Giúp học sinh nắm vững bài toán cơ bản.. Xây dựng cách tính cơ bản: Khi phân số đã cho các tử số bằng nhau và mẫu số là tích của 2 số tự nhiên cách đều có khoảng cách đúng bằng tử số, số
Trang 1“TÍNH NHANH VỀ PHÂN SỐ” LỚP 5.
1 Giúp học sinh nắm vững bài toán cơ bản.
Bài toán tính nhanh tổng sau: 1
1 2X + 1
2 3X + 1
3 4X + … 1
99 100X
Giải
1
1 2X = 2 1
1 2X
= 2
1 2X - 1
1 2X = 1 - 1
2 1
99 100x = 100 99
99 100x
= 100
99 100x - 1
99 100x = 1
99 - 1
100
Vậy: 1
1 2x + 1
2 3x + 1
3 4x + …+ 1
99 100x = 1- 1
2+ 1
2- 1
3+…- 1
99 + 1
199 - 1
100
= 1- 1
100 = 100
100 - 1
100 = 100 1
100
= 99
100
2 Cho học sinh xét tổng trên:
- Các phân số đều có tổng số bằng 1
- MS là tích của 2 số, số sau lặp lại một số của mẫu số trước
3 Xây dựng cách tính cơ bản:
Khi phân số đã cho các tử số bằng nhau và mẫu số là tích của 2 số tự nhiên cách đều có khoảng cách đúng bằng tử số, số trước lặp lại số sau
Hay: Hiệu 2 mẫu số trong một phân số bằng tử số ta đưa về dạng
a bxc = 1
b - 1
c (c- b = a) Sau đó rút gọn những phân số giống nhau, ví dụ: 1
2 - 1
2 = 0
Từ cách tính trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài toán tính nhanh
II Phát triển thêm một số bài toán từ bài toán trên.
Bài toán: Tính S = 3
1 4x + 3
4 7x + …+ 3
97 100x
Khi nắm vững bài toán cơ bản trên 1 số học sinh đã giải như sau:
Giải:
Ta có: 3
1 - 3
4; 3
4 - 3
7 ; ; 3
97 - 3
100
S= 3
1 - 3
4 + 3
4 - 3
7 +… + 3
97 - 3
100
S= 3- 3
100 = 297
100
Sau khi học sinh giải được kết quả như trên tôi đã cho các em nhận xét:
3
1 - 3
4 = 9
4 cho kết quả là: 9
4 sai?, bởi vì: 3
1 4x = 3
4
Hiệu 2 mẫu số trong 1 phân số bằng bao nhiêu? (4 – 1 = 3)
Tử số bằng mấy ? (3)
Trang 2Vậy khi hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta đưa về dạng nào? ( a
bxc = 1
b - 1
c) Vậy cách giải trên đã đúng chưa? (sai)
Từ đó các em đã hiểu ra cách giải như sau:
Giải:
Ta có: 3
1 4x = 1- 1
4 ; 3
4 7x = 1
4 - 1
7 ; ; 3
97 100x = 1
97 - 1
100
S= 1 - 1
4 + 1
4 - 1
7 +…+ 1
97 - 1
100
S= 1 - 1
100 = 99
100
Giáo viên kết luận: Tử số bằng bao nhiêu mà đúng bằng hiệu 2 mẫu số thì ta đưa về dạng toán cơ bản để tính
Bài toán 2: Tính nhanh
S= 1 - 1
1 3x + 1
3 5x + 1
5 7x +…+ 1
99 101x Nhận xét: Bài toán có điểm gì khác với bài toán cơ bản?
(Hiệu 2 mẫu số lớn hơn tử số 3 - 1 = 2 lần)
- Ta có thể làm thế nào để đưa về dạng cơ bản?
