Chuyên đề các dạng bài Toán tính nhanh phân số (Một số dạng toán tính nhanh phân số ở Tiểu học)

Chuyên đề các dạng bài Toán tính nhanh phân số bao gồm 6 dạng Toán tính nhanh phân số có kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, lời giải cho từng bài tập và kèm theo từng bài tập cụ thể cho từng dạng giúp cho các em học sinh ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải các dạng Toán. Xem thêm các thông tin về Chuyên đề các dạng bài Toán tính nhanh phân số tại đây

CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN TÍNH NHANH PHÂN SỐ: Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau

gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.

Cách 1: Bước 1: đặt A = 

2

1 4

Bước 2: Ta thấy

2

1 = 1

-2 1

1 2

1 4

A = 1 -   

4

1 2

1 2

1

8

1 4

A =

64

63 64

1 64

64 

Đáp số:

64 63

Cách 2:

Bước 1 đặt A = 

2

1 4

Bước 2: Ta thấy.

2

1 = 1

-2 1

1 64

64 

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số

của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần ( n>1).

Ví dụ: A = 

2

1 4

1 16

1 8

1 4

1 2 1

=

64

2 32

2 16

2 8

1 8

1 4

1 2

1 16

1 8

1 4

1 2 1

A x ( 2 - 1) – A = 1 + 

2

1 4

1 4

5 54

5 18

5 6

5 2

5 54

5 18

5 6

5 2 5

=

162

5 54

5 18

5 6

5 18

5 6

5 2

5 2

5 54

5 18

5 6

5 2 5

5 54

5 18

5 6

5 2

5 162

5 54

5 18

5 6

5 2

B x 2 =

486

5 2

15 

B x 2 =

486

3640 486

1820 2

2 48

2 24

2 12

2 6

2 3

1 81

1 27

1 9

1 3

d - 1+

64

5 32

5 16

5 8

5 4

d

-512

3 128

3 32

3 8

3 2

c - 3+

625

3 125

3 25

3 5

f

-1280

1

40

1 20

1 10

1 5

8

-59049

1

81

1 27

1 9

1 3

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là

tích của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền sau:

Ví dụ 1: A =

6 5

1 5 4

1 4 3

1 3 2

1

x x x

A =

6 5

5

6 5 4

4

5 4 3

3

4 3 2

2

3

x x

x x

5 6 5

6 5 4

4 5 4

5 4 3

3 4 3

4 3 2

2 3 2

3

x x x x x x x

=

6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1      

=

3

1 6

2 6

1 6

3 6

1 2

Ví dụ 2:

B =

14 11

3 11 8

3 8 5

3 5 2

3

x x

x

B =

14 11

11

14 11 8

8

11 8 5

5

8 5 2

2

5

x x

x x

11 14 11

14 11 8

8 11 8

11 8 5

5 8 5

8 5 2

2 5 2

5

x x

x x

x x x

=

14

1 11

1 11

1 8

1 8

1 5

1 5

1 2

=

7

3 14

6 4

1 514

7 14

1 2

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính nhanh

a

-27 23

4 23 19

4 19 15

4 15 11

4 11 7

4 7 3

4

x x

x x

x

b

-10 9

2 9 8

2

4 3

2 3 2

2 2 1

2 15 13

2 13 11

2 11 9

2 9 7

2 7

x x x

x x

x x

c

-100 93

77

23 16

77 16 9

77 9 2

77 10 9

3

6 5

3 5 4

3 4 3

3 3

x x x

x x x x

d

-15 12

4 12 9

4 9 6

4 6 3

4

x x

42

1 30

1 20

g

-340

1 238

1 154

1 88

1 40

1 10

15 11

4 11 7

4 7 3

x x

71 56

55 42

41 30

29 20

89 72

71 56

55 42

41 30

29 20

19 12

11 6

3 2 1

1

4 3 2 1

1 3

2 1

1 2

10

1 6

1 3

1

Bài 6: Chứng minh rằng:

1 91

1 73

1 57

1 43

4 31

1 21

1 13

1 7

1

3

Bài 7: Điền dấu < , > hoặc = vào ô trống

10000

1

25

1 16

1 9

1

4

Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích

của 3 thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau:

Ví dụ: Tính

A =

13 11 9

4 11

9 7

4 9

7 5

4 7 5 3

4 5

3

1

4

x x x

x x x x x x

=

13 11 9

9

13 11 9 7

7

11 9 7 5

5

9 7 5 3

3

7 5

x x x x x x

9 13

11 9

13 11

9 7

7 11 9 7

11 9

7 5

5 9 7 5

9 7 5 3

3 7 5 3

7 5

x x

x x

x x x x x x x x x x

1 11 9

1 11 9

1 9 7

1 9 7

1 7 5

1 7 3

1 5 3

x x x x x x

=

13 11

1 3

3

143 13

a,

19 15 13

6 15

13 9

6 13

9 7

6 9 7 3

6 5 3

1

6

x x x

x x

x x x x

b,

19 15 13 15 13 9

1 13

9 7

1 9 7 3

1 7 3

1

1

x x x

x x

x x x x

c,

100 98 96

1

14 12 10

1 12

10 8

1 10

8 6

1 8 6 4

1 6 4

2

1

x x x

x x

x x

x x x x

40 36 33

5

15 12 8

5 12

8 5

5 8

5

2

5

x x x

x x

x

x

Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số nàu

có quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia.

