De thi vao 10 Hai Duong nam 20122013

(Chú ý: nếu tam giác có góc A tù thì tứ giác BCFE nội tiếp).. b Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.[r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

-KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: Ngày 12 tháng 7 năm 2012

(Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1(2,0 điểm):

Giải các phương trình sau:

a) x x  2 12 x

b)

2 2

x



Câu 2(2,0 điểm):

a) Cho hệ phương trình

5





 



x y m

x y có nghiệm (x; y) Tìm m để biểu thức

xy x  1đạt giá trị lớn nhất

b) Tìm m để đường thẳng y(2m 3)x 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

bằng

2

3

Câu 3(2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức 3 1 . 2

x x x với x 0 và x 4 b) Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc Hỏi năm ngoái, mỗi đơn

vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Câu 4(3,0 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao

BE, CF của tam giác ấy Gọi H là giao điểm của BE và CF Kẻ đường kính BK của (O).

a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở

N Chứng minh AMAN

Câu 5 (1,0 điểm):

CH NH TH C

ĐỀ CHÍNH THỨC ÍNH THỨC ỨC

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b d  0 và 2

ac

b d  Chứng minh rằng phương trình

x2 ax b x  2 cx d  0

( x là ẩn ) luôn có nghiệm

- Hết

-Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1: ………Chữ ký của giám thị 2: ………

ĐÁP ÁN

2 12

x x   x

 2 12 2 2 12

x x   x x  x  x

 x2  x 12 0 

Phương trình có hai nghiêm phân biệt

1 2

4 3

x x





b

Giải phương trình

2 2

x



ĐKXĐ: x 4

2

2 2

2 8 0

x



x

  ;x 2 4 (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2

Cho hệ phương trình

5





 



x y m

x y có nghiệm (x; y) Tìm m để biểu thức xy x 1đạt giá trị lớn nhất



Ta có :xy x 1m22m7

xy x 1m 12 8 8

=>GTLNxy x  1=8 khi m=1

b Tìm m để đường thẳng y (2m 3)x 3 cắt trục hoành tại điểm có

hoành độ bằng

2

3

+/ Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

2

3 =>

2 3 0

x y









 

 +/ Thay vào công thức xác định đường thẳng ta được :

2

3

m

4

5 0

3m

15 4

m

  với x 0 và x  4

1

x

x



1

x

1

P 

b Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được

685 tấn thóc Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Gọi số thóc đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái

lần lượt là x; y (tấn ), điều kiện x y , 0

Theo giả thiết ta có phương trình x y 600 (1)

Năm nay, số thóc của hai đơn vị là 1,1 ; 1,2yx (tấn )

Theo giả thiết ta có phương trình 1,1x1, 2y685 (2)

Ta có hệ phương trình

600 1,1 1,2 685

 







x y

Giải hpt được nghiệm

350 250











x y

Số thócđơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là

350 tấn, 250 tấn

4 a Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

- Vẽ hình đúng câu a

-  0

90

BEC  (gt)

-  0

90

BFC  (gt)

=> E,F nằm trên đường tròn đường kính BC

Hay tứ giác BCEF là tứ giác nội

tiếp(do tam giác ABC nhọn- không yêu cầu h/s nêu tam giác nhọn).

(Chú ý: nếu tam giác có góc A tù thì tứ giác BCFE nội tiếp)

b Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

-Ta có :BCK  900 KCBC

mà AH BC( do H là trực tâm ABC)

AH//KC

 (tam giác ABC nhọn nên AK - không y/cầu h/s nêu tam giác nhọn).

-Chứng minh tương tự :AK CH/ /

=> tứ giác AHCK là hình bình hành

c Chứng minh AMAN

+/Xét tam giác AFC và AEB có:

EAB( chung ) và AFC AEB 90 0

=>tam giác AFC đồng dạng với tam giác AEB => AE AC AF AB. (1)

+/Xét tam giác AMC có :

 90 0

AMC  ( nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AC)

MEAC (gt)

AM AE AC

  ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

+/C.minh tương tự: 2

.

Từ (1),(2),(3) => AM = AN

5 Chứng minh rằng: Nếu b d  0 và 2

ac

b d  thì phương trình x2 ax b x  2 cx d  0

( ẩn là x) luôn có nghiệm x2 ax b x  2 cx d  0 (I)

N M

A

E

O H

F

C B

A

x ax b 0 1 

    hoặc x cx d0 2 

Ta có :22124;4abcd +/ Nếu b d  0

=> trong hai số b, d có ít nhất một số âm (chẳng hạn b < 0 thì 2

=> ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có nghiệm

=> phương trình (I) có nghiệm +/ Nếu b d  0 mà 2 2 

ac

=>     1 2 a2 4b c 2 4d a c 2 2 ac 2b d  0

=>trong hai số   1 ; 2 tồn tại ít nhất một số không âm

=> ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có nghiệm

=> phương trình (I) có nghiệm Vậy nếu b d  0 và 2

ac

b d  thì phương trình x2 ax b x  2 cx d  0 ( ẩn là x) luôn có nghiệm

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

-KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: Ngày 14 tháng 7 năm 2012

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a)

3x 5x

b) 2x  3 1

Câu 2(2,0 điểm): Cho biểu thức:

:

2

A

b a



    với a và b là các số dương khác

nhau

a) Rút gọn biểu thức:

2

a b ab A

b a

 



b) Tính giá trị của A khi a  7 4 3 và b  7 4 3

Câu 3(2,0 điểm):

CH NH TH C

ĐỀ CHÍNH THỨC ÍNH THỨC ỨC

a) Tìm m để các đường thẳng y 2  x m và y 2 3 x  m  cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung

b) Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một xe ô tô cũng đi từ A để tới B với

vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho)

Hai xe nói trên đều tới B cùng lúc Tính vận tốc mỗi xe.

