Chinh phục toán THPT chương 2 hàm số mũ và logarit

+ Hàm sốy x a, với a không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương.. Trang38 Page: Chinh phục toán THPT Số phát biểu đúng là: Câu 15: Cho a và b là hai số thực dương... Đồ thị

Trang 1

Trang1 Page: Chinh phục toán THPT

CHƯƠNG II MŨ VÀ LOGARIT

Chủ đề 1: LŨY THỪA 2

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA 12

CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT 17

CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 43

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 78

CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 107

CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 119

CHỦ ĐỀ 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 145

CHỦ ĐỀ 9 : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ 158

CHỦ ĐỀ 10: ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT-GTLN, GTNN CỦA MŨ VÀ LOGARIT NHIỀU BIẾN 173

Trang 2

Chủ đề 1: LŨY THỪA

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Luỹ thừa vói số mũ nguyên

 Luỹ thừa với số mũ nguyên dương

Cho số thực b và số nguyên dương n2

Sô a được gọi là căn bậc n của số bnếu an  b

Khi n lẻ ; b :Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là nb

Khi nchẵn và b 0 thì không tồn tại căn bậc n của số b

Khi n chẵn; b0 chỉ có duy nhất một căn bậc n của số b là 0 0n 

Khi n chẵn; b0 có 2 căn bậc n của số thực b là nb vànb

3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực a0 và số hữu tỷ r m

n

 , trong đó m;n,n2 Khi đó

m n

a a  a

4 Luỹ thừa vói số mũ vô tỷ

Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và  r là một dãy số hữu tỷ sao cho n lim n

  Khi đó lim rn

Trang 3

II VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức    3  5  

23 12

5 2

12 A a

   (tại sao lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )

Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A b b 12 .13 6 b b 0 ta được:

b Lời giải

Ta có:

1 1 1 1 1 1

3 6 2 3 6

2

A b b b b   b

Trang 4

( Các em có thể cho b2 và bấm máy

1 1 6

3 3 2log 2 2 2 1  A b)

5 6

Lời giải

Ta có:

2 1

1 2 1

2 3 6 1

2 3

A a

 

5 3 3

A a

 

4 3 3

Trang 5

(Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO )

Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức  2 3 2 2 1 2 4 2 

5 9

5 16

Trang 6

Ta có:  

 

5 2 5

Trang 7

A A ab B A 3ab C A 6ab D A 6 a6 b Lời giải

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Trang 11

Trang 12

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA

I LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Định nghĩa hàm số lũy thừa

+ Hàm sô y x a , với a R , được gọi là hàm số lũy thừa

2 Tập xác định

+ Hàm số y x a, với a nguyên dương, xác định với  x R

+ Hàm sô y x a, với a nguyên âm hoặc a 0 xác định với 0

+ Hàm sốy x a, với a không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương

Lưu ý Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó

y x không đồng nhất với hàm số y n x n N  * Chẳng hạn, hàm số y  3 x là hàm số căn bậc ba, xác định với  x Rcòn hàm

số lũy thừa y x 13xác định với  x 0

3 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

+ Hàm sô lũy thừa y xa R có đạo hàm tại mọi điểm x 0 và  x '.x 1

+ Nếu hàm số u u x   nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì yua x

cũng có đạo hàm trên J và u x  '.u 1   x u x'

Chú ý Ta cần lưu ý hai kết quả sau:

+ Với  x 0nếu n chẵn, với  x 0nếu n lẻ thì   1 1

n

n n

u x

n u  x

 (Với  x J)

Trang 13

4 Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa

Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng y x  với  0 và với tập xác định là

0;

+ Hàm số y x  đồng biến trên khoảng 0; nếu  0

+ Hàm số y x  nghịch biến trên khoảng 0; nếu  0

+ Đồ thị hàm số y x  luôn đi qua điểm (1;1)

II VÍ DỤ MINH HỌA

Trang 14

44



 xy

xLời giải:

Ta có  4 10 1 3 3 4 9

' 10 1  4 40 1

Chọn A

Trang 15

3 1'

Trang 16

Câu 10: Cho hàm số

2 4 2

12







xy

x Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A

 2

3 2

1'

Trang 17

CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.Định nghĩa

Cho 2 số dương a,b với a1 thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu

là logab Như vậy a   b  logab

Ví dụ: Tính biểu thức sau: log 4;log 32;log2 2 2 4 2 ; log 27;log 9 3 3

Để tính biểu thức a b? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b (a?b)

Do vậy log 4 2,log 8 3;log 4 4 2  2  2  Các bạn tính các giá trị còn lại nhé!

