Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức

A:Phương pháp đặt lượng giác I: Một số đẳng thức lượng giác hữu ích 1:tan tan tan tan tan tan 1 II: Một số bất đẳng thức lượng giác hữu ích Chứng minh sự tồn tại tôi xin dành cho bạn

To: My Special Friend

truongvoki_bn9x@yahoo.com

Bắc Ninh, ngày 03 tháng 07 năm 2011

Nguyễn Viết Thủy

Cuộc sống là không chờ đợi !!

A:Phương pháp đặt lượng giác

I: Một số đẳng thức lượng giác hữu ích

1:tan tan tan tan tan tan 1

II: Một số bất đẳng thức lượng giác hữu ích

(Chứng minh sự tồn tại tôi xin dành cho bạn đọc)

T1:Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:ab+bc+ca=1

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

1) tan ; tan ; tan

T2: Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=abc

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

1)a= tanA; tan ;b= B c=tanC

T3: Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn: a2 +b2+ +c2 2abc= 1

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho :

1) sin ; sin ; sin

2)a=cos ;A b=cos ;B c=cosC

T4: Với 3 số thực dương a;b;c Khi đó luôn tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

IV: Những bất đẳng thức qua các kì thi Pro.1: (Ba Lan 99)

Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=1 Chứng minh rằng:

Lại có từ điều kiện tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

tan ; tan ; tan

Mà bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng Từ đó ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi 1

Trong 3 số m;n;p luôn tồn tại 2 số cùng phía với 1

Không mất tính tổng quát giả sử: (m-1)(n-1)≥0

Từ đẳng thức (1) tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

( ; ; ) (sin2 ;sin2 ;sin2 )

Đây là bất đẳng thức lượng giác cơ bản Ta có đpcm

Dấu”=” xảy ra khi 3

2

x= = = y z

Nhận xét: Nếu không thế lượng giác, chúng ta phải biến đổi dài dòng kết hợp với lý luận mới có được lời giải cho bài toán trên Nhưng chỉ với cách đặt lượng giác, chúng ta đã đưa BĐT ban đầu trở về một bất đẳng thức lượng giác cơ bản (^_^)

Pro 3: (Crux Mathematicorum)

Cho 3 số dương x;y;z

x

x y x z sym

≥+ ∑

tan ; tan ; tan

y z y x

B y

( )(2 ) 1

sin2

z x z y

C z

Điều kiện trở thành: xyz=1

Khi đó bất đẳng thức tương đương:

(z x y z y x+ − )( + − + + −) (x y z x z y)( + − ) (+ y x z y z x+ − )( + − ≤ ) 3 ⇔x2+y2+z2 ≤ + −3 (x y)2+(y z− )2+ −(z x)2

⇔x2+y2+z2+ ≥3 2(xy yz zx+ + )

Có 3 hướng đi để ta “tấn công” bất đẳng thức trên:

Ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:

Với 3 số dương a;b;c ta luôn có:

Vì 2 vế đồng bậc nên không mất tính tổng quát giả sử:ab bc ca+ + =1

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

tan ; tan ; tan

Nhận xét: Khi ta biết vận dụng linh hoạt điều kiện và những biến đổi lượng giác, ta sẽ đưa những bài toán bất đẳng thức khó trở về những bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Bất đẳng thức trên được phát biểu với hình thức rất đẹp nhưng không phải vậy mà chúng

ta dễ dàng “xơi” được nó Sau đây là hai lời giải cho bài toán khó trên

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu”=” xảy ra khi a=b; c=0

Lời giải 2:(Hojoo Lee)

Bất đẳng thức trên thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử: ab bc ca+ + =1

2 sin sin sin

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng dồn biến

Đặt: ( ; ; ) sin sin sin sin sin sin

sin

A c A

Pro.7: (USA 2003-VMO 1999)

Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: abc a c b+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a bc+ + b ca+ + c ab+ ≥ abc+ a+ b+ c

