Chuyên đề Tính tích phân bằng phương pháp phân tích - Ðổi biến số và từng phần

Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có thể áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược bài toán hoặc với những phép biến ñổi ñơn giản như[r]

CHUYÊN đ :ỢCÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNỢ GV: NGUY N DUY KHÔI

L I NÓI đ U

Ngày nay phép tắnh vi tắch phân chi m m t v trắ h t s c quan tr ng trong Toán h c, tắch phân ựư c ng d ng r ng rãi như ự tắnh di n tắch hình ph ng, th tắch kh i tròn xoay,

nó còn là ự i tư ng nghiên c u c a gi i tắch, là n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t phương trình vi phân, phương trình ự o hàm riêng Ngoài ra phép tắnh tắch phân còn ựư c

ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c

Phép tắnh tắch phân ựư c b t ự u gi i thi u cho các em h c sinh l p 12, ti p theo

ựư c ph bi n trong t t c các trư ng đ i h c cho kh i sinh viên năm th nh t và năm th hai trong chương trình h c đ i cương Hơn n a trong các kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh đ i h c phép tắnh tắch phân h u như luôn có trong các ự thi môn Toán c a

kh i A, kh i B và c kh i D Bên c nh ựó, phép tắnh tắch phân cũng là m t trong nh ng

n i dung ự thi tuy n sinh ự u vào h Th c sĩ và nghiên c u sinh

V i t m quan tr ng c a phép tắnh tắch phân, chắnh vì th mà tôi vi t m t s kinh nghi m gi ng d y tắnh tắch phân c a kh i 12 v i chuyên ự ỘTÍNH TÍCH PHÂN

B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - đ I BI N S VÀ T NG PH NỢ ự

ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ự các em ự t k t qu cao trong

kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh đ i h c và giúp cho các em có n n t ng trong nh ng năm h c đ i cương c a đ i h c

Trong ph n n i dung chuyên ự dư i ựây, tôi xin ựư c nêu ra m t s bài t p minh

h a cơ b n tắnh tắch phân ch y u áp d ng phương pháp phân tắch, phương pháp ự i bi n s , phương pháp tắch phân t!ng ph n Các bài t p ự ngh là các ự thi T t nghi p THPT và ự thi tuy n sinh đ i h c Cao ự ng c a các năm ự các em h c sinh rèn luy n k" năng tắnh tắch phân và ph n cu i c a chuyên ự là m t s câu h#i tr c nghi m tắch phân

Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày chuyên ự này s$ không tránh kh#i nh ng thi u sót, r t mong ựư c s% góp ý chân tình c a quý Th y Cô trong H i ự&ng b môn Toán S Giáo d c và đào t o t'nh đ&ng Nai Nhân d p này tôi xin c m ơn Ban lãnh ự o nhà trư ng t o ựi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô trong t Toán trư ng Nam Hà, các ự&ng nghi p, b n bè ựã ựóng góp ý ki n cho tôi hoàn thành chuyên ự này Tôi xin chân thành cám ơn./

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

M C L C

I.4 B ng công th c nguyên hàm và m t s công th c b sung 4

II.1 ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh 5

II.3 Tính tích phân b(ng phương pháp phân tích 5

II.4 Tính tích phân b(ng phương pháp ñ i bi n s 10 II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1 10

M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 1 14

Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 16 II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 2 16

Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông 22 Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 22 II.5 Phương pháp tích phân t!ng ph n 23

Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 28

Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h#i tr c nghi m tích phân 30

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

I NGUYÊN HÀM:

I.1 ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM:

Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i

x∈(a;b):

F’(x) = f(x) VD1: a)Hàm s F(x) = x3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 trên R

b)Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 1

x trên (0;+∞)

I.2 ð NH LÝ:

N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì:

a) V i m i h(ng s C, F(x) + C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) ñ u có th vi t

dư i d ng F(x) + C v i C là m t h(ng s

Theo ñ nh lý trên, ñ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch' c n tìm m t nguyên hàm nào ñó c a nó r&i c ng vào nó m t h(ng s C