Chú ý: +) Khi a10là cơ số thập phân ta ký hiệu: log x ( log x được hiểu là log x10 )

Công thức 3: +) logaxloga yloga xy

+) loga xloga yloga xx y; 0;1 a 0

loga xy logaxloga y

Công thức 4: log n  log ;

ab n ab loganb1log ( ,ab a b0;a1)

n

Trang 18

Chứng minh: 1 Ta có: log n log  log log   log  log

Hướng dẫn: Chọn D

Ta có

2 1

3

33



  ta được kết quả bằng

98

Trang 19

Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức Aloga 4a3 1 a 0

3

2 4

2log

A

Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức Alogaa3 a a5  1 a 0 là:

Trang 20

3 2

5

2 2

log log

b a

a

b

lo a b

Trang 21

Hướng dẫn: Chọn B

Ta có: Ploga b c2 3 2 logab3logac13

Ví dụ 12: Cho log3x4log3a2log3b a b ; 0 Khi đó

Trang 22

Ví dụ 17:[ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016]:

Cho log2x 2 Tính giá trị của biểu thức 2 3

Trang 23

Hướng dẫn: Chọn A

3

2 2

Ta có: A3log3xlog3xlog3x3log3x3 1  2

Ví dụ 22: Cho log3x 1 2 Tính giá trị biểu thức: 3 2

Ta có: A3log3xlog3xlog3x3log3x3 1  2

Ví dụ 23: Tính giá trị của biểu thức 3 

3

1log log 1 ; 0

Trang 24

a bxc

A loga x16 B loga x6 C logax13 D log 5

2



a xHướng dẫn: Chọn A

 a bx

2 2

2 BIỂU DIỄN LOGARIT

Ví dụ 1: Cho các số dương ; (a b a1) Khẳng định nào dưới đây là sai

Trang 25

A logaa b3 4 3 4 logab B log log

log 3

 a a

a

bb

C 2 2 log ablogaa2b 2 D log log 9 2log 3ab b  a

Hướng dẫn: Chọn C

2 2 log ab2 logaa2 logab2 logaab2 loga ab

Ví dụ 2: Cho các số thực dược a,b,c với a,b,ab1 Khẳng định nào sau đây là sai

A logaclogbclogabc B 2 logab3logacloga b c 2 3

C logbclogablogac D log log

log

 a b

a

cc

bHướng dẫn: Chọn A

Ta chỉ có logcalogcblogc ab c1

Ví dụ 3: Cho các số dương a b 0a1 Khẳng định nào dưới đây là sai

A logaa2b2logaa b logaa b   B logaa b2 2 2 2 logab

loga a b 2 loga a b 2 1 log ab

Ví dụ 4: Cho các số dương a b; 0a1 Khẳng định nào dưới đây là sai

Ta có: log a a b log a alog a b  2 logab

Ví dụ 5: Cho các số dương ;a b0 (a1) Khẳng định nào dưới đây là sai

Trang 26

Ta có:

2

32logab3logaclogab logac loga b

Ta có loga xloga yloga xy

Ví dụ 8: Đặt alog 32 Hãy tính log 482 theo a

A log 48 3 22   a B log 48 4 22   a C log 48 42   a D log 48 52   a

Hướng dẫn: Chọn C

Ta có:  4

log 48 log 2 3  4 log 3 4  a

Ví dụ 9: Đặt alog 52 Hãy tính log 104 theo a

2





aa

Trang 27

 

2 2

Ví dụ 11: Cho log 52  a Hãy tính log 12504 theo a

5 1



5log 15

3 1



1log 15

2 1



1log 15

Ví dụ 13: Cho alog 72 Hãy tính log 4914 theo a

1



 aHướng dẫn: Chọn A

Ta có:

 

2 14

Ví dụ 14: Cho log 1020 a Hãy biểu diễn log 52 theo a

Trang 28

 

2 2

Suy ra log 5 4 2 log 52 2 log 52 4

 

2 2

log 18 log 2.3 1 2log 3

Ví dụ 17: Cho alog 5020 Hãy biểu diễn log 52 theo a

 

2 2

log 20 log 2 5 2 log 5

Ví dụ 18: Đặtlog 32 a b, log 53 Hãy biểu diễn log 452 theo a và b

A log 45 22  a2ab B log 452  a ab C log 45 32  a ab D log 45 22  a ab

Hướng dẫn: Chọn D

Trang 29

Ví dụ 19: Đặtlog 32 a b, log 53 Hãy biểu diễn log 1512 theo a và b

log 15 log 3 log 5log 15



a ab

ab b D.

