Toán 10 Bài 1 CUNG LƯỢNG GIÁC

Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác; số đo đơn vị độ, rađian; mối quan hệ giữa các đơn vị này.. - Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điể

Trang 1

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 CUNG LƯỢNG GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

1 Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác; số đo đơn vị

độ, rađian; mối quan hệ giữa các đơn vị này

2 Phát hiện được các vấn đề trong toán học từ những bài toán thực tế

 Kĩ năng

1 Đổi được đơn vị từ độ sang rađian và ngược lại

2 Biểu diễn được cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

3 Tính được độ dài cung tròn, số đo cung theo dữ kiện cho trước

4 Xác định được điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm cung và góc lượng giác

- Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn

một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là

chiều âm Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng

hồ là chiều dương (Hình 1)

- Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B

thì có vô số cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B,

kí hiệu ABÐ Lưu ý: kí hiệu AB chỉ cung hình học xác định bởi

A, B

- Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDÐ

Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên

cung lượng giác CDÐ nói trên Khi đó tia OM quay xung quanh

gốc O từ vị trí OC đến OD Ta nói tia OM tạo ra một góc

lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng

giác đó là OC OD (Hình 1)., 

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng

tâm O bán kính R 1 Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn

điểm A1;0 , A1;0 , B0;1 , B0; 1  Ta lấy A1;0 làm

điểm gốc của đường tròn Đường tròn được xác định như trên

được gọi là đường tròn lượng giác gốc A (Hình 2)

Hình 1

Hình 2

Số đo cung và góc lượng giác

- Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính

được gọi là cung có số đo 1 rad

- Quy tắc đổi từ độ sang rad và từ rad sang độ:

180



  và 1 rad 180





- Độ dài cung có số đo  rad của đường tròn bán kinh R

được tính theo công thức: I .R

- Số đo của một cung lượng giác AM A MÐ   

là một số

thực âm hay dương Kí hiệu số đo cung AMÐ là sđ AMÐ

- Số đo của góc lượng giác OA OC là số đo của cung, 

lượng giác ACÐ tương ứng

- Để biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng

giác ta chọn điểm gốc A1;0 làm điểm đầu, điểm cuối là điểm

M được xác định bằng hệ thức sđAMÐ 

Ví dụ: Vì 25 8



  nên điểm

cuối của cung 25

3



là điểm M thuộc cung nhỏ AB sao cho

3

AOM   

Biểu diễn cung lượng giác 25

3

 trên đường tròn lượng giác như hình vẽ:

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Đơn vị đo độ và rađian

 Phương pháp giải

Dùng mối quan hệ giữ độ và rađian: 180  rad

 Đổi cung a có số đo từ rađian sang độ a.180





 Đổi cung x có số đo từ độ ra rađian

180

x 



Ví dụ:

a) Đổi cung 3

4 có số đo từ rađian sang độ

3 rad 3 .180 135





b) Đổi các cung 50 ;11 15  có số đo từ độ sang rađian

5

 15





 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Đổi số đo các cung sau đây: 25 ;30 ;24 15 ;80 30      từ độ ra rađian

Hướng dẫn giải

Ta có 25 25 5 rad

180 36



60 180 720





60 180 360





Ví dụ 2 Đổi số đo các cung sau đây: ; ;0,75 ;3,75

9 24

 

 từ rađian sang độ

Ta có rad= 180 20











180 0,75 rad 0,75   135





Ví dụ 3 Số đo cung 10,5 rad từ rađian sang độ, phút, giây là 

A 601 36 19   B 601 36 20   C 601 36 21   D 601 36 22  

Do 10,5rad=10,5.180 1890

 nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau

601 36 20.47

Trang 4

Vậy gĩc lượng giác cĩ số đo 10,5 rad thì cĩ số đo theo độ làm trịn đến giây là   601 36 20  

Chọn B.

Ví dụ 4 Đổi số đo cung 138 32 22   từ độ sang rađian là (làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba)

Do 138 32 22 138 32 22 rad

180



 nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính

bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau

Ta được kết quả là 2,417969449

Vậy gĩc lượng giác cĩ số đo 138 32 22   thì cĩ số đo theo rađian làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba là 2,418

Chọn C.