(Làm xuất hiện số 2 ở tử số của các phân số)
Nhân 2 vế với 2 ta có:
S x 2 = 2
1 3x + 2
3 5x + 2
5 7x +…+ 2
99 101x
Giải ra ta có: S x2 = 1 - 1
101 = 100
101
S= 100
101 : 2 = 50
101
Giáo viên kết luận: Khi gặp bài toán mà hiệu 2 mẫu số gấp mấy lần tử số thì ta phải nhân 2
vế với số lần mà hiệu 2 mẫu số gấp tử số, để tử số và hiệu 2 mẫu số bằng nhau và đưa về dạng bài toán cơ bản
Hoặc: S = 1
2 ( 2
1 3x + 2
3 5x + 2
5 7x +…+ 2
99 101x ) Giải ra ta có: S = 1
2 (1 - 1
101) = 1
2
100
101 = 50
101
Bài toán 3: Tính nhanh
S= 3
1 2x + 3
2 3x + 3
3 4x +…+ 3
999 100x Nhận xét: So với ví dụ 2 thì bài toán có điểm khác đó là tử số lớn hơn hiệu 2 mẫu số 3> 2-1 = 1
( hơn 3 lần)
Ta làm phép chia 2 vế cho 3 hoặc nhân với 3
Giải:
Chia 2 vế cho 3 ta có:
S:3 = 1
1 2x + 1
2 3x + 1
3 4x +…+ 1
99 100x
Tương tự bài toán cơ bản ta có:
Trang 3S:3 = 1- 1
100 = 99
100
S= 99
100 x 3 = 297
100 = 2 97
100
Kết luận: Hai hiệu mẫu số bé hơn tổng số thì ta chia 2 vế cho số lần bé hơn đó và đưa về dạng cơ bản hoặc nhân cả tổng với số lần còn thừa (Tử số gấp mẫu số 3 lần ta nhân với 3)
Bài toán 4: Tính nhanh
S= 3
1 3x + 3
3 5x +…+ 1
99 101x
Giải:
S = 3
2( 1 - 1
3 + 1
3 - 1
5 + + 1
99 - 1
101)
S = 3
2( 1 - 1
101)
S = 150
101
Rút ra cách tính chung:
Nếu tử số bằng bao nhiêu của mẫu số thì ta phải nhân với số đó để đưa về dạng ban đầu
Xuất phát từ bài toán cơ bản cũng có thể có cách ra bài toán như sau:
Bài toán 5: Chứng tỏ rằng M = 1
1 2x + 1
2 3x +… 1
99 100x <1 Bài toán xuất phát từ bài toán cơ bản cơ bản ta có thể dễ dàng rút ra
M = 99
100 và nhỏ hơn 1 vì 99 < 100
Bài toán 6: Tính nhanh
S = 1
4 + 1
28 + 1
70 +…+ 1
10300
Nhận xét: HS thường mất phương hướng khi gặp bài toán này do không tìm ra quy luật ở mẫu
số
- Ta đưa về dạng ban đầu bằng cách phân tích
4 = 1 x 4 ; 28 = 4 x7; ; 10300 = 100 x 103
Ta có S = 1
1 4 + 1
4 7 + 1
7 10 + + 1
100 103
S = 1
3 (1 - 1
4 + 1
4 - 1
7 + + 1
100 - 1
103)
S = 1
3 (1 - 1
103) = 1
3 102
103 = 34
103
Tươn tự khi gặp bài toán:
Bài toán 7: Tính 1
2 + 5
6 + 11
12 + 19
20 + 29
30 + 41
42 + 55
56 + 71
72 + 89
90
- HS khó tìm ra dạng cơ bản để tính
- Nhiều HS quy đồng mẫu số nhưng cách làm quá dài và kết quả không chính xác
- Giúp HS nhận ra từ mẫu số:
2 = 1 x 2 ; 6= 2 x 3 ; 90 = 9 x 10
Giải:
Trang 4Nhận xét:
1
2 = 1 - 1
2; 5
6 = 1- 1
6; 89
90 = 1 - 1
90
Ta có: 1
2 + 5
6 + 11
12 +… +89
90 = 1- 1
2 + 1 - 1
6 +… + 1 - 1
90
= 1 + ….+ 1 – (1
2 + 1
6 + … + 1
90)
= 9- ( 1
1 2x + 1
2 3x +… + 1
9 10x )
= 9- 9
10 = 81
10
Bài toán 8: Tính nhanh