2 6

Ví dụ 21: Đặt alog 2;5 blog 35 Hãy tính log 725 theo a và b

A log 72 35  a2b B log 72 25  a3b C log 72 35  a3b D log 72 25  a2b

Hướng dẫn: Chọn A

Ta có:  3 2

log 72 log 2 3 3log 2 2 log 3 3  a2b

Ví dụ 22: Đặt log 3 p;log 5q Hãy biểu diễn log 3015 theop q;

Trang 30

Ví dụ 23: Choalog 15;3 blog 103 Hãy tính log 503 theo a và b

ab b C.

4 22







bA

ab bHướng dẫn:Chọn đáp án B

12



ab b

a bHướng dẫn:Chọn đáp án D

 

2 2 2

Trang 31

 

2 2 5

 

2 2

C

12

2log 20

log 2 5log 20





a b

ab aHướng dẫn:Chọn đáp án B

Trang 32

1log 15 log 5 log 3 log 3 2

Ví dụ 33: Cho các số thực ,a b0;a1 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A logaa4b 4 logab B logaa2a b2 2 2 logab21

C logaa b  1 logab D logaa b3   1 4 logab

Hướng dẫn:Chọn đáp án B

Ta có: logaa2a b2 2logaa b2 21logaa2logab2  1 2 logab21

Trang 33

Câu 34: [ ĐMH THPT QUỐC GIA 2017] Cho các số thực ,a b0;a1 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

a

ba

1 loglog

a

ba

a

ba

1 loglog

b

ba

bHướng dẫn:Chọn đáp án C

Trang 34

C logx y logxlogy1 D logx y 10 log xlogy

Chú ý: A sai vì chưa thể khẳng định x y 0, tương tự B sai vì chưa thể khẳng định ,x y0

Ví dụ 40: Cjp loga x p;logb x q ;logcx r 1a b c x; ; ; 0 Hãy tính logabcx

A log 

abc

pqrx

C log 

 abc

pqrx



 abc

pq qr rpx

p q r

Hướng dẫn:Chọn đáp án A

Trang 35

log

log log log log

log log log

n m B. log 



b

mnx

m n C. log 



b

mnx

1 1logb x 

m nHướng dẫn:Chọn đáp án B





a

nA

n nA

a a

Ví dụ 43: [ ĐMH THPT QUỐC GIA 2017] Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn

1 a b Khẳng địn nào sau đây là đúng

A logab 1 logba B 1 log ablogba

C logablogba1 D logba 1 logab

Hướng dẫn:Chọn đáp án D

Cách 1: Cho a4;b2 ta thấy log 4 1 log 22   4

Cách 2: Ta có: 1 a b nên log log 1 log 1 log

Trang 36

A logab 1 logba B 1 log ablogba

C logablogba1 D logba 1 logab

ab ba Do vậy logba 1 logab

III BÀI TẬP LUYỆN TẬP

 

 

1 813

 

 

1 613

Câu 7: Cho a0 và a1 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A loga x có nghĩa với x B log 1a a và logaa0

C loga xylog loga x a y D log n  log  0, 0

23log log 16 log 2 bằng

Trang 37

Câu 9: Cho các số thực ,a b0;a1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A logaa4b 4 logab B logaa2a b2 2 2 logab21

C logaa b  1 logab D logaa b3   1 4 logab

Câu 10: Cho x x x x và a logy y y3 bx y; 0;y1 Vậy A a b  bằng

3) Đồ thị hàm số y x a xét với x0; luôn đi qua điểm có tọa độ (1;1)

4) Vớiab0 ta luôn có log2 ab log2alog2b

Số khẳng định đúng là:

Câu 14: Cho phát biểu sau:

1) Giá trị của alog 6 log 4a  a bằng 64

Trang 38

Số phát biểu đúng là:

Câu 15: Cho a và b là hai số thực dương Kết quả thu gọn của biểu thức :  4

3 2 4

3 12 6

 a bA

a a là:

Trang 39

Trang 40

Câu 9: Giá trị biểu thức

Câu 12: Đặt alog 2;3 blog 53 , biểu diễn đúng của log 903 theo a và b là:

A log 903  a 2b B log 90 23  a b C log 903  a b D log 90 23   a b

Câu 13: Đặt alog 5;2 blog 32 , biểu diễn đúng của log 4045 theo a và b là:

Câu 15: Cho các số ,a b0 thỏa mãn 2 2

2

 

a b ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A log3 2 log 3 log3 

a b D log3a b log3alog3b

Câu 16: Cho log 725  a và log 52  b Tính log5 49

 c c

T

a b

Trang 41

A 1

10 Câu 18: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện log log2 4xlog log4 2xa với a thì giá trị của log x2 bằng bao nhiêu