Ví dụ 5 Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuơng gĩc với

nhau? Lúc đĩ tổng số đo gĩc hai kim quay được theo rađian hoặc độ là bao nhiêu? (Độ: chính xác đến giây; rađian: chính xác đến chữ số thập phân thứ ba)

A 212 83 37   B 3,724 rad  C 3,713 rad  D 213 83 37  

Lúc 3 giờ hai kim vuơng gĩc với nhau nên khoảng cách giữa hai kim là 1

4 vịng đồng hồ Để kim phút vuơng gĩc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách giữa hai kim là 1

4 vịng đồng hồ một lần nữa.

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng cơng thức quen thuộc là

Thời gian = Quãng đường : Vận tốc

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 1 1 11

12 12

  (vịng đồng hồ/giờ)

Vào lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là 1

4 vịng đồng hồ Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại vuơng gĩc với kim giờ là 1 1 11 6:

4 4 12 11

Trong một giờ kim phút quay được một vịng 360 , cịn kim giờ quay được 30 cho nên tổng số đo gĩc

hai kim quay được trong 6

11 giờ là 6 360 30  2340



Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi và thực hiện giống như Ví dụ 3 và Ví dụ 4 thì ta cĩ được kết quả như

sau 212 43 38   và 3,713 rad 

Chọn C.

Trang 5

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Góc lượng giác có số đo 2880 thì có số đo theo rađian là

A 16 rad  B 16 rad  C 16 rad  D 16 rad 

Câu 2: Góc lượng giác có số đo rad

36



thì có số đo theo độ là

Câu 3: Góc lượng giác có số đo 49 rad

5 thì có số đo theo độ làm tròn đến phút là

A 561 29 B 561 30 C 561 31 D 561 32

Câu 4: Góc lượng giác có số đo 78 thì có số đo theo rađian là

A 13 rad 

30



B 13 rad 

30



13

Câu 5: Góc lượng giác có số đo 22 30 đổi ra rađian là

A rad

8

12

5

6



Câu 6: Cho OA OM,  23 15 k360 ; k  Với k bằng bao nhiêu thì OA OM,  3263 15 ?

Câu 7: Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A1;0 , A1;0 , B0;1 , B0; 1  Ta thường chọn điểm gốc của đường tròn lượng giác tại điểm nào?

A A1;0 B O0;0 C B0;1 D A  1;0

Câu 8: Một bánh xe có 108 bánh răng Góc mà bánh xe quy được khi di chuyển 30 bánh răng là

Bài tập nâng cao

Câu 9: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN 5m qua sông (như hình vẽ) Biết rằng AB 50m Số đo cung AMB theo rad gần bằng số nào trong các số sau?

A 0,25 rad  B 0,35 rad  C 0,45 rad  D 0,55 rad 

Trang 6

Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên

đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:

- Chọn điểm A1;0 làm điểm đầu của

cung

- Xác định điểm cuối M của cung sao

cho AM 

Ð

Lưu ý:

+ Số đo của các cung lượng giác có cùng

điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một

bội của 2 là:

sñAM  k2 ; k 

Ð Ngoài ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ:

sñAM x  k360 , k 

Ð

+ Nếu ta có AM k2 ; ,k n

n





Ð

thì sẽ

có n điểm ngọn.

Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các

điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là 25

4



Ta có

AM           Ð

Vậy điểm cuối M của cung AMÐ sẽ trùng với điểm ngọn của cung

4

 Suy ra M là điểm chính

giữa của cung nhỏ AB

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là 1485

Ta có sñAM 1485 45   4 360

Ð

Vậy điểm cuối M của cung AMÐ sẽ trùng với điểm ngọn của cung 45

Suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.

Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là

;

6 k 2 k

Trang 7

AM k 

Ð

nên có 4 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác

0 sñ

6

k  AM 

Ð

có điểm ngọn là M

1 sñ

6 2

k  AN   

Ð

có điểm ngọn là N

2 sñ

6

k  AP   

Ð

có điểm ngọn là P

3

3 sñ

k  AQ   

Ð

có điểm ngọn là Q

6

k  AR   

Ð

có điểm ngọn là R Lúc này điểm ngọn R trùng với M

Vậy bốn điểm M N P Q, , , tạo thành một hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác.

Ví dụ 3: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là ;

3

k k 

Ta có sñ 2

6

AM k 

Ð

nên có 6 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác

k  AM

Ð có điểm ngọn là M

1 sñ

3

k  AN 

Ð

có điểm ngọn là N

2

2 sñ

3

k  AP 

Ð

có điểm ngọn là P

3 sñ

k  AQ 

Ð

có điểm ngọn là Q

4

4 sñ

3

k  AR 

Ð

có điểm ngọn là R

5

5 sñ

3

k  AS 

Ð

có điểm ngọn là S

k  AT 

Ð

có điểm ngọn là T

Lúc này điểm ngọn T trùng với M

Vậy sáu điểm M N P Q R S; ; ; ; ; tạo thành một lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

Ví dụ 4: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với

nhau?

