Khi đưa tư tưởng bất biến vào bài toán này tức là ta phải tìm ra một tính chất của bộ (k,m,n) sao cho với mọi cách bốc sỏi thành bộ (k’,m’,n’) thì tính chất này mất đi nhưng với mọi bộ [r]
Trang 1Chuyên đề bất biến và ứng dụng
Để mở đầu chuyên đề chúng ta hãy bắt đầu bằng 1 ví dụ
Bài toán 1: Cho tập hợp 𝐴 = 1
𝑖⃒𝑖 = 1,2014 Thực hiện phép toán trên tập hợp đó như sau:
ta lấy ra 2 số 𝑎𝑖, 𝑎𝑗và thay vào đó là số𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 − 2𝑎𝑖𝑎𝑗 Lập lại quá trình đó cho tới khi tập hợp còn 1 phần tử duy nhất hỏi đó là phần tử có giá trị là bao nhiêu?
Đọc đề bài, không ít bạn lắc đầu lè lưỡi với bài toán này vì khối lượng tính toán là quá lớn Nhưng trên thực tế, điều chúng ta quan tâm và là nhiệm vụ của bài toán đặt ra là tìm xem phần tử cuối cùng của tập hợp sau 1 chuỗi các biến đổi là bao nhiêu chứ ta không cần quan tâm tới các giá trị trung gian của nó
Lời giải Xét tập hợp 𝐵 được xác định như sau: với mỗi phần tử 𝑎𝑖𝜖𝐴 thì 𝑏𝑖 = 2𝑎𝑖 − 1 Khi đó, gọi T là tích tất cả các phần tử thuộc tập hợp B và ta có T=0 (vì trong B có phần tử 1
2) Sau mỗi phép biến đổi trong tập hợp A thì ta thấy, giá trị tuyệt đối của tích các phần tử của tập B vẫn không thay đổi Thật vậy, ta có
2𝑎𝑖 − 1 2𝑎𝑗 − 1 = −(2 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 − 2𝑎𝑖𝑎𝑗 − 1) Vì thế nên sau tất các phép biến đổi thì tích các phần tử của B luôn là 0 Do đó ta suy ra đươc phần tử cuối cùng của tập A là 1
2 Chúng ta tiếp tục với 1 ví dụ quen thuộc khác
Bài toán 2: Cho hình vuông 4x4 như hình bên Mỗi lần t đổi dấu của 1 hàng, 1 cột hỏi có thể
thu được hình vuông có toàn các dấu + không?
Đây là bài toán khá quen thuộc với mọi người Ta chỉ cần thay đổi dấu – là số
-1, dấu + là số 1 (để dễ lập luận thôi) và tô bảng như bàn cờ quốc tế Không mất
tính tổng quát thì có thể giả sử ô mang dấu trừ có màu trắng Khi đó dễ thấy
các ô có cùng màu thì tích các số sau mỗi lần thực hiện phép toán là không đổi
Vì thế câu trả lời là không thể
- + + + + + + + + + + + + + + +
Qua 2 bài toán ta phần nào hình dung được về phương pháp sử dụng bất biến để giải các bài toán rời rạc phương pháp này được định nghĩa chính xác như sau:
Trang 2Định nghĩa:Cho Ω là 1 tập hợp các trạng thái T là tập hợp các phép biến đổi từ Ω vào Ω Hám
số f: Ω→R được gọi là bất biến trên tập các trạng thái Ω đối với phép biến đổi T nếu
f(t(ω))=f(ω) với mọi ω𝜖Ω và t 𝜖 T Tuy có định nghĩa khá khó hiểu như vậy nhưng chúng ta có thể hiểu “nôm na” là trong 1 bài toán có sử dụng bất biến thì có 1 đại lượng nào đó mà thông qua các phép biến đổi mà đề bài đưa ra thì đại lượng đó không hề thay đổi và việc giải bài toán cũng chính là việc ta phải tìm ra đại lượng đó
Bài toán 3: Cho tập hợp A={3;4;5;6} Mỗi lần thực hiện ta lấy 2 số trong tập A, giả sử là a,b và
thay vào đó là 2 số a+b+ 𝑎2 + 𝑏2 và a+b- 𝑎2 + 𝑏2 Hỏi có bào giờ ta thu được 1 tập A mà có phần tử nhỏ hơn 1 hay không?