A Tam giác vuông B Tam giác cân C Tam giác đều D Tam giác tù

Câu 24: Cho log2x3log2a2log 1 ; ;b x a b0 Khi đó

Trang 42

PHẦN 2:

01-C 02-D 03-D 04-B 05-C 06-B 07-A 08-A 09-B 10-B 11-C 12-B 13-D 14-B 15-C 16-B 17-C 18-A 19-C 20-D 21-B 22-B 23-A 24-A 25-A 26-D 27-A 28-B 29-C 30-D

Trang 43

- y a x   0, x R (Do vậy tập giá trị của hàm số mũ là 0;)

- Với a1 khi đó y'axlna0 Hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp a1 ta có lim lim 0

   x 

x y x a do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

- Với 0 a 1 khi đóy'axln 0 Hàm số luôn nghịch biến

Trong thường hợp a1 ta có lim lim 0

   x 

x y x a do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

- Đồ thị hàm số y a x nhận trục Ox là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a)

Đồ thị hàm số y a x nằm phía trên trục hoành (Do có tập giá trị là 0;)

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

Trang 44





 

 Hàm số yloga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a

Chú ý: loga nên hàm số ylogax có tập giá trị 

Trang 45

Trong trường hợp này ta có: lim

lim lim log

Trang 46

trục Ox vì có tập giá trị D0; trục Ox vì có tập giá trị D0;

Như chúng ta đã biết đồ thị hàm số y f x  và y f  x nhận trục hoành là trục đối xứng

Do đó ta có: Đồ thi hàm số ylogax và đồ thị hàm số log1 loga

y x) đối xứng nhau qua trục hoành

III Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trang 47

B Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung là đường tiệm cận

C Đạo hàm của hàm số đã cho là y 2 3

  nên nó đồng biến trên 

Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang

Ví dụ 5: Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên 

Trang 48

Đồ thị hàm số yx21 e không có đường tiệm cận vì lim ; lim 0

C Tập giá trị của hàm số đã cho là0;

D Đạo hàm của hàm số đã cho là:

lim ;lim

x x

Trang 49

Ví dụ 9: Cho hàm số y 3x 2x Khẳng định nào sau đây là đúng

A Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng y là tiệm cận ngang 0

B Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

C Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoàng Ox

D Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ

     Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng y là tiệm cận ngang 0

Ví dụ 10: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai

A Đồ thị hàm số ylog2 x và 1

2log

y x đều nhận đường tiệm cận đứng là đường thẳng x0

B Đồ thị hàm số ylog2x và 1

2log

y x đối xứng qua trục hoành

C Hàm số ylog2x và 1

2log

Trang 50

A ylog5x B 1

5log

Hướng dẫn:Chọn đáp án D

Khi lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( ) qua trục hoành ta sẽ được đồ thị hàm số y f x( )

Ví dụ 12: Lấy đối xứng đồ thị hàm số ylog5x qua trục hoành ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

Hướng dẫn:Chọn đáp án C

Khi lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( ) qua trục tung ta sẽ được đồ thị hàm số y f( x)

Như vậy khi lấy đối xứng đồ thị hàm số y5xqua trục tung ta được đồ thị hàm số y5x

Ví dụ 14: Lấy đối xứng đồ thị hàm số ylog5x qua trục tung ta được đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

Trang 51

Hướng dẫn:Chọn đáp án C

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là ℝ.(loại A và B)

Hàm số đã cho nhận trục Ox là đường tiệm cận ngang ( loại D )

y x Hướng dẫn:Chọn đáp án B

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập

xác định của nó là (0; ( loại A,C và D) )

Hàm số đã cho nhận trục Oy là đường tiệm cận ngang

Ví dụ 17: Đồ thị hàm số trong hình bên là đồ thị hàm số

nào trong các hàm số dưới đây

A yln(x 1) B 1

2log (x1)

C y2 x  1 D

1

12

Nhận xét hàm số đã cho là hàm nghịch biến( loại A và D)

Mặt khác đồ thị hàm số đã cho nhận x1 là đường tiệm cận đứng

Ví dụ 18: Trong hình vẽ bên đồ thị (1) là của hàm

số ylogax và đồ thị (2) là của hàm số ylogbx

Khẳng định nào sau đây là đúng

A a b 1 B b a 1

C 1  a b 0 D 1  b a 0

Hướng dẫn:Chọn đáp án B

Định dạng
Số trang	189
Dung lượng	2,36 MB