Câu 4(3,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là một độ dài cho

trước) Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc cung AD và

  120 0

COD Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E, giao điểm của các đường thẳng

AC và BD là F.

a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác FAB theo R khi C, D thay đổi nhưng

vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán

Câu 5(1,0 điểm): Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt

quá S, trong đó S  2 36

- Hết

-Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh:

………

Chữ ký của giám thị 1: ……….Chữ ký của giám thị 2:

………

ĐÁP ÁN

1

a Giải phương trình

3x 5x

(1)

2 5

3x

hoặc

4 3

5x 

3x  x2

3

5x  x 4

Vậy (1) có 2 nghiệm  

;

b Giải phương trình 2x  3 1  (2)

(2)  2x 3 1  hoặc 2x 3  1

2x-3=1 2x  4 x 2

2x-3=-1 2x  2 x 1

Vậy (2) có 2 nghiệm x=2; x=1

Rút gọn biểu thức:

2

a b ab A

b a

 



2

:

A







2

.

A





2

( a b)

A

b a

 



2

0

a b ab A

b a

b Tính giá trị của A khi a  7 4 3,b  7 4 3

Có a+b=14; b-a=8 3; ab=1

Do đó theo CM trên ta có A =





8 3

a b ab

b a

Nên 

2 3

A

Hay 

2 3 3

A

3 a Tìm m để các đường thẳng y 2  x m và y 2 3 x  m  cắt nhau tại

một điểm nằm trên trục tung

Đường thẳng y 2  x m cắt trục tung tại điểm M(x;y): x=0; y=m Đường thẳng y 2 3 x  m  cắt trục tung tại điểm N(x’;y’): x’=0; y’=3-2m

Do hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau

Yêu cầu bài toán đã cho  MN  3-2m=m  m=1

Kết luận m=1

b Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một xe ô

tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h

(hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho) Hai xe nói trên đều tới

B cùng lúc Tính vận tốc mỗi xe.

Gọi vận tốc xe máy là x km/h(x>0) Khi đó vận tốc ô tô là x+15 (km/ h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là

90 ( )h x

Thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là

90 ( )

15 h

x  ; 30’=

1 ( )

2 h Theo bài ra ta có phương trình

15 2

x  x  (*) Giải được phương trình (*) có x = 45( t/m); x = -60(loại)

Vậy vận tốc xe máy là 45km/h; vận tốc xe ô tô là 45+15=60 (km/h)

4 a Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn

Vẽ hình đúng câu a)

Vì AB là đường kính nên BCAC; tương tự BDAD

AD cắt BC tại E, đt ACvà BD cắt nhau tại F

Do đó D và C cùng nhìn FE dưới một

góc vuông nên C, D, E, F cùng nằm

trên một đường tròn (đường kính EF)

b Tính bán kính của đường tròn qua C,E,D,F theo R.

Vì COD=1200 nên CD=R 3( bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (O) )

Và AFB=

1 (180 120 ) 30

(Vì tam giác ABF nhọn nên FE nằm giữa FC và FD nên tứ giác

CEDF nội tiếp đường tròn đường kính FE- Thí sinh không chỉ ra điều này cũng không trừ điểm)

Suy ra sđ CED= 600(của đường tròn đường kính FE , tâm I) do đó tam giác ICD đều hay bán kính cần tìm ID=CD= R 3

c Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác FAB theo R khi C, D thay

đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán

Gọi H là giao của các đường FE và AB, J là giao của IO và CD Có

FH  AB

1

2

ABF

Do đó bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của FH

Có FH=FI+IH FI+IO=FI  IJ+JO=

3 3

(Vì IJ là đường cao tam giác đều cạnh R 3; Tam giác COD cân đỉnh

J I

E O

C

F

D

H

O góc COD = 1200 ; OI là trung trực của CD nên tam giác COJ vuông

ở J có góc

OCJ = 300 hay OJ= OC/2=R/2)

Dấu bằng xảy ra khi F,I,O thẳng hàng, lúc đó CD song song với AB( cùng vuông góc với FO)

Vậy diện tích tam giác ABF lớn nhất bằng R2( 3  2)khi CD song song với AB

5 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt

quá S, trong đó S = 2 + 3 6

Đặt x1   2 3;x2   2 3 thì x x1 ; 2là 2 nghiệm của phương trình

x  x 

Suy ra 12 4 1 1 0 1n 2 4 n 11 n1 0( )

x  x    x   x  x   n N

Tương tự có 1n 2 4 n 11 n1 0( )

x   x  x   n N

Do đó S n2  4S n1 S n    0( n N) Trong đó 1k 2k( )

k

S x x  k N

Có S1 x1 x2  4;S2  (x1 x2 )2 2x x1 2  16 2   14

Từ đó S3  4S2  S1  52;S4  4S3  S2  194;S5  724;S6  2702

Vì 0<2  3  1 nên 0<(2  3)6  1 hay

2701 < S = 2 + 3 

Vậy số nguyên phải tìm là 2701