CHUYÊN đề 21 hệ TRỤC tọa độ, PHƯƠNG TRÌNH mặt cầu

N ĐỀ 21 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU MỤC LỤC PHẦN A.. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A... Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành... Tìm giá trị dương

N ĐỀ 21

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ 1

Dạng 2 Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng 8

Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng 8

Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng 9

Dạng 3 Mặt cầu 10

Dạng 3 Xác định tâm, bán kính của mặt cầu 10

Dạng 3 Viết phương trình mặt cầu 13

Dạng 3 Một số bài toán khác 16

Dạng 4 Bài toán cực trị 17

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 19

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ 19

Dạng 2 Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng 27

Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng 27

Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng 28

Dạng 3 Mặt cầu 30

Dạng 3 Xác định tâm, bán kính của mặt cầu 30

Dạng 3 Viết phương trình mặt cầu 33

Dạng 3 Một số bài toán khác 37

Dạng 4 Bài toán cực trị 42

PHẦN A CÂU HỎI

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ

Câu 1 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2  và B2;2;1. Vectơ AB

có tọa độ là

A 1; 1; 3   B 3;1;1

C 1;1;3

D 3;3; 1  Câu 2 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M3;1; 1  trên trục Oy có tọa độ là

A 3;0; 1 

Câu 3 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A2; 4;3  vàB2;2;7

Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A 0;0; 1  B 2;0; 1  C 0;1;0

D 2;0;0

.Câu 7 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A2; 2;1

trên trục Oz có tọa độ là

.Câu 11.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;3;1

AM

12

AM

Câu 12 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 1;1 

Hình chiếuvuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz

độ Oxyz, cho ba vecto a1; 2;3 ; b2; 2; 1 ;  c 4;0; 4 

Tọa độ của vecto d a b 2c là

hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  2; 3;3 

hệ tọa độ Oxyz , cho A1;3; 2

Oxyz cho ba điểm A(- 1; 2; 3 ,- ) (B 1;0;2 ,) (C x y; ; 2- )

thẳng hàng Khi đó x+y bằng

115

115

tọa độ Oxyz, cho a i 2j 3k Tọa độ của vectơ a là

Câu 22 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm

giác ABC với A1;3; 4 , B2; 1;0 ,  C3;1; 2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A G2;1;2

23; ;33

độ Oxyz cho tam giác ABC biết A5; 2;0 ,  B2;3;0

Tọa

độ vecto AB

là:

tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz

thì M x y z ; ; 

B Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x y z ; ; 

C Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x y z ; ; 

D Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ Othì M2 ;2 ;0x y 

giả sử u2i3 j k , khi đó tọa độ véc tơ ulà

Oxyz, cho hai điểm A2; 4;3  và B2; 2;9 Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A 0;3;3

B 4; 2;12  C 2; 1;6  D

3 30; ;

4

B m4;n 3 C m1;n 0 D

47;

độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), (2; 1;3) B  và C ( 3;5;1) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là

hình bình hành

Câu 50 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho 2 điểm B1; 2; 3 , C7;4; 2  Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE 2EB

thì tọa độ điẻm E

là:

A

8 83; ;

3

Oxyz , Tam giác ABC với A1; 3;3 

Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;5 ,   B5; 5;7 ,  M x y ; ;1

Với giá trị nào của ,x y thì , , A B M thẳng hàng.

3 3

  C D0;8;8

D D    4; 2; 6

điểm đối xứng của M ; ;1 2 3 qua mặt phẳng  Oyz là

A 0 2 3; ; 

D 1 2 3; ; 

, B2;1; 2 , C0;3; 4 Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

hai điểm A0;1; 2  và B3; 1;1  Tìm tọa độ điểm M sao cho AM  3AB

Câu 59 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các

điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oy là

, B0; 1;0 , C0;0; 6  Nếu tam giác A B C   cócác đỉnh thỏa mãn hệ thức A A B B C C     0

thì tam giác A B C   có tọa độ trọng tâm là

A B C Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng

với các điểm , ,A B C và  AMB BMC CMA  90 ?

Dạng 2 Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng

Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng

Câu 67 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ

5

a b

r r 2cos ,

25

a b

r r 2cos ,

ABC biết A1;3, B   2; 2, C3;1 Tính cosin góc A của tam giác.

A

2cos

17

A 

B

1cos

17

A 

C

2cos

17

A 

D

1cos



313



hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u  3;0;1 và v  2;1;0 Tính tích vô hướng u v .

điểm ( 1; 2;3)A   (0;3;1)B , (4; 2; 2)C Cosin của góc BAC là

A

9

935

Câu 76 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm

Oxyz , cho tam giác ABC có A1;0;0

cho véc tơ u1;1; 2 ,  v1;0;m Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u, v bằng 45

Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng

biết A3; 2; m,B2;0;0, C0; 4;0, D0;0;3 Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ diệnbằng 8

m 

B m  hoặc 1

113

m 

C m  hoặc 1 m 3 D m 1

độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A2; 1;1 , B3;0; 1 , C2; 1;3 , D Oy và có thể tích bằng 5 Tínhtổng tung độ của các điểm D

A 2m n+ =13 B 2m n- =13 C m+2n=13 D 2m- 3n=10.

hai điểm A1;0; 1 ,  B1; 1; 2  Diện tích tam giác OAB bằng

6

11

A  B  C  D    Câu nào sau đây sai?

A Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng B Tam giác ACD là tam giác vuông tại A

C Góc giữa hai véctơAB

và CD là góc tù D Tam giác ABD là tam giác cân tại B

D D

D D

Dạng 3 Xác định tâm, bán kính của mặt cầu

Câu 90 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

Câu 92 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của

m để phương trình x2y2z2 2x 2y 4z m  là phương trình của một mặt cầu.0

Câu 93 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

  S : x 52y 12z22 9

Tính bán kính R của  S

  S : x32y12z12 2 Tâm của  S có tọa độ là

A 3; 1;1  B 3; 1;1  C 3;1; 1  D 3;1; 1 

tâm I và bán kính R của mặt cầu x12 y22z 42 20

Câu 100 (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2y 2z 7 0.

Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S :x2y2z2 8x2y 1 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu

 S

A I–4;1;0,R 2 B I–4;1;0,R 4

C I4; –1;0 , R 2 D I4; –1;0 , R 4

Câu 102 (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho mặt cầu

 S :x2y2 z2 2x4y2z 3 0 Tính bán kính R của mặt cầu  S .

 S :x2y2z2 8x2y 1 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu  S

:

A I4;1;0 , R2 B I4;1;0 , R4 C I4; 1;0 ,  R2 D I4; 1;0 ,  R4

  S : x32y12z12  Xác định tọa độ tâm của mặt cầu 2  S

 S x: 2y2z22x 4y 2z 3 0 Tọa độ tâm I của mặt cầu  S là:

A 1; 2; 1

B 2; 4; 2   C 1; 2; 1   D 2; 4;2

cho mặt cầu  S x: 2y2z2 8x10y 6z49 0 Tính bán kính R của mặt cầu  S

cho mặt cầu có phương trình x12y22z 32  Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt4cầu đó

Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( )2 ( )2 ( )2

giá nguyên của m để

2 2 22 2  2 1 3 2 5 0

là phương trình một mặt cầu?

A 4 B 6 C 5 D 7

các giá trị của m để phương trình x2y2z2 2m2x4my19m 6 0

là phương trình mặt cầu

A 1m2 B m1 hoặc m2. C 2m1. D m 2 hoặc m1.

cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình

AB là 4 Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA3MB là một mặt cầu Bán kínhmặt cầu đó bằng

trình x2 y2 z2  2m2x4my 2mz5m2   Tìm các giá trị của m để phương trình trên là9 0phương trình của một mặt cầu

Câu 120 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I1;1;1

điểm A1; 2;7 ,  B3;8; 1  Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

A x12y 32z 32  45 B x12y32z32 45

C x12y 32 z32  45

D x12y 32z 32 45

viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 4;3 

và đi qua điểm A5; 3; 2 

B2; 2; 3  Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A x2 y 32z12 36

B x2y32 z12 9

C x2 y 32 z12 9 D x2 y 32 z12 36

trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

A x2y2z2 2x4z1 0 B x2 z23x 2y4z1 0

C x2y2z22xy 4y4z1 0 D x2y2z2 2x2y 4z 8 0

Câu 19 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2; 1; 3  

; B0;3; 1  Phương trình của mặt cầu đườngkính AB là :

A x12y12z 22 6 B x12y12z22 24

C x12y12z 22 24 D x12 y12z22 6

nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

A x2y2z2 x 2y4z 3 0 B 2x22y22z2 x y z  0

C 2x22y22z24x8y6z 3 0 D x2y2z2 2x4y 4z10 0

trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 , B5;4; 1 

Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Câu 134 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính R 2?

A  S x: 2y2z2 4x2y2z 3 0 B  S x: 2y2z2 4x2y2z10 0

C  S x: 2y2z2 4x2y2z  2 0 D  S x: 2 y2z2 4x2y2z  5 0

Oxyz , cho điểm A1;1;2 , B3;2; 3  Mặt cầu  S có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm ,A B có

 S qua bốn điểm A3;3;0, B3;0;3, C0;3;3 , D3;3;3 Phương trình mặt cầu  S là

Oxyz , cho mặt cầu   S : x12y12z2  Một mặt cầu 4  S có tâm I9;1;6

và tiếp xúc ngoàivới mặt cầu  S Phương trình mặt cầu  S là

A x 92y12z 62 64 B x 92y12z 62 144

C x 92y12z 62 36

D x92y12z62 25

qua điểm A1; 1;4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

Câu 140 [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M2;2;1

Câu 141 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , gọi I a b c ; ; 

là tâm mặt cầu điqua điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ Tính P a b c  

Dạng 3 Một số bài toán khác

Câu 142 (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S x: 2y2z 22 3

Có tất

cả bao nhiêu điểm A a b c ; ; 

( , ,a b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy

sao cho có ít nhất hai tiếptuyến của  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Câu 143 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S :x2  y2 z12  Có5tất cả bao nhiêu điểm A a b c , ,  ( , ,a b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxysao cho có ít nhất hai tiếptuyến của  S

đi qua Avà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Câu 144 (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu:  S x: 2y2z12 5

Có tất

cả bao nhiêu điểm A a b c ; ;  ( , , a b c

là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy

sao cho có ít nhất hai tiếptuyến của  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?

