 2 =
50 101
Giáo viên kết luận: Khi gặp bài toán mà hiệu 2 mẫu số gấp mấy lần tử số thì
ta phải nhân 2 vế với số lần mà hiệu 2 mẫu số gấp tử số, để tử số và hiệu 2 mẫu số bằng nhau và đưa về dạng bài toán cơ bản
Hoặc: S =
1
2 (
2
1 3x +
2
3 5x +
2
5 7x +…+
2
99 101x ) Giải ra ta có: S =
1
2 (1 -
1
101) =
1
2
100
101 =
50 101
Bài toán 3: Tính nhanh
Trang 4S=
3
1 2x +
3
2 3x +
3
3 4x +…+
3
999 100x Nhận xét: So với ví dụ 2 thì bài toán có điểm khác đó là tử số lớn hơn hiệu 2 mẫu
số 3> 2-1 = 1 ( hơn 3 lần)
Ta làm phép chia 2 vế cho 3 hoặc nhân với 3
Giải:
Chia 2 vế cho 3 ta có:
S:3 =
1
1 2x +
1
2 3x +
1
3 4x +…+
1
99 100x
Tương tự bài toán cơ bản ta có:
S:3 = 1-
1
100 =
99 100
S=
99
100 x 3 =
297
100 = 2
97 100
Kết luận: Hai hiệu mẫu số bé hơn tổng số thì ta chia 2 vế cho số lần bé hơn đó và đưa về dạng cơ bản hoặc nhân cả tổng với số lần còn thừa (Tử số gấp mẫu số 3 lần
ta nhân với 3)
Bài toán 4: Tính nhanh
S=
3
1 3x +
3
3 5x +…+
1
99 101x
Giải:
S =
3
2( 1 -
1
3 +
1
3 -
1
5 + +
1
99 -
1
101)
S =
3
2( 1 -
1
101)
S =
150 101
Rút ra cách tính chung:
Nếu tử số bằng bao nhiêu của mẫu số thì ta phải nhân với số đó để đưa về dạng ban đầu
Xuất phát từ bài toán cơ bản cũng có thể có cách ra bài toán như sau:
Trang 5Bài toán 5: Chứng tỏ rằng M =
1
1 2x +
1
2 3x +…
1
99 100x <1 Bài toán xuất phát từ bài toán cơ bản cơ bản ta có thể dễ dàng rút ra
M =
99
100 và nhỏ hơn 1 vì 99 < 100
Bài toán 6: Tính nhanh
S =
1
4 +
1
28 +
1
70 +…+
1 10300
Nhận xét: HS thường mất phương hướng khi gặp bài toán này do không tìm ra
quy luật ở mẫu số
- Ta đưa về dạng ban đầu bằng cách phân tích
4 = 1 x 4 ; 28 = 4 x7; ; 10300 = 100 x 103
Ta có S =
1
1 4 +
1
4 7 +
1
7 10 + +
1
100 103
S =
1
3 (1 -
1
4 +
1
4 -
1
7 + +
1
100 -
1
103)
S =
1
3 (1 -
1
103) =
1
3
102
103 =
34 103
Tươn tự khi gặp bài toán:
Bài toán 7: Tính
1
2 +
5
6 +
11
12 +
19
20 +
29
30 +
41
42 +
55
56 +
71
72 +
89 90
- HS khó tìm ra dạng cơ bản để tính
- Nhiều HS quy đồng mẫu số nhưng cách làm quá dài và kết quả không chính xác
- Giúp HS nhận ra từ mẫu số:
2 = 1 x 2 ; 6= 2 x 3 ; 90 = 9 x 10
Giải:
Nhận xét:
1
2 = 1 -
1
2;
5
6 = 1-
1
6;
89
90 = 1 -
1 90
Trang 6Ta có:
1
2 +
5
6 +
11
12 +… +
89
90 = 1-
1
2 + 1 -
1
6 +… + 1 -
1 90
= 1 + ….+ 1 – (
1
2 +
1
6 + … +
1
90)
= 9- (
1
1 2x +
1
2 3x +… +
1
9 10x )
= 9-
9
10 =
81 10
Bài toán 8: Tính nhanh
1
2 3x +
2
3 5x +
3
5 8x +
4
8 12x +…
10
47 57x ` Nhận xét:
1
2 3x =
1
2 -
1
3;
2
3 5x =
1
3 -
1
5;
3
5 8x =
1
5 -
1
8; ;
10
47 57x =
1
47 -
