Bai so 5 - giải tích 3 BKHN

Tài liệu học tập môn Giải tích 3. Các em vào bằng máy tính sẽ dễ dàng nhận tài liệu hơn nha. Em nào chưa biết truy cập tài liệu thì xem video ad ghim ở đầu trang nhé

$3 PTVP cấp 2

1. Đại cương về PTVP cấp 2

1.1 ĐN

1.2 Sơ kiện ban đầu: và

hay (3) với cho trước

Bài toán Cauchy (bài toán giá trị ban đầu): Tìm nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) thỏa mãn sơ kiện ban đầu (3)

1.3 Định lý (sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Nếu liên tục trong miền ῼ chứa điểm thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn sơ kiện (3)

1.4 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng

Nghiệm TQ của PTVP (2) là hàm số trong đó là các hàng số tùy ý sao cho:1) Nó thỏa mãn PTVP (2) với mọi

2) Với bộ 3 số cho trước sao cho điều kiện

Định lý trên thỏa mãn thì tồn tại ,

hàm số thỏa mãn sơ kiện ban đầu (3)

Hệ thức xác định nghiệm TQ của (2) gọi là TP TQ của nó

Hệ thức gọi là TP riêng

•  

3 PT tuyến tính cấp 2

3.1 ĐN: PTVP tuyến tính cấp 2 là PT

trong đó

3.2 Bài toán Cauchy đối với PTVP TT cấp 2

Tìm nghiệm của (1) thỏa mãn

với và cho trước

Định lý: Nếu liên tục trên khoảng mở thì PT

có nghiệm duy nhất trên với và cho trước

•  

3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất

Định lý 1 Nếu là 2 nghiệm của (2) thì

với là 2 hằng số tùy ý là nghiệm của (2)

3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất (tiếp)

3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất (tiếp)

Định lý 4 Giả sử là 2 nghiệm của (2), liên tục trên khoảng mở Khi đó đltt khi và chỉ khi  

Định lý 5 Nếu là 2 nghiệm đltt trên của (2), liên tục trên thì là nghiệm TQ của (2) trên

CM: Theo Định lý 1 thì là nghiệm của (2) là các hằng số

Giả sử sơ kiện ban đầu cho trước Ta có

(I)

Ta có

Hệ pt có = (I) có nghiệm duy nhất (ẩn là

•  

Bài toán: Giải pt thuần nhất Tìm 2 nghiệm đltt của (2)

3.4 PT tuyến tính không thuần nhất

Định lý 6 Nghiệm TQ của (3) là tổng nghiệm TQ của PT thuần nhất (2) với một nghiệm riêng bất kỳ của (3):

Cách giải (3): (Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange):

Giả sử là nghiệm TQ của (2) là các hằng số

•  

VD: (1) biết là một nghiệm của PT thuần nhất  

1  

thỏa mãn

Nghiệm TQ :

•  

Định lý 7 (Nguyên lý chồng chất nghiệm)

Cho pt: (1) với liên tục trong khoảng

Nếu là nghiệm riêng của và là nghiệm riêng của (3) thì là nghiệm riêng của (1).

CM: ’+’; +

+[ (đpcm)

•  

4 PTVT tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

  4.1 Công thức Euler:

4.2 PT thuần nhất:

Nghiệm vào (2)

Phương trình đặc trưng

•  

Nghiệm của PT thuần nhất:  TH1 đltt

4.3 PT tuyến tính không thuần nhất