1
2 3x + 2
3 5x + 3
5 8x + 4
8 12x +… 10
47 57x ` Nhận xét: 1
2 3x = 1
2 - 1
3; 2
3 5x = 1
3 - 1
5; 3
5 8x = 1
5 - 1
8; ; 10
47 57x = 1
47 - 1
57
Vậy: 1
2 3x + 2
3 5x + 3
5 8x + …+ 10
47 57x
= 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
8 + …+ 1
47 - 1
57
= 1
2 - 1
57 = 55
114
Kết luận: Khi gặp bài toán không giống trình tự, khoảng cách cách đều như bài toán cơ bản nhưng hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta vẫn đưa về dạng a
bxc = 1
b - 1
c rồi Làm tương tự bài toán cơ bản
Bài toán 9: Chứng minh
A = 3
1 4x + 3
2 5x + 3
3 6x + 3
4 7x + 3
5 8x +… 3
100 103x < 3 Hướng dẫn: Tử số bằng nhau nhưng mẫu số không theo quy luật của bài toán cơ bản ta phải nhóm cho phù hợp quy luật đó để tính
A = ( 3
1 4x + 3
4 7x +… 3
100 103x ) + ( 3
2 5x + 3
5 8x +… 3
98 101x ) + ( 3
3 6x + 3
6 9x + … 3
96 99x ) Đưa về dạng cơ bản
Tính được kết quả như sau:
A= (1- 1
103) + (1- 1
101) + (1- 1
99) < 3 1- 1
103 < 1 => A < 3
Bài toán 10: Chứng minh
B = 1
3 + 1
7 + 1
13 + 1
21 +…+ 1
91 <1 Nhận xét: HS khó tìm ra phương hướng để giải bài này
Trang 5Hướng dẫn HS làm trội: Ta có 1
3< 1
2, 1
7< 1
6 , 1
13< 1
12…911 < 1
90
B< 1
2 + 1
6 + 1
12+… 1
90
B< 1
1 2x + 1
2 3x + 1
3 4x + 1
9 10x
B< 1- 1
10 => B< 9
10 => B<1 Như vậy ta phải sử dụng phân số đã cho với 1 phân số khác sao cho phân số đó đưa về được dạng cơ bản để tính và sử dụng một cách nhanh chóng
Bài toán 11: C/M A= 1
2 2x + 1
3 3x + 1
4 4x +…+ 1
100 100x < 1 Tương tự: 1
2 2x < 1
1 2x ; 1
3 3x < 1
2 3x ; … 1
100 100x < 1
99 100x
(Vì tử số bằng nhau, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn)
Như vậy: A< 1
1 2x + 1
2 3x + …+ 1
99 100x
A< 1- 1
100 = 99
100 = > A < 1
Bài toán 12: C = 1
1 2 3x x + 1
2 3 4x x + 1
2 3x + …+ 1
8 9 10x x
Ta có: 1
1 2 3x x = 1
2 x ( 1
1 2x - 1
2 3x )
1
2 3 4x x = 1
2x ( 1
2 3x - 1
3 4x )
1
8 9 10x x = 1
2 x ( 1
8 9x - 1
9 10x ) C= 1
2x ( 1
1 2x - 1
2 3x - 1
2 3x + 1
3 4x +…+ 1
8 9x - 1
9 10x )
= 1
2x ( 1
1 2x - 1
9 10x ) = 1
2x (45 1
90
) = 11
45
Hướng dẫn: Ta phải đưa ra phần chung (phân số 1
2) để từ đó đưa về dạng ban đầu, bài này phức tạp hơn khi mẫu số có đến 3 tích
III Một số bài toán để học sinh luyện tập.
Tính nhanh:
1 2
1 3x + 2
3 5x + 2
5 7x + …+ 2
99 100x
2 1
1 5x + 1
5 9x + 1
9 13x + …+ 1
101 105x
3 6
1 3x + 6
3 5x + 6
5 7x + …+ 6
99 101x
Trang 64 4
1 3x + 4
3 5x + …+ 4
2003 2005x
5 5
14 + 5
84 + 5
204+ …+ 5
2964
6 2
1 3x + 2
2 4x + 2
3 5x + 2
4 6x + 2
5 7x …+ 2
19 21x
7 1
1 2x + 2
2 4x + 3
4 7x + 4
7 11x + …+ 11
56 67x