T p h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và

ñư c ký hi u: ∫ (hay còn g i là tích phân b t ñ nh)

V y: ∫

2xdx = x + C

∫ b) ∫sinxdx = - cosx + C c) 12 dx = tgx +C

cos x

∫

I.3 CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM:

1) ( ∫ )

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

I.4 B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM:

B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S H P

α

α

≠

≠

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+1

x x

2 2

2 2

dx = x + C

x

x dx = + C ( -1)

+ 1 dx

= ln x + C (x 0)

x

e dx = e + C

a

a dx = + C 0 < a 1

lna

cosx dx = sinx + C

sinx dx = -cosx + C

dx

= 1+ tg x dx = tgx + C (x k )

dx

= 1+ cotg x dx

si

1/

2/

3/

4/

5/

6/

7/

8/

x

/

n

9 ∫ ∫ = -cotgx + C (x ≠ k ) π

α

α

≠ +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+1

u u

2 2

2

du = u + C

u

u du = + C ( -1)

+1 du

= ln u + C (u = u(x) 0) u

e du = e + C

a

a du = + C 0 < a 1

lna cosu du = sinu + C sinu du = - cosu + C du

= 1+ tg u du = tgu + C (u k

1/

2/

3/

4/

5/

6/

7/

8/

9/

)

du

= 1+ c

otg u du = -cotgu + C (u k )

CÁC CÔNG TH C B SUNG

CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P:

α α

≠

≠ α

≠ ≠

≠

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+1

ax+b ax +b

kx kx

1

dx = 2 x + C (x 0)

x

ax + b 1

dx = ln ax + b + C (a 0)

ax + b a

1

e dx = e + C (a 0)

a a

a dx = + C 0 k R, 0 < a 1

k.lna

1 cos ax + b dx = sin ax + b

1/

2/

3/

4/

5/

6/

7

+ C (a 0) a

1 sin ax + b dx =

π

≠

∫

∫

∫

ax + b + C (a 0)

tgx dx = - ln cosx + C (x k )

2 cotgx dx = ln sinx + C (

/

k

8

)

CÁC CÔNG TH C LŨY TH A:

m

n m

a a = a

= a ;

1/

2/

3/

= a

a = a ; a = a

CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC:

a CÔNG TH C H B C:

1/ sin x = 1 1- cos2x 2 cos x = 1 1+ cos2x

b CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG

1 cosa.cosb = cos a - b + cos a + b

2 1 sina.sinb = cos a - b - cos a + b

2 1 sina.cosb = sin a - b + sin a + b

2

1/

2/

3/

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

II TÍCH PHÂN:

II.1 ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH:

Gi s) hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph*n t) b t kỳ c a K, F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K Hi u F(b) – F(a) ñư c g i là tích phân t!

a ñ n b c a f(x) Ký hi u:

∫

II.2 CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN:

=

∫

= −

t bi n thiên trên ⇒# " = ∫" là m t nguyên hàm c a " và # =

II.3 TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:

Chú ý 1: ð tính tích phân $ = ∫ ta phân tích = + +

Trong ñó: ≠ = các hàm = có trong b ng nguyên hàm cơ b n

VD4: Tính các tích phân sau:

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

∫

Nh n xét: Câu 1 trên ta ch' c n áp d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 1/ và 2/ trong b ng nguyên hàm

2 I ∫

%

Nh n xét: Câu 2 trên ta chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t tách phân s trong d u tích phân (l y t) chia m+u) r&i áp d ng tính ch t 4

và s) d ng công th c 1/, 2/, 3/ trong b ng nguyên hàm

I

%

& ' ' &

3) I ∫ %

Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t) chia m+u) r&i áp d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 1/, 2/ trong b ng nguyên hàm và công th c 3/ b sung

(& ' % ' % (& (& %

4) I ∫%) ) ) )

Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r&i áp

d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 1/, 2/, 5/ trong b ng nguyên hàm

0

& &

5) I

π

π

=

Nh n xét: Câu 5 trên ta ch' c n áp d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 6/, 7/ và 8/ trong b ng nguyên hàm