Việc trình bày con đường để tìm ra đại lượng không thay đổi như đã nói ở trên thực sự không phải dễ dàng vì con đường tư duy của từng người là khác nhau, chỉ xin nói thêm rằng
để có thể biết được và đi đúng con đường đó thì ta cần đọc và làm nhiều để tích lũy thêm kinh nghiệm thôi
Lời giải: 1
các phần tử trong tập A là không thay đổi Mà ta có
1
6 = 0,95 < 1 nên không bao giờ ta có thể nhận được 1 tập A có phần tử nhỏ hơn
1
Bài toán 4: Trên bàn có 100 viên kẹo Hai người cùng chơi thay phiên nhau bốc đi k viên kẹo
trong đó k∈{1;2;3}.Người thắng là người bốc được viên kẹo cuối cùng ở trên bàn Hỏi ai là người có thể có chiến thuật thắng?
Lời giải:Người thứ 2 là người có chiến thuật chơi để thắng Thật vây, khi người thứ nhất bốc
k viên kẹo thì người thứ 2 sẽ bốc (4-k) viên Khi ấy, sau mỗi lượt đi tì số kẹo trên bàn còn lại giảm đi thành 96,92,88, ,4 viên Ở lượt cuối cung thì cho dù người thứ nhất có bộc bao nhiêu đi nữa thì viên kẹo cuỗi cùng cũng sẽ thuộc về người thứ 2
Ngược lại, với mọi cách đi của người thứ nhất thì anh ta luôn bị “rơi vào bẫy” của người thứ
2 nên người thứ nhất không thể thắng
Trang 3Nhận xét:Có lẽ đây làn bài toán quen thuộc với rất nhiều người, ngay cả đối với những học
sinh lớp 5 cũng có thể gặp bài toán này rồi Cách giải ở đây có thể nói là làm bài toán từ cuỗi trở đi, tức là người thứ 2 muốn thắng thì cần phải để lại 4 viên kẹo ở lượt cuối cùng Và cứ tiếp tục như thế thì sẽ cho t lời giải như trên Nhưng hãy nhìn bài toán này dưới cái nhìn của bất biến
Ở đây, ta thấy, 100≡0(mod4) nên ta có thể bốc kẹo như trên Nhưng câu hỏi khác lại dặt ra
là tại sao lại xét modul 4 mà không phải là 1 số khác chẳng hạn như 5,6 hay 7 Hãy để ý tới tập giá trị của k Do số kẹo bốc mỗi lần chỉ có thể là 1,2 hoặc 3 và ta cần giữ sao cho sau mỗi lượt bốc thì tính chất đồng dư của số kẹo trên bàn so với 100 là không đổi nên ta chọn 4 Suy rộng ra 1 chút, nếu số kẹo ban đầu mà không chia hết cho 4 thì sao? Lúc ấy, người chiến thắng là người thứ nhất vì anh ta có thể thiết lập lại trạng thái sao cho số kẹo trên bàn chia hết cho 4
Mở rộng bài toán này: Trên bàn có n viên kẹo Hai người cùng chơi thay phiên nhau bốc đi k viên kẹo trong đó k∈{1;2;3; ;(p-1)} Người thắng là ngườic ó thể bốc được viên kẹo cuối cùng
ở trên bàn Hỏi khi nào thì người thứ nhất có thể có chiến thuật thắng? khi nào đó là người thứ hai?
Bài toán 5:Trên bàn cho số A=20152016 Mỗi lần thực hiện ta xóa đi chữ số tận cùng của số A
và công thêm vào số mới 10 lần số đó Hỏi sau các bước như trên có bao giờ ta thu được số
20162015 hay không?
Lời giải:Đây là bài toán khá đơn giản về cách suy nghĩ Các giá trị cụ thể cho trong bài toán
chỉ phần nào làm nó đặc biệt hóa hơn mà thôi
Ta thấy, sau mỗi bước thực hiện thì số mới sẽ đồng dư với A trong modul 9 Vì thế nên câu trả lời là phủ định Tức là không bao giờ có thể thu đươc số 20162015từ số 20152016
Với bài toán như thế này bạn hoàn toàn có thể tự tổng quát hóa và xây dựng những bài toán khác tương tự và có độ khó cao hơn
Giả sử như sau: Cho 1 số A có chữ số tận cùng là a Mỗi lần thực hiện, ta xóa đi chữ số tận cùng của A và cộng thêm vào lập phương của số đó Hỏi sau các bước thực hiện như vậy thì
có bao giờ từ sô A ta có thể thu được số B hay không?