1 57
Vậy:
1
2 3x +
2
3 5x +
3
5 8x + …+
10
47 57x
=
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
5 +
1
5 -
1
8 + …+
1
47 -
1 57
=
1
2 -
1
57 =
55 114
Kết luận: Khi gặp bài toán không giống trình tự, khoảng cách cách đều như bài
toán cơ bản nhưng hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta vẫn đưa về dạng
a bxc =
1
b-
1
c rồi Làm tương tự bài toán cơ bản
Bài toán 9: Chứng minh
A =
3
1 4x +
3
2 5x +
3
3 6x +
3
4 7x +
3
5 8x +…
3
100 103x < 3 Hướng dẫn: Tử số bằng nhau nhưng mẫu số không theo quy luật của bài toán cơ bản ta phải nhóm cho phù hợp quy luật đó để tính
A = (
3
1 4x +
3
4 7x +…
3
100 103x ) + (
3
2 5x +
3
5 8x +…
3
98 101x )
Trang 7+ (
3
3 6x +
3
6 9x + …
3
96 99x ) Đưa về dạng cơ bản
Tính được kết quả như sau:
A= (1-
1
103) + (1-
1
101) + (1-
1
99) < 3 1-
1
103 < 1 => A < 3
Bài toán 10: Chứng minh
B =
1
3 +
1
7 +
1
13 +
1
21 +…+
1
91 <1 Nhận xét: HS khó tìm ra phương hướng để giải bài này
Hướng dẫn HS làm trội: Ta có
1
3<
1
2,
1
7<
1
6 ,
1
13<
1
12…
1
91 <
1 90
B<
1
2 +
1
6 +
1
12+…
1 90
B<
1
1 2x +
1
2 3x +
1
3 4x +
1
9 10x
B< 1-
1
10 => B<
9
10 => B<1 Như vậy ta phải sử dụng phân số đã cho với 1 phân số khác sao cho phân số
đó đưa về được dạng cơ bản để tính và sử dụng một cách nhanh chóng
Bài toán 11: C/M A=
1
2 2x +
1
3 3x +
1
4 4x +…+
1
100 100x < 1 Tương tự:
1
2 2x <
1
1 2x ;
1
3 3x <
1
2 3x ; …
1
100 100x <
1
99 100x
(Vì tử số bằng nhau, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn)
Như vậy: A<
1
1 2x +
1
2 3x + …+
1
99 100x
A< 1-
1
100 =
99
100 = > A < 1
Trang 8Bài toán 12: C =
1
1 2 3x x +
1
2 3 4x x +
1
2 3x + …+
1
8 9 10x x
Ta có:
1
1 2 3x x =
1
2 x (
1
1 2x -
1
2 3x )
1
2 3 4x x =
1
2x (
1
2 3x -
1
3 4x )
1
8 9 10x x =
1
2 x (
1
8 9x -
1
9 10x ) C=
1
2x (
1
1 2x -
1
2 3x -
1
2 3x +
1
3 4x +…+
1
8 9x -
1
9 10x )
=
1
2x (
1
1 2x -
1
9 10x ) =
1
2x (
45 1 90
) =
11 45
Hướng dẫn: Ta phải đưa ra phần chung (phân số
1
2) để từ đó đưa về dạng ban đầu, bài này phức tạp hơn khi mẫu số có đến 3 tích
III Một số bài toán để học sinh luyện tập.
Tính nhanh:
1
2
1 3x +
2
3 5x +
2
5 7x + …+
2
99 100x
2
1
1 5x +
1
5 9x +
1
9 13x + …+
1
101 105x
3
6
1 3x +
6
3 5x +
6
5 7x + …+
6
99 101x
4
4
1 3x +
4
3 5x + …+
4
2003 2005x
5
5
14 +
5
84 +
5
204+ …+
5 2964
6
2
1 3x +
2
2 4x +
2
3 5x +
2
4 6x +
2
5 7x …+
2
19 21x
7
1
1 2x +
2
2 4x +
3
4 7x +
4
7 11x + …+
11
56 67x
Trang 9Sơn Kim 2, ngày 27 tháng 02 năm 2012
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Thị Hồng Minh