Ví dụ:

997

995 1993

1994 1992

1993 1991

1992 1990

1993 x x

997 995

1992 x x

997 995

=

997

995 1990

1994 x

997

995 995

997x 

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính nhanh

a,

468

164 984

432 164

435 432

468 435

b,

2000

2006 2004

2003 2002

2001 2003

2002 2001

165165 2121

b,

95 1995199519

93

1993199319 19931993

19961996 1996

1 1 3

1 1 2

3 1 13

3 1 10

3 1 7

3 1

2 1

11

2 1 9

2 1 7

2 1

5

2

Bài 4: Cho

M =

39

37

15

13 11

9 7

5 3

N =

37

39

13

15 9

11 5

1 1 15

1 1 8

999 2003 1999

1000

2003 1004

999 1 2003

999 1999

x

=

1000 2003

1000

2003 2003

999 2003

1000

2003

x

x x

996 1995

996 1 1994

996 1996 1994

1000 1994

1996

x x

x  = 1 ( Vì tử số bằng mẫu số )

Ví dụ 3:

232323

242424 373737

535353 48

23 53

=

10101 23

10101

24 10101 37

10101

53 48

23 53

37

x

x x x

x x x

=

23

24 37

53 48

23 53

23 37

53 53

= 1x

2

1 48

24 48

24  

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính nhanh

a,

1996 1997

1995

1 1996

145 399

1995

995 1996

5931 6001

5932





x x

c,

1994 1995

1996

1 1997

1997

1995 1997

1996

1988

x x

1994 1993

1992

1993 1992 1993

x x

b,

1995 1991 1996

1995

399 55 45

399

x x

5 , 7 : 3 4 , 0

1980

1958 21 1980 1979

1978

x x

1230 3 , 24 12300 34

,

2

x x

1997

1994 3 1998 1997

1996

x x

2002 2001 1988

14

2003

x x

215

35 , 352 18 , 453 65 , 432

b,

334 8 102 334 334 201 321

334

2004 59

2004 2

2004 37

2004

x x

x x

x x

93

1993199319 19311931

3 7

2 17

2 7 2

124

3 24

3

4

1 24

2525 2424

2323 2222

2121

2020

1919 1818

1717 1616

275 , 0 725 , 0 25 25

x x

b,

6 5 125 , 0 : 7 , 7 5

x x x

c,

256 129

8

2

1

25 , 0 20 2 , 0 5 40 5

:

128

10 25 , 0 1, 0 8 20 5 , 0

x x x x x x

đ,

4 8 5 , 2 25 ,1

8003 , 0 08 , 0 4 , 0 5 , 12 5 ,

x x



125 25 , 0 8 1, 0

4

8 4 , 0 125 3476 , 0 6524

,

10

x x x x

x

x x x

b,

5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88

x

x x x

Bài 7: Tính nhanh

15151515

31313131 454545

5 20202

5 10101 5

* Một số bài toán tính nhanh phân số

Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước Ta có thểgiải bài toán trên theo các cách sau:

* Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước

n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểuthức sau khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán

tiếp nên ta có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa vềdạng tính nhanh cơ bản Ta có thể làm như sau:

* Kết luận: Với bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c

là n đơn vị) ta phân tích như sau:

= 201 x 202x 203 = 8242206

Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402

Bài 8: Tính nhanh

N = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + + 100 x 101 x 102

Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp

Vì vậy ta có thểphân tích như sau:

Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa

về dạng cơ bản trên Ta có thể phân tích như sau:

B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4

- 1) + + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3+ + 100 x 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + + 100 x 101) – (1 + 2+ 3 + + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050

(Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)

Phân tích: Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1thừa số chính là mẫu số Ta có thể làm như sau:

MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/99 – 1/100

= (1 + 1/3 + + 1/99) – (1/2 + 1/4 + + 1/100)

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 +1/6 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 +1/3 + 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100

Vậy TS/MS = 1

Bài 13: Tính nhanh.

TS = 1 + 1/3 + 1/5 + + 1/97 + 1/99

MS = 1/1x99 + 1/3x97 + + 1/49x51

Phân tích: Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và

MS về tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung Ta có thể làm như sau:

8 3 9 2 10 1

55 45

10 6 3

1

x x

x x

4 3 3 2 2 1 ( ) 20

3 2 1 ( 20

1 20 2 19 3 18

17 4 18 3 19 2 20

1

x x

x x x

x x

x x

x x

87

1000

49 1000

37 1000

25 1000

1 4 ) 5 ,1 3 5 , 0 2

1 1 : 2