Pro 9 (Crux Mathematicorum)

Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: ab+bc+ca=1

a b + b c + c a ≥ +

B) Phương pháp đặt đại số

Với những bất đẳng thức mà điều kiện ta ít gặp, khó có thể đánh giá bằng những bất đẳng thức cổ điển, chúng ta thường cảm thấy khó khăn trong việc đánh giá các hạng tử.Trong phương pháp này tôi xin giới thiệu với các bạn một số cách đặt cho bất đẳng thức có điều kiện

y b

z x

=+ ;

z c

x y

=+ (*)

=

c z c

=+

Ta sẽ chứng minh bộ (x;y;z) được chọn như trên thỏa mãn

y b

z x

=+ ;

z c

x y

=+

x y x z

=

xz c

x y x z

=

xz c

x y z y

=

H4: Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: a2+b2+ +c2 2abc= Khi đó tồn tại ba số x;y;z là 1

ba cạnh của một tam giác sao cho:

Khi đó tồn tại bộ ba số x;y;z sao cho: a k y z( )

y x y z

=

xy c

II)Bài tập vận dụng

Pro.1 (Post by hxtung)

Cho ba số thực dương a;b;c thỏa mãn:x+y+z+2=xyz

Trước hết ta chứng minh bất đẳng phụ sau:

Với 3 số dương a;b;c ta luôn có bất đẳng thức đúng sau:

Trở lại bài toán Đặt 2 ;x= a y=2 ;b z=2c ⇒ + + + =a b c 1 4abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi x= = = y z 2

Nhận xét: Hiển nhiên lời giải 2 ngắn gọn+đơn giản hơn nhiều so với lời giải 1 Mấu chốt để của lời giải 2 chính là bất đẳng thức (*), khi đó áp dụng (*) ta dễ dàng có được đpcm Nhưng với những ai chưa từng gặp bất đẳng thức (*) thì việc chứng minh bài toán

sẽ gặp khó khăn rất nhiều, và bằng việc thay ở lời giải 1 đã làm bài toán càng trở lên dễ

dàng bằng AM-GM Tôi cũng xin giới thiệu một lời giải rất ngắn gọn sau đây ☺

( 2)( 2)

z x− y− Từ đó chú ý để thành phần có ở hai vế bất đẳng thức tôi đã dự đoán các hạng tử cần phải có trong phân tích là:

Đó là lý do tại sao tôi có được đẳng thức trên ☺

Pro.2 (Nguyễn Viết Thủy)

Cho ba số dương a;b;c

Pro:3 (Nguyễn Viết Thủy)

Cho ba số dương a;b;c

Khi đó bài toán trở thành:

Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn: xy yz zx+ + = 1

Khi đó theo Pro.2 ta có được 4

Nhưng nếu chúng ta không có công cụ trên thì sẽ làm thế nào??

Và không quá bất ngờ khi tôi nói bài toán trên và bài toán sau là giống hệt nhau:

Bài toán:

Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: a+b+c=1

Khi đó ta có bất đẳng thức đúng sau:

32

Pro.5:(Korea MO-1998)

Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: a b c abc+ + =

Và công việc còn lại khá nhẹ nhàng bằng AM-GM (Tôi xin dành cho bạn đọc)

Nhận xét: Bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách đặt lượng giác

hoặc theo các bất đẳng thức cổ điển Nhưng có lẽ theo tôi cách giải trên đơn giản và ngắn gọn nhất ☺

Để kết thúc bài viết mời các bạn thử sức với một số bài toán đề nghị sau:

III: Bài toán đề nghị

[2]Bất đẳng thức và những lời giải hay (Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh)

[3]Chuyên đề toán học (Trường PTNK)

[4]Tuyển tập các bài toán bất đẳng thức (Tạ Minh Hoằng, Nguyễn Huy Tùng)

[5]http://mathscope.org

[6]http://diendanbatdangthuc.com

Hãy chọn cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát !!

-The End -