A 6

7

8

9

11giờ

Câu này ta thấy giống Dạng 1 Ví dụ 5 Nhưng giờ ta sẽ giải theo một cách tư duy khác như sau.

Trang 8

Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 ; kim giờ quét được một góc

6

 Hiệu vận tốc giữa

kim phút và kim giờ là 2 11

  

Vào lúc 3 giờ hai kim vuông góc với nhau cho nên khoảng cách giữa hai kim là

2

 Sau đó kim phút phải

quay để bắt kịp kim giờ và tạo thành một góc vuông nữa nên kim phút cần phải quay thêm

2

 nữa

Khoảng thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần nữa là :11 6  h

Chọn A.

Câu 1: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung

lượng giác có số đo là

5



A 7

5



B 12 5



C 13 5





D 31 5



Câu 2: Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, khi nào xảy ra

trường hợp các điểm đầu, cuối của chúng trùng nhau?

A Khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2

B Khi các số đo hơn kém nhau một ước của 2

C Khi các số đo hơn kém nhau một bội của 

D Khi các số đo hơn kém nhau một ước của 

Câu 3: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối không trùng với

cung lượng giác có số đo là 23

7





A 5

7



B 19 7



C 34 7



D 47 7



Câu 4: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung

lượng giác có số đo là 1756?

Câu 5: Cung nào sau đây có điểm cuối trùng với M? Biết M là điểm chính giữa của cung AB



Trang 9

Câu 6: Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm B và điểm cuối trùng với M? Biết M là điểm chính giữa của cung A B 



Câu 7: Biết tam giác OCB và ODB là hai tam giác đều Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm A và điểm cuối trùng với B C D, ,



2 k 3 k

6 k 3 k

Câu 8: Cho 

6

AOB  Cho các góc lượng giác có số đo ;5 ; 5 13; ; 11 7; ; 7

góc lượng giác có số đo trên, có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB

A 1

B 2

C 3

D 4

Trang 10

Câu 9: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông

góc với nhau hai lần Hỏi thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên gần với số nào sau đây?

Câu 10: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ thời gian lúc 12 giờ Hỏi thời gian để hai kim trùng nhau

lần thứ hai là bao lâu (không tính lúc 12 giờ)?

A 23

24

25

Câu 11: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông

góc với nhau hai lần Số lần hai kim vuông góc với nhau từ 12 giờ đến 15 giờ và 16 giờ là

A 6 và 7 lần B 6 và 8 lần C 5 và 7 lần D 5 và 8 lần

Dạng 3 Độ dài của một cung tròn

Cung có số đo  rad của đường tròn bán kính

R có độ dài là I R 

Ví dụ: Một đường tròn có bán kính 30 cm Tìm

độ dài của các cung trên đường tròn có số đo sau đây: rad;70

15





Gọi , ,I R lần lượt là số đo cung, độ dài cung

và bán kính của đường tròn Khi đó R 30 cm

Độ dài cung có số đo rad

15



là:

15



I R

Độ dài cung có số đo 70

Chuyển từ độ sang rađian: 70 70 7

180 18



Độ dài cung: 30.7 35 cm 



I R

Ví dụ 1: Trên đường tròn định hướng có bán kính bằng 3 lấy một cung có độ dài là 2 Số đo theo độ của cung đó là

Gọi , ,I R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn

Khi đó R3;I 2

I

I R

R





Chọn A.

Ví dụ 2: Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính Số đo theo

rađian của cung đó là

Trang 11

A.1 rad

Vì độ dài bằng nửa bán kính nên 1

2

I  R

2

R I

I R

Chọn A.

Ví dụ 3: Biết độ dài của xích đạo là 40000 km Bán kính của Trái Đất là

A.6166,2 km B 6266,2 km C 6366,2 km D 6466,2 km

Khi đó I 40000 km 

2

I

I R R

Chọn C.

Ví dụ 4: Kim giờ dài 5,5 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu 2 kim lại vuông góc với nhau? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

Câu này ta thấy giống Ví dụ 5 Dạng 1 nhưng giờ ta sẽ giải theo 1 cách khác như sau.