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

6) I

π

π

=

Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch' c n áp d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 6/ , 7/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung

7) I

π

π

∫

%

Nh n xét: Câu 7 h c sinh có th sai vì s) d ng nh m công th c 2/ trong b ng b ng nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem π

(hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p)

V i câu 7 trư c h t ph i h b c r&i s) d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung

I

π

%

8/ I

π

∫

%

Nh n xét: , câu 8: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n

ñ i tích thành t ng r&i áp d ng tính ch t 4 và s) d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm

ph n các công th c b sung

I

π

%

%

%

9) I ∫ %

Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân có ch a giá tr tuy t ñ i, ta hư ng

h c sinh kh) d u giá tr tuy t ñ i b(ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p

v i tính ch t 5/ c a tích phân ñ kh) giá tr tuy t ñ i

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

I

5

  −  +  =

10) I ∫ (

Nh n xét: Câu 10 trên ta không th%c hi n phép chia ña th c ñư c như câu 2 và 3, m-t khác bi u th c dư i m+u phân tích ñư c thành % nên ta tách bi u th c trong d u tích phân như sau: ( * + %

% % (phương pháp h s

b t ñ nh)

=

%

& & & & & & &

,

TH1: N u , khi ñó ta luôn có s% phân tích

I

%

* + , ñ&ng nh t hai v 

⇒ 

* +

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

Chú ý 3:

TH1:ð tính I ∫

%

ta làm như sau:

%

%

.

ta làm như sau:

/

%

%

%

TH3:ð tính I ∫0. v i P(x) và Q(x) là hai ña th c:

* N u b c c a P(x) l n hơn ho-c b(ng b c c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x)

* N u b c c a P(x) nh# hơn b c c a Q(x) thì tìm cách ñưa v các d ng trên

th áp d ng ngay b ng công th c nguyên hàm ñ gi i ñư c bài toán ho-c v i nh ng phép

bi n ñ i ñơn gi n như nhân phân ph i, chia ña th c, ñ&ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích thành t ng Qua ví d 4 này nh(m giúp các em thu c công th c và n m v ng phép tính tích phân cơ b n

%

3) I ∫

%

4) I ∫

5) I

π

π

∫

%

7) I

π

∫

%

8) I ∫

9) I ∫

%

10) I %∫

11) I ∫

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

II.4 TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S :

II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1:

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ ch' ph thu c vào hàm s f(x),

c n a và b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân T c là:

Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà không tính tr%c ti p b(ng công th c hay qua các bư c phân tích ta v+n không gi i ñư c Ta xét các trư ng h p cơ b n sau:

VD5: Tính các tích phân sau:

1) I = ∫

Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân có ch a căn b c hai, ta không kh) căn b(ng phép bi n ñ i bình phương hai v ñư c, ta th) tìm cách bi n ñ i ñưa căn b c hai v

d ng A2 , khi ñó ta s$ liên tư ng ngay ñ n công th c: % , do ñó:

ð-t "⇒ " ",  π π ; 

∈

"

" "

⇒ " ⇒ "

I

π

π

⇒ ∫ " " ∫ " " ∫ " "

π

Trong VD trên khi ta thay ñ i như sau: I = ∫ H c sinh làm tương t% và

ñư c k t qu I

2

π

= K t qu trên b sai vì hàm s f x( ) = % không xác ñ nh khi

Do ñó khi ra ñ d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s f x( ) xác ñ nh trên [a;b]

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

2) I ∫

ð-t "⇒ " ",  π π; 

∈

"

" "

⇒ " ⇒ "

π

π

⇒$ ∫ " " " ∫ " " ∫ % " " " % " %

a) Khi g-p d ng

α∫ 1 2 α∫ (a > 0) ð-t " ⇒ " " ,  π π ; 

∈

"

( ð bi n ñ i ñưa căn b c hai v d ng 2

ð i c n: β ⇒ " β3  π π ; 

∈

α ⇒ " α3  π π ; 