( ) :S x y z 9, điểm M(1;1; 2) và mặt phẳng ( ) :P x y z   40 Gọi  là đường thẳng đi qua

M , thuộc (P) và cắt r ( )S tại 2 điểm ,A B sao cho AB nhỏ nhất Biết rằng  có một vectơ chỉ phương là(1; ; )

u a b , tính   T a b

hai điểm A(9, 3, 4- ), B a b c( , , ) Gọi M N P lần lượt là giao của đường thẳng AB với mặt phẳng, ,, ,

Oxy Oxz Oyz Biết các điểm , , M N P đều nằm trên đoạn AB sao cho AM =MN =NP=PB Tính giá trị

ab bc+ +ac bằng

Câu 147 (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

  S : x12y12z2  và một điểm 4 M2;3;1

Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới  S

, biếttập hợp các tiếp điểm là đường tròn  C Tính bán kính r của đường tròn  C .

A

2 33

r 

33

r 

23

r 

72

r 

32

r 

52

r 

lần lượt là 2 ,3,3, 2 (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốnmặt cầu nói trên có bán kính bằng

Oxyz, cho các điểm A1;2;3 , B6; 5;8  và OM  a i b k.  .

trong đó a b, là cá số thực luôn thay đổi.Nếu MA 2MB

trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) :(S x1)2(y 2) (2 z1)2  và9

hai điểm (4;3;1)A , (3;1;3)B ; M là điểm thay đổi trên ( )S Gọi m n, lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2MA2 MB2 Xác định (m n )

Oxyz , cho 4 điểm A2;4; 1 , B1;4; 1 , C2;4;3

mặt cầu   S : x12y 22z12 9 và hai điểm A4;3;1, B3;1;3; M là điểm thay đổi trên  S .

Gọi m n, là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2MA2 MB2 Xác định m n 

tam giác ABC với A2;1;3, B1; 1; 2 

độ Oxyz , cho bốn điểm A2; 3;7 , B0;4;1

thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy

Tìm giá trị của biểu thức

Câu 162 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho a b c d e f, , , , , là các số thực thỏamãn

các điểm A0; 1;3 , B   2; 8; 4  C2; 1;1  và mặt cầu   S : x12y 22z 32 14 Gọi

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ

12

52

A B I

A B I

A B I

Hình chiếu vuông góc của điểm M3; 1;1 

0 1;0;42

42

Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng Oyz

, ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của A3; 1;1 

lên Oyz là điểm N0; 1;1 

Trung điểm I có tọa độ:

1 2;1;32

32

A B I

A B I

A B I

.Khi đó: u2a3b 2c  2; 2; 7 

.Câu 24 Tọa độ trung điểm I của AB là

Câu 25 Trung điểm M có tọa độ là

 

1 31

A B M

A B M

A B M

A B M

1 2 3

23

3 1 1

1 2;1; 2 3

4 0 2

23

Vậy D0;0;1

.Câu 33 Ta có: AB   1;1; 2

.Câu 34 Mặt phẳng tọa độ Oyz

có phương trình là x 0 N0;4; 1   Oyz

.Câu 35 Ta có i(1;0;0),j(0;1;0),k (0;0;1).

thì M x ; y z; 

Do đó phương án A sai.

Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M  x; y;z Do đó phương án B sai.

Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M  x; y; z   Do đó phương án D sai.

Câu 38 Theo định nghĩa ta có i 1;0;0

1 11

A B I

Gọi I là trung điểm của đoạn AB Ta có

A B I

A B I

A B M

A B M

x x

z

z E

Câu 54 Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz H ; ;0 2 3

Gọi M ' là điểm đối xứng với M ; ;1 2 3 qua mặt phẳng  Oyz

x y z

73

x y

Câu 62 Gọi A x y z ; ; , A x y z'( ; ; )  

là điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy

Điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oy nên

'''

 G là trọng tâm của tam giác A B C  

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác A B C   là 1;0; 2 

Câu 64 Gọi tọa độ điểm C là x y z; ; 

 OI   OD D

Do đó a b c  0.

Câu 66 Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm của , , AB BC CA

Do AMB BMC CMA    nên các tam giác 90 AMB BMC CMA, , vuông tại M

Mặt khác AB BC AC 2 2.Vậy MI MJ MK  2 Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách IJK

một khoảng không đổi là 2 Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Dạng 2 Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng

a b

a b

Câu 68 Chọn C