Trang 4Ở đây ta có thể xét modul khi chia cho 6 của số A và B Thường thì trong đa phần các trường hợp câu trả lời sẽ là phủ định
Có 1 ứng dụng nữa của bất biến mà không thể không nhắc tới là bất biến trong các bài toán trò chơi chiến thuật mà ta có 1 ví dụ nổi tiếng là bài toán về trò chơi Nim
Bài toán 6: Cho 3 đống sỏi có k,m,n viên lần lượt trong mỗi đống Hai người cùng chơi 1 trò
chơi như sau: Người thứ nhất chọn ra 1 đống và bốc ra 1 số lượng sỏi tùy ý từ đống đó Sau
đó tới lượt người thứ hai chọn 1 đống tùy ý và bốc ra số sỏi tùy ý từ đống đó (ít nhất là 1 viên) Và cứ tiếp tục như thế cho tới khi ai bốc được viên sỏi cuối cùng là người dành chiến thắng Hỏi ai là người có chiến thuật để thắng???
Khi đưa tư tưởng bất biến vào bài toán này tức là ta phải tìm ra một tính chất của bộ (k,m,n) sao cho với mọi cách bốc sỏi thành bộ (k’,m’,n’) thì tính chất này mất đi nhưng với mọi bộ (k’,m’,n’) như trên thì luôn tìm được cách bốc để có được 1 bộ mới có tính chất này Khi đó,
ai có chiến thuật để là người đầu tiên tìm đưa được đối thủ của mình vào “bẫy” thì sẽ là người dành chiến thắng Cũng chính vì thế mà người đi trước luôn là người có lợi thế hơn trong trò chơi này
Cuối cùng t hãy quay trở lại với bài toán số 2 Ở tên trình bày cách giải của 1 bài có thể nói là
cơ bản nhất Vậy bây giờ t có thể mở rộng nó như thế nào???
Bài toán 2 có đề cập tới trường hợp mà có 1 dấu trừ Khi đó ta có thể dễ dàng hơn và 1 cách
tự nhiên hơn để nghĩ tới việc xét dấu của tích như đã làm Nhưng nếu số dấu trừ là số chẵn thì sao???
Bài toán 7:Cho hình vuông 6x6 như hình bên Mỗi lần có thể đổi dấu 1 hàng, 1 cột hay 1
đường chéo Hỏi từ hình bên có thể thu được hình chứa toàn dấu + không?
Các bạn có thể thấy là ở đây trong bảng có 6 dấu – và nếu chọn các ô
như ở bài toán 2 thì có vẻ không được ổn vì tích các ô như vậy ban đầu
vẫn mang dấu +
Vậy ta phải làm thế nào? Thực ra ta chỉ cần chọn ra 1 vãi ô “đặc biêt”
để sao cho có thể lập luận như ở bài toán 2 Đó là các ô có tọa độ
(1;2),(1;5),(2;1),(2;6),(5;1),(5;6);(6;2),(6;5)
+ - + - + - + + - + - + + + + + + + + + + + + + + - + + + +
- + - + + +
Trang 5là phủ định
Từ trên ta có thể thấy với cách chọn hợp lí thì có thể có vô vàn bài toán có thể giải bằng bất biến như trên Hãy thỏa sức sáng tạo nha
Bài tập:
1 Ở vương quốc sắc màu kì ảo có 45 hiệp sĩ trong đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi 2 hiệp sĩ khác màu tóc gặp nhau thì họ lập tức chuyển tóc sang màu thứ 3 Hỏi có thể có 1 lúc nào mà tất cả các hiệp sĩ có cùng màu tóc hay không?
2 Có 1 bảng nxn Trong đó có n-1 ô ghi số 1 và 1 ô bất kì có số 0 Mỗi bước thực hiện ta tăng hoặc giảm các số trên cùng 1 hàng hoặc 1 cột 1 đơn vị Hỏi có bao giờ ta nhận được 1 bảng có toàn các số bằng nhau hay không?
3 Trên 1 vòng tròn có n hình quạt bằng nhau Tại mỗi cánh quạt có để 1 viên bi Mỗi lần
di chuyển ta có thể di chuyển 2 viên bi bất kì sang ô bên cạnh theo chiều ngược nhau
so với chiều kim đồng hồ Hỏi với giá trị nào của n thì ta có thể dồn tất cả bi vào 1 ô quạt
4 Cho 10 số tự nhiên đầu tiên Mỗi lần thực hiện ta xóa đi 2 số và thay vào đó là hiệu của chúng Hỏi số cuối cùng có thể là số 0 được hay không?