Một đường trònO đi qua B và C cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E BC không là đường kính của O .Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K.. Trường hợp K là trung đ
Trang 1Bài hình học đề thi tuyển sinh 10 năm học 2009-2010
Hải phòng, ngày 24 tháng 6 năm 2009
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A Một đường tròn(O) đi qua B và C cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E( BC không là đường kính của (O) ) Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K
1 CMR góc ADE= góc ACB
2 CM: K là trung điểm của DE
3 Trường hợp K là trung điểm của AH Chứng minh rằng đường thẳng DE
là tiếp tiến chung ngoài của đường tròn đuờng kính BH và đường tròn đường kính CH
A
B
D
C E
H K
a) ADE ACB· = ·
Vì tứ giác BAEC nội tiếp (O) ⇒ ·ADE ACB= · (cùng bù với góc BDE)
b) K là trung điểm của DE
* Ta có DAK ACB· =· (cùng phụ với góc B) mà ADE ACB· =·
· ·
ADE DAK
⇒ = ⇒Tam giác ADK cân tại K ⇒AK = DK
*Chứng minh tương tự ta có AKE cân tại K ⇒AK = EK
Suy ra DK= EK Vậy K là trung điểm của DE
c) Giả sử khi K là trung điểm của AH thì DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và CH
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đường tròn đường kính BH và CH
Khi K là trung điểm của AH thì tứ giác ADHE là hình chữ nhật Ta có:
* ∆DKH cân tại K (tính chất hình chữ nhật)
D = A (1)
∆DO1H cân tại O1 ⇒ ¶ ¶
D = A (2)
A + A = 90 ⇒ µ ¶ 0
D + D = 90
⇒DE là tiếp tuyến của (O1)
*Chứng minh tương tự ta có DE là tiếp tuyến của (O2)
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn A
B
C
H D
E K
O 1
O 2
3
2 1 4