∈

Lưu ý: Vì  π π ; ⇒α β', '  π π ; ⇒

t

⇒∫ = ∫ " " = ∫ " " , h b c cos2

t

ð n ñây, công th c nguyên hàm không ph thu c vào bi n s nên ta tính ñư c tích phân theo bi n s t m t cách d2 dàng , ñây ta c n lưu ý: Bi u th c trong d u tích phân này là hàm s theo bi n s t ñơn ñi u trên [α;β]

Ta m r ng tích phân d ng trên như sau:

b) Khi g-p d ng

α∫ 1 2 α∫ (a > 0)

∈

"

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

ð i c n: β ⇒ " β3  π π ; 

∈

α ⇒ " α3  π π ; 

∈

VD6: Tính tích phân sau: I ∫ % Ta có: I ∫ ( )

∈

"

" "

0

⇒ " ⇒"

I

π

π

π

∫

" " " " "

% " " " "

VD7: Tính tích phân sau: $ ∫

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m+u s vô nghi m nên ta không s) d ng phương pháp h s b t ñ nh như ví d 4.10 và không phân tích bi u th c trong d u tích phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3

ð-t: " "⇒ (% " " " , )  π π; 

"

" " "

⇒ " " ⇒ "

I

π

π

⇒ ∫ % " " " ∫ " "

" "

c) Khi g-p d ng

β

α∫ (a > 0)

Nh n xét: a2 + x2 = 0 vô nghi m nên ta không phân tích bi u th c trong d u tích phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3

ð-t " " ⇒ (% " ") " ,  π π; 

"

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

ð i c n: β ⇒ " β3  π π; 

α ⇒ " α3  π π; 

Ta xét ví d tương t% ti p theo:

VD8: Tính tích phân sau: I %∫

%

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m+u s vô nghi m nên ta phân tích m+u s

ñư c thành: a2

+ u2(x)

Ta có:

ð-t % " "⇒ (% " " " , )  π π; 

"

ð i c n:

π

% " " % "

0

⇒ ⇒

% " " "

I

π

π

=

⇒ ∫ % " " " ∫ " "

" "

V y:

d) Khi g-p d ng

( )

β

α∫ (a > 0)

V i tam th c b c hai ( ) vô nghi m thì

ð-t " "⇒ (% " " " , )  π π; 

"

ð i c n: β ⇒ " β3  π π; 

α ⇒ " α3  π π; 

Tóm l i: Phương pháp ñ i bi n s d ng 1:

ð nh lý:N u

1 Hàm s x = u(t) có ñ o hàm liên t c, ñơn ñi u trên ño n [α;β]

2 Hàm s h p f [u(t)] ñư c xác ñ nh trên ño n [α;β]

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

3 u(α) = a, u(β) = b

thì β [ ]

α

=

T! ñó ta rút ra quy t c ñ i bi n s d ng 1 như sau:

B1: ð-t " (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên α β , f(u(t)) xác ñ nh trên

α β và α = β = ) và xác ñ nh α β

β β

α α

∫ " " " ∫ " " # " # #

M t s d ng khác thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1:

* Hàm s trong d u tích phân ch a %

ta thư ng ñ-t "

* Hàm s trong d u tích phân ch a ta thư ng ñ-t

"

* Hàm s trong d u tích phân ch a %

ta thư ng ñ-t " "

* Hàm s trong d u tích phân ch a ta thư ng ñ-t "

%

%

5) I ∫

%

%

6) I ∫%

%

Hư ng d+n: Câu 4: ð-t %

" Câu 5: ð-t "

VD9: Ch ng minh r(ng: N u hàm s f(x) liên t c trên  0; π 

  thì

=

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :

1) I

π

π ∫& % "

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI

Gi i

VT = ( )

π

" "

π

π

π

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :

1) I

π

∫

" "

I

π

π

∫ " " ∫ " " ∫

" "

" "

2) I

π ∫& % "

" "

I

I

π

π

⇒

∫& 5% " " 6 " ∫& % % " " " ∫5& & % " " 6 " & ∫ " $

% " "

& &

$