- Một giờ, kim phút quét được 1 góc lượng giác 2 ; kim giờ quét được một góc

6



- Vào lúc 4 giờ hai kim cách nhau 1

3 đồng hồ cho nên khoảng cách giữa hai kim là

2

3 Sau đó kim phút phải quay để tạo thành 1 góc vuông với kim giờ nên kim phút cần cách kim giờ 1 khoảng

2

 nữa

- Trong 1 giờ kim giờ vuông góc với kim phút 2 lần nên ta có 2 ngọn cung 2

2

k  k

- Lưu ý chiều dương lượng giác là chiều ngược kim đồng hồ

- Gọi x là thời gian để hai kim vuông góc với nhau.

Ta có





11

k  x (giờ)

Vậy sau 1

11(giờ) hai kim sẽ lại vuông góc với nhau.

- Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

Trang 12

 

I R        

Chọn B.

Câu 1 Điền vào chỗ còn trống sau

Cung có độ dài bằng … độ dài đường tròn là cung có số đo 1

A 1

1

1 720

Câu 2 Điền vào chỗ còn trống sau

Cung có độ dài bằng bán kính đường tròn là cung có số đo … rađian

Câu 3 Trên đường tròn có diện tích là 16 cm 2 Độ dài cung 75 trên đường tròn gần bằng

Câu 4 Trên đường tròn có bán kính R 20 cm Độ dài cung rad

2

 trên đường tròn bằng

Câu 5 Cung lượng giác có số đo x của đường tròn bán kính R có độ dài là

A I R x  B

180

I R x  

x



R





Câu 6 Bánh xe máy có đường kính 60 cm Nếu chạy với vận tốc 30 km/h thì trong 1 giây bánh xe quay được 1 góc là bao nhiêu (làm tròn đến độ, phút)?

A 1591 33 B 1491 33 C 1691 33 D 1791 33

Câu 7 Máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh trước Bánh xe sau có đường kính là 1,892 m; bánh xe trước có đường kính là 95 cm Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và khi đó bánh trước lăn được một góc bao nhiêu độ?

A 7169 41 B 7069 41 C 7569 41 D 7969 41

Câu 8 Bánh xe của một ròng rọc có chu vi 0,54m Dây cua roa bao bánh xe trên cung ABÐ có độ dài là 0,2m Số đo góc AOB bằng

A 127

B 130

C 133 20

D 136

Trang 13

Câu 9 Kim giờ của đồng hồ dài 5,5 cm, kim phút dài 11 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ Hỏi khi hai kim trùng nhau lần thứ ba thì tổng quãng đường của hai kim đã quay là bao nhiêu?

A 25 cm B 50 cm C 75 cm D 100 cm

Câu 10 Kim giờ của đồng hồ dài 11 cm, kim phút dài 22 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông góc với nhau hai lần Khi hai kim vuông góc với nhau lần thứ ba thì tổng quãng đường của hai kim đã quay là

A 60 cm B 62,5 cm C 65 cm D 67,5 cm

Câu 11 Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN 5m qua sông (như hình vẽ) Biết rằng AM25m Độ dài cung AMB gần bằng

Câu 12 Từ một miếng tôn hình tròn có bán kính R 8 cm, người ta muốn cắt thành 1 hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Khi đó diện tích của hình chữ nhật đó là bao nhiêu? Độ dài của cung AB là bao nhiêu?

A S128 cm ;2 I AB4

B S4 cm ;2 I AB 128

C S128 cm ;2 I AB128

D S4 cm ;2 I AB 4

Đề bài sử dụng cho câu 13, 14, 15 Để vẽ hình quả trứng, bạn Bình vẽ bốn cung tròn chắp nối với nhau như hình vẽ dưới đây: nửa đường tròn ACB có đường kính AB , cung BE có tâm A bán kính AB , cung

FA có tâm B bán kính BA và cung EF có tâm D bán kính DE Biết rằng AB 4 cm

Câu 13 Độ dài cung EF bằng bao nhiêu?

C 2,04 cm D 2,24 cm

Câu 14 Độ dài cung BE bằng bao nhiêu?

A 3,14 cm B 3 cm

C 3,24 cm D 3,41 cm

Câu 15 Diện tích của quả trứng là bao nhiêu?

A 14,9cm2 B 15,9cm2

C 16,9cm2 D 17,9cm2

